Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Острем К.Ю. Введение в стохастическую теорию управления

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

10.97 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 3313 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

120 Глава 4

G ( S ) = j

e~sth

{t) dt.

(4.9)

Тогда из уравнений

(4 . 5) — (4 . 7)

получаем

m a . G ( 0 ),

(4 . 10)

со

( Р » Н = - ^

e - ' a %( - t )dx

— со

со

— с о

со

J L

j d t

j'rfs' | ' ^ " е - ' И 5 7 г ( 5 ' ) Л ( 5 " ) X

— оо

е-'0 5

{ T - S

' + S

\ U

(т— s'

+ s")

= G (/со) G (— ко) Ф 0

(СО),

(4 . 11)

со

Ф«* И

е ~ ' Ш Т г « У

(т) Л

— с о

со

оо

(' е~Шх

\ h (s') г„ (т + s') ds'dx =

-co

J L

d :

j ds'e^'h

[s )

( T + S ' >r„ (T +

s')

—oo

= G ( - t o ) 9 „ ( c o ) .

(4 . 12 )

Выводы сформулированы в теореме 4.2.

Теорема 4.2. Устойчивая

динамическая

система имеет

пере

даточную

функцию

G. Входной

сигнал — стационарный

ши

роком смысле случайный

процесс

со средним значением

ти

спектральной

плотностью

фи (со). Если динамическая

система

асимптотически устойчива и если

со

rlt(0)

фц(со)с(сй < а <

о о ,

(4 . 13)

— со

то выходной сигнал есть стационарный в широком смысле про цесс со средним значением

my = G(0).mu

(4 . 10)

Динамические	системы, со	случайными входными сигналами				121
и спектральной	плотностью
	% (со) =	G (/со) G (— ш) Ф \| \|		(со).		(4.11>
Взаимная	спектральная		плотность	входного	и выходного
сигналов есть	ц>„у (со) =		G (— /со) ср„ (со).			(4.12)
	ц>„у (со) =		G (— /со) ср„ (со).			(4.12)
Замечание.	Поскольку теорема 4.2 аналогична теореме 2.2,
то физическая	интерпретация		идентична.	Условие	(4.13),	кото

рое не имеет аналога в теореме 2.2, гарантирует то, что диспер сия входного сигнала конечна. Это основное различие между процессами с непрерывным и дискретным временем.

5.СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ПРОЦЕССОВ

СНЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ

Этот раздел посвящен спектральному разложению и пред ставлению процессов с непрерывным временем. Основополага ющие идеи аналогичны идеям для систем с дискретным време нем, рассмотренных в разд. 3. Однако анализ в этом случае бо лее сложный, так как приходится рассматривать белый шум с непрерывным временем.

Говорят, что случайный процесс с непрерывным временем имеет рациональную спектральную плотность, если спектраль ная плотность ср(со)—рациональная функция от со. Задача спектрального разложения заключается в том, чтобы найти ра циональную функцию G, полюсы которой имеют отрицательную

вещественную	часть, а		нули	имеют		неположительную вещест
венную часть,	так	что
			G(s)G(-s)		=	q>(s),				(5.1)
где ф-—рациональная			спектральная			плотность. Решение				этой
задачи дано в теореме 5.1.
Теорема 5.1.		(теорема		спектрального			разложения).			Пусть
Ф — рациональная		спектральная			плотность.			Тогда	существует
рациональная	функция		G, у которой			все	полюсы		расположены
в левой полуплоскости, а все				нули — в левой				полуплоскости или
на мнимой оси так, что
		ср(со) =		G(uo)'G(— too).						(5.1)

Доказательство. Спектральная плотность процесса есть чет ная функция. Следовательно,

m
П	( с 2 - г , 2 )
Ф (со) = с - ^	.	(5.2)

f i ( c o 2 - P ; 2 )

122	Глава 4
Так как	функция ср интегрируется в пределах	( — о о , о о ) , то т <
< и . и р\	—невещественное число. Поскольку	ср — неотрицатель

ная функция, действительные величины z'k должны всегда появ ляться парами. Тогда множители, соответствующие веществен ным z'k, всегда могут быть разложены следующим образом:

Так как ср — вещественная функция, то

171

с п

ср (со) =

П ( V - ^ )

где

z — комплексно

сопряженная

величина

относительно z. Ес

ли zh — нуль для

ф, то и

Zft и

—z'k —также

нули. Множи

тели, соответствующие чисто мнимым z'k,

можно

разложить в

виде

( -

1) [(ко)2 -(iztf]

( - 1) [/со + izk]

[to -

&;] =

l){s

+ izk) {s-izk)

Множители, соответствующие комплексным z'k, можно пред

ставить в виде

(«2 -

г;2 )

(со2 -

г?)

(со +

г'к)

(со -

zk)

(со +

(со -

7к) =

(гсо +

ак)

(('со — iz'k) (ко +

Щ (ко — Щ

I s

[ s

iz',<] [s ~

[Щ]

+ {Ч)\

)

]

}

Итак, спектральная плотность может быть представлена

следущим

образом:

/ .

В (tw) В (-— г'ш)

,г-

Ф (о>) = —1 —-—1

(5.3)

где

полином A(s)

можно выбрать

так,

чтобы

он

имел все

нули

в левой

полуплоскости,

a B(s)

имел

все

нули в левой

полуплоскости

или на

мнимой оси. Тогда

рациональная

функция

G ( S ) = J J £ L

(5.4)

'Ms)

удовлетворяет поставленным условиям.

Динамические системы со	случайными	входными сигналами	123
Теорема представления	в этом	случае более сложная,	чем

для	процессов с дискретным				временем. Рассмотрим	стационар
ную	динамическую систему				с весовой функцией h(t)	и переда
точной функцией			G(s). Если		бы теорема 4.2 была применима в
том	случае,	когда	входным		воздействием является	белый шум,
т.е.	фи (ю) =	1, то	получили	бы, что спектральная плотность вы

ходного сигнала определяется формулой

Ф (со) = G (ко) G (— ко).

Однако теорему 4.2 нельзя применить для этого случая, ибо условие (4.13) не выполняется, когда входной сигнал имеет вид белого шума. Отметим также, что в этом случае интеграл, пред ставляющий соотношение между входным и выходным сигна лами,

	t
	y(t)=	f h(t	— s)u(s)ds		=	^h(s)u(t		— s)ds		(5.5)
	— CO					0
не имеет	смысла	(сравнить		это	с	выводами в разд. 6 гл. 3).
Однако интеграл		(5.5)	существует,			если входной			сигнал	и — ог
раниченный по полосе			белый		шум.		В этом случае возможно
(см. гл. 3 разд. 6)		представление сигнала в						виде
		t				со
	у (t) =	j h(t — s)dv(s)=				f	ft(s)dv(t — s),			(5.6)
		— CO				0
где {v(t),	teT}—случайный			процесс			с ортогональными			прира
щениями,	имеющий		среднее		приращения			mdt	и ковариацию

приращения cdt.

Если весовая функция h ограничена, то из разд. 5 гл. 3 сле

дует, что интеграл	существует. Для доказательства			существова
ния интеграла в	бесконечных	пределах образуем		выражение
ъ			ь
£ [ \|" А (/ — s) А> (s)]2 <		max ft2 (t — s)E	[j dv (s)]2 =
	= c(b — a) max ft3		(t — s).
		a<s 'b

Так как динамическая система асимптотически устойчива, то.

\| f t ( 0 l < C - e ~ ° "	а > 0 .
Таким образом,
Е ^ jь h (t — s) dv (s)J2 - > 0	при max (a, b) -> со.
a

По критерию Коши интеграл в бесконечных пределах (5.6) су-

124 Глава 4

ществует и, следовательно, случайный процесс {y(t),

teT}

есть

процесс второго

порядка.

Найдем

среднее

значение и

ковариационную

функцию.

Р1з

свойств стохастического интеграла следует, что

s)Edv(s)

Ey(t)

h(f

— s)dv(s)=

j h(t

—

TO —oo

k(t — s)m{s)ds

(5.7)

r (s, t) =

(s) y(t)=E

J' h(s

—

s')h{t

—

t') dv(s')

dv (?)

— CO — ~o

h(s

— s')h(t

— s')cds'

— CO

c f h{s

—t

s')h(s')ds'.

(5.8)

Если m — постоянная,

среднее

значение

также

постоянно.

Кроме того, ковариационная функция r{s,

t)—функция

разно

сти

(s—t)

и,

следовательно,

{y{t),

teT}—стационарный

ши

роком смысле случайный процесс.

{y(t),

t еТ}

Спектральная

плотность

процесса

определяется

соотношением

со

Ф И

= -^-

1 e~tmr(x)dx

— со

го

г»

j '

<Г'В Т j

h (т +

s') h (s') ds'dt

2л

eias'h(s')ds'

j e - ^ ( t + , , ) / i ( T + s ' ) < f r -

2я

Так

как h — весовая

функция,

то h(t)=0

для

t^O.

Следова

тельно,

со

ф (со) =

- J L j

etm'h

{s') ds'

j " e-'f f l s 'ft (s') ds'

—

G (— i(D) G (ico),

(5.9)

2д

Динамические системы со случайными входными сигналами	125
где G — передаточная функция системы, которая является	пре

образованием Лапласа от /г. Выводы сформулированы в теоре ме 5.2.

Теорема 5.2. (теорема представления). Если спектральная плотность ф(ш) —рациональная функция, то существует асимп тотически устойчивая стационарная динамическая система с ве

совой функцией h,		такая,		что случайный	процесс
		у (t)	=	h{t — s) dv	(s)
[{v(t),	t еТ}—процесс		с	ортогональными		приращениями] яв
ляется стационарным процессом и имеет						спектральную плот
ность ср.
Эта	теорема имеет такую же физическую						интерпретацию,
как и теорема 3.2.		Если		преобразование		(5.6)	имеет обратное

преобразование, то представление (5.6) называется порожден

ным представлением процесса {y{t),						t	et}.
Упражнения
1.	Выполнить		спектральное разложение						для	спектральной
плотности
				cp (со) =	ш 2 +		l
				cp (со) =	+	8ш2 +		1
					+	8ш2 +		1
и дать представление соответствующего процесса										в	виде (5.6).
2. Стационарный случайный процесс имеет ковариационную
функцию
				г (т) = е~\|т\|		cos	2т.
Найти представление этого процесса в виде
где {v(t),		teT}—процесс		с нулевым			средним		и ортогональными
приращениями. Пусть				приращение дисперсии					есть dt.		Показать,
как можно было бы моделировать						этот		процесс		на	аналоговой
машине с генератором белого шума.
3.	Стохастические стационарные						и	нормальные			процессы
{x(t),	teT}	и {y{t),	teT} имеют спектральные						плотности

Фх = ш2 + 1

126				Глава			4
				_			1
				( P X V ~ C O 2 + I M +				2
Дать представление			векторного		процесса				в	форме	( 5 . 6 ) .
		6. ЗАМЕЧАНИЯ И ЛИТЕРАТУРА
Результаты,		представленные			в		теоремах		2.1, 2.2, 4.1		и 4 . 2,
известны уже давно. Они изложены в работах									[ 1 — 5 ] .
Понятие спектрального разложения								было	введено Винером
в работе	[ 6 ] .
Результат основан на				известной			теореме		Винера —Пэли:
действительная		неотрицательная				интегрируемая				с квадратом
функция	Ф(СО) может быть представлена разложением вида
			ф(ш) = g(a)g(—ю),								(6 . 1)
где g"(co) —преобразование Фурье						от функции			f,	которая	равна
нулю для неотрицательных аргументов, если
			Г	" ^ ^	l	da-roo.					(6.2)
			— ос
Доказательство			этой	теоремы		дается в работе [ 7 ] . Винер
также доказал,		что	спектральное			разложение			в общем случае
имеет вид
	ff	(со) =	— 1 — ? е~шШ				Г Ф	(и) е ш	da.		(6.3)
			2лф (со) )				.1
				о		—«.

Для процессов с дискретным временем условие для спектраль

ного разложения определяется выражением
j \| log ф (со) \| da < оо.	(6.4)

—я

Задача спектрального разложения тесно связана с задачами фильтрации и упреждения, которые рассматриваются в гл. 6 и 7. Алгоритмы, приведенные в этих главах для прогнозирования, могут быть использованы для выполнения спектрального раз ложения.

Многомерный вариант задачи спектрального разложения имеет много интересных аспектов [8].

Идея представления стохастического процесса в виде выход ного сигнала динамической системы, входным сигналом которой является белый шум, старая. Можно показать, что это справед ливо при значительно более общих условиях, чем дается в тео ремах 3.2 и 5.2.

Динамические системы со случайными входными сигналами

127

В работе [9] показано, что дискретные стационарные про цессы можно представить в виде

					со
	х (t) =		s (t) +		у сли (t — п),				(6.5)
					п=0
где	{u(t)}—последовательность				ортогональных случайных ве
личин, {s(t)}—сингулярный				процесс и Бс2 сходится.				Это	изве
стная теорема разложения			Волда.
	Крамер показал, что стационарный процесс, который не со
держит сингулярных		компонент,			можно		представить в	виде
				со
		x(f)=		j	etatdv(e>),				(6-6)
				— со
где	{v(t), — о о < с ^ < о о } — п р о ц е с с					с ортогональными		прираще
ниями и спектральной плотностью						F(А.).
	Стохастический процесс, представляемый разложением вида
		x(Q	=	§f(t,s)eh>(s),					(6.7)
где	{v(t)}—процесс	с ортогональными					приращениями,		имеет
ковариационную функцию
		min (s.t)
	r(s,t)=		j '	f(s,x)f(t,x)dR(x),					(6.8)
где			t.
где	R(t)-R(s)			=		E[v(t)-v(s)}\
	R(t)-R(s)			=		E[v(t)-v(s)}\

Вработе [10] показано, что справедливо и обратное утвер ждение, т. е. процесс с ковариационной функцией (6.8) имеет представление (6.7). Представление (6.7) называется разложе нием Карунена — Лоэва.

Вработе [11] подробно рассмотрено понятие о порожденных представлениях.

1.James Н. М., Nichols N. В., Phillips R. S., Theory of Servomechanisms, McGraw-Hill, 1947. Русский перевод: Джеймс X., Ннкольс Н., Филипс Р., Теория следящих систем, ИЛ, М., 1951.

2.Laning J., Battin R. H., Random Proccesses in Automatic Control, McGrawHill, 1956. Русский перевод: Лэнинг Д. Ж- X., Бэттин Р. Г., Случайные

процессы в задачах автоматического управления, ИЛ, 1958.

3.Davenport W. В., Root W. L., An Introduction to the Theory of Random Signals and Noise, McGraw-Hill, 1958. Русский перевод: Давенпорт В. Б.,

Рут В. Л., Введение в теорию случайных сигналов, ИЛ, 1960.

4.Newton G. С, Gould L. A., Kaiser J. Е., Analytical Design of Linear Feed back Controls, Wiley, 1957. Русский перевод: Ньютон Дж . К., Гулд Л. А., Кайзер Дж. Ф., Теория линейных систем, Физматгиз, 1961.

128

Глава 4

5.Солодовников В. В., Статистическая динамика линейных систем автомати ческого управления, Физматгиз, 1,960.

6.Winer N., Extrapolation., Interpolation, and Smoothing of Stationary Time

Series, MIT Press Cambridge, Massachusetts and Wiley, N.Y., 1949.

7.Paley R. E . A. C , Wiener N.. Fourier Transforms in the Complexs Domain, Am. Math. Soc. Colleg. Publ., 19, N. Y., 1934.

8 Youla D. C , On the Factorization of Rational Matrices, I E E E Trans, on Information Theory, IT-7, 172—189 (1961).

9.Wold H., A Study in the Analysis of Stationary Time Series, Almqvist and Wiksell, Stockholm, 1938.

10.Karhumen K., Zur Spektraltheorie Stochastischer Prozesse, ANN. Acad. Sci. Fennicae, A-34, 7—79 (1946).

11.Kailath Т., An Innovations Approach to Least Squares Estimation, Part 1:

Linear Filtering	in Additive White Noise, I E E E Trans. Automatic Control,
AC-13, 646—655	(1968).

Г л а в а 5

ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ

1.ВВЕДЕНИЕ

Впредыдущих главах рассмотрены методы анализа динами ческих систем, входные сигналы которых являются случайными процессами. В этой главе показано, как можно использовать эти методы для.синтеза систем управления. При этом предпола гается, что наряду с системой управления задается ряд пара метров, которые можно выбрать произвольно. Рассмотрен воп рос о выборе—параметров для оптимизации работы системы. Предполагается, что система может быть описана линейными уравнениями, а эффективность — средним значением функции потерь, которая представляет собой квадратичную функцию от- н^сительнр_1теременных состояния системы.

"""Задачу параметрической оптимизации можно разделить на две части:

1)оценка эффективности,

2)параметрическая оптимизация эффективности.

Иногда оптимизацию удается провести аналитически, но в большинстве случаев приходится использовать численные мето ды. Известно большое количество численных методов; некото рые из них требуют только оценки функции потерь, другие тре буют оценки градиентов и, возможно, производных более высо кого порядка. Оказывается, что оценка производных функции потерь — задача, аналогичная задаче оценки самой функции потерь. Поэтому основное внимание уделено оценке функции потерь.

К решению задачи можно подойти, используя либо времен ной, либо частотный анализ. Частотный анализ приводит к за данию оценки интегралов типа

f G(s)G(—s)ds

ПЛИ

где G, И — рациональные функции комплексного переменного. Более подробное исследование проведено для систем с дискрет-

9—403

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 3313 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
22.10.202312.76 Mб10Основы теории полета и элементы проектирования искусственных спутников Земли..pdf
#
22.10.202312.8 Mб11Основы теплотехники и гидрогазодинамики учеб. пособие.pdf
#
22.10.202315.81 Mб3Основы технической эксплуатации ЭЦВМ..pdf
#
19.10.20237.26 Mб1Особенности вскрытия, испытания и опробования трещинных коллекторов нефти..pdf
#
29.10.20235.26 Mб45Остапов Г.К. Логарифмы.pdf
#
24.10.202310.97 Mб10Острем К.Ю. Введение в стохастическую теорию управления.pdf
#
29.10.20231.86 Mб4Островский Я.М. Борьба с пробкообразованием в нефтяных скважинах на месторождениях Туркмении.pdf
#
29.10.20234.68 Mб8Остроумов Г.Н. Приручение Солнца [очерки].pdf
#
27.10.202320.12 Mб2Отделка сортового проката..pdf
#
29.10.202311.55 Mб4Отепление шахтных стволов М. М. Шемаханов. 1960- 11 Мб.pdf
#
19.10.20236.57 Mб0Отраслевая экономика народного хозяйства Удмуртской АССР [сборник статей]..pdf