книги из ГПНТБ / Острем К.Ю. Введение в стохастическую теорию управления

Закон управления (5.10) не очень чувствителен к изменениям параметров системы. Для доказательства этого предположим опять, что система задается моделью (А0 , 5°, С°, Х°), а закон управления определяется исходя из модели (А, В, С, X) с не­ много другими параметрами. Уравнение, описывающее управ­ ляемую систему, приобретает вид

[Л» (<7) Вх (q) F (q) + В0 (q) G' (q)] у (t) = X°C° (q) BL (q)F (q) e(t). (5.13)

Когда параметры модели равны истинным параметрам, ха­ рактеристическое уравнение системы имеет вид

внутри единичного круга. Следовательно, всякий раз, когда по­ лином 5° имеет нули вне или на границе единичного круга, оп­ тимальная система будет настолько чувствительной к измене-

ниям параметров, что становится непригодной. Бесконечно малые изменения параметров могут дать бесконечную диспер­ сию. Даже если В° или С° имеют нули внутри единичного кру­ га, оптимальная система может все же быть чувствительной к изменениям параметров. Проиллюстрируем сказанное на при­ мере.

Следовательно, g"o=c°—а°. Стратегия управления, минимизи­ рующая дисперсию, имеет вид

Допустим, что закон управления определяется исходя из си­ стемы с другим значением коэффициента при u(t—2). Тогда по­ лучим следующий закон управления:

При этом законе управления выходная переменная равна

Ее дисперсия определяется выражением

На рис. 6.5 показано, как дисперсия выходного сигнала за­ висит от параметра Ъ. Из рис. 6.5 видно, что оптимальная стра­ тегия более чувствительна к изменениям параметра Ъ, чем ква­ зиоптимальная.

Для получения закона управления, не являющегося опти­ мальным, но менее чувствительного по сравнению с оптималь­ ным к изменениям параметра Ь, можно использовать закон управления (5.10). Из равенства (5.9) получаем

рис. 6.5. Видно, что закон управления (5.17) гораздо менее чув­ ствителен к изменениям параметра Ь, чем оптимальный закон управления (5.16).

5 |

Р и с . 6.7. Моделирование выходного и управляющего сигналов системы (5.15) при квазиоптимальной стратегии управления (5.17).

равления (5.10) с дисперсией ошибки {k—п2) -шагового упредителя.

3. Заменить равенство (5.9) следующим равенством:

H{q)y{t) = -kF(q)e(t),

а характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид

H(z) Вг (z)C(z) = 0.

4. Для системы, заданной уравнением (4.8), показать, что стратегия управления

тематическую постановку задачи. Кратко обсудим также зада­ чу получения математических моделей возмущений и динамики процесса по экспериментальным данным. Естественно, что это очень важная задача для практического приложения. Наконец,

процесса были проведены в марте 1965 г., а первая работа с ис­ пользованием машины в контуре управления весом бумаги была выполнена в апреле 1965 г. Эксперимент длился 10 ч. С тех пор выполнено большое количество экспериментов, а с начала 1966 г. непрерывно действует замкнутая система управления ве­ сом бумаги. Теперь при работе системы можно постоянно дости­ гать стандартного отклонения 0,5 гс/м2 для веса во влажном со­ стоянии и 0,3 гс/м2 для веса бумаги в сухом состоянии.

Применимость стохастической теории управления

Теория, описанная в разд. 4, базируется на следующих до­ пущениях:

1. Динамика процесса описывается линейными дифференци­ альными уравнениями с постоянными коэффициентами. Имеет­ ся одна выходная и одна входная переменная.

2. Возмущения являются стационарными гауссовыми процес­

В начальной стадии проекта были выполнены эксперименты, которые показали, что возмущения, встречающиеся в процессе нормальной эксплуатации, настолько малы, что систему можно описать линейными уравнениями. Результаты, полученные в этих экспериментах, были впоследствии проверены в экспери­ ментах над системой, управляемой с помощью вычислительной машины.

Обычный спектральный анализ показал, что флуктуации мож­ но представить стационарными процессами. Было показано так­ же, что возмущения имеют почти нормальное распределение.

Иногда возникают «нарушения», которые приводят к боль-

208 Глава 6

можность увеличить прибыль, которая может быть выражена в экономии сырья пли в увеличении выпуска продукции. В нашем частном случае эта прибыль составила существенную часть при­ были, полученной от внедрения управления с помощью вычис­ лительной машины.

Производство бумаги с небольшими срлуктуациями перемен­ ных качества имеет также другие преимущества, например уп­ рощение последующей обработки бумаги покупателем. Однако эти преимущества очень трудно оценить объективно.

Так как флуктуации веса бумаги нормально распределены, задача установления задания как можно ближе к допустимому пределу сводится к такому управлению процессом, при котором дисперсия выходного сигнала была бы наименьшей.

Подведем итоги. Были найдены веские доводы, что теорию, описанную в разд. 4, можно применить к задаче управления ве­ сом бумаги. И ничего нет странного в том, что эта теория была действительно применена. Доводы о применимости теории были проверены в том смысле, что результаты, предсказанные стоха­ стической теорией управления, были получены на практике.

Математическая постановка задачи управления весом бумаги

На рис. 6.9 показана упрощенная схема той части бумагоде­ лательной машины, которая представляет интерес для управле­

камеры. Волокнистая масса перемешивается с чистой водой, так что концентрация фибры в напорном ящике уменьшается до 0,2—0,5%. На сетке фибра отделяется от воды, и образуется по­ лотно бумаги, из которго на прессах удаляется вода. После это­ го бумага обезвоживается на сушильных цилиндрах сушильной части машины.

В данном случае на вес бумаги можно влиять путем измене­

вытекающей из напорного ящика, а следовательно, и на вес бу­ маги.

Воздействие на управляющие переменные осуществляется путем выбора задания аналоговых регуляторов, которые управ­ ляют задвижками, регулирующими поток и плотность густой во­ локнистой массы.

Вес бумаги определяется измерителем с бета-лучами. Выход­ ной сигнал с бета-измерителя пропорционален массе фибры и воды на единицу площади, т. е. весу влажной бумаги, так как ко-