Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Острем К.Ю. Введение в стохастическую теорию управления

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

10.97 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 3317 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

160		Глава 5
становления переменных		состояния	используем математическую
модель
x(t+l)	= Ox(f)	+ Tu(t)	+ K[y(t) — Bx{f)].	(4.8)

Блок-схема системы, описываемой моделями (4.6) — (4.8), при ведена на рис. 5.7. Сформулируем задачу параметрической оп тимизации.

Задача 4.1

Задан произвольный постоянный вектор а. Найти такую по следовательность матриц K(t), для которой среднеквадратическая ошибка восстановления скалярного произведения атх ми нимальна.

Решение

Для решения задачи оценим сначала среднее и дисперсию ошибки восстановления, а затем произведем минимизацию. Вы ведем предварительно уравнение для ошибок восстановления. Вычитая выражение (4.8) из выражения (4.6), получим

x(t+ l)=x(t+	l) —	x(t + l) =	Ox(t)	+ v(t)	— K[y(t)	— Qx(t)}.
Используя уравнение		(4.7), найдем
x(t	+ 1)	= (Ф — Щ	x{t) +	v(t) —	Кг (t).	(4.9)

Таким образом, ошибка восстановления определяется стохасти

ческим	разностным уравнением. Такое		уравнение	рассмотрено
в гл. 3	(теорема 3.1). Среднее значение		ошибки восстановления
равно
	Ex(t+l)	= [0 — KQ]Ex(t).		(4.10)

Следовательно, если выбрать начальное условие такие образом,
~		л
чтобы Ex(t0)=E(x(t0)		—пг)=0,		то ошибка восстановления об
ратится в нуль независимо от выбора						матрицы	К. Дисперсия
ошибки восстановления			равна
	Р(t)	= Е (х(t) — Ex(t)]			[x(t)	— Ex(t)]T.	(4.11)
Ее можно вычислить из уравнения
P(t+l)	= [Ф-Щ		Р (0 [Ф—Щ			T + Rx +	KRZКт
			при	P(tQ)	= R0,		(4.12)

которое следует из теоремы 3.1 гл. 3. Этот результат можно так же получить непосредственно умножением выражения (4.9) на

Параметрическая оптимизация

161

транспонированное выражение и переходом к математическому ожиданию.

Получив уравнение для дисперсии ошибки восстановления, выберем теперь матричный коэффициент усиления К таким об разом, чтобы дисперсия скалярного произведения атх была мини мальной. Так как

Е (атх)2

= Еатх

хта = ат {Ex хт)

а=ат

Р (t) а,

то, используя уравнение

(4.12), получим

aTP(t+

1) а = ат

{ФР (t) Фт

+ RL

— KQP (t) Фт

—

ФР (/) QTKT

+ К [R2 + QP (t) QT] Кт\ а.

(4.13)

Теперь

коэффициент усиления можно • определить

рекурсивно.

При t=t0

правый

член

выражения

(4.13)

представляет

собой

квадратичную

функцию

К. Путем

подбора

можно

добиться

того, что P.(i?o+l)

будет минимально. После этого положим

t0=

= ^о+1

определим

K—K(t0-\-l)

таким

образом,

чтобы

Я ( / 0 + 2 )

было

минимальным. Для этого

перепишем

выражение

(4.13), дополняя его до полного квадрата

Р (t + 1) =

ФР (t) фт л- рг

— ФР (t) 9Г \R2 + QP (/) б7 "]-1

QP (t) Фт

[К — ФР (t) QT [R2

+ QP (t) е г Г' ) [R2

+ QP (t) QT\

X [К— ФР (0 QT

[R2

+ QP (t) 9 Г Г ' ] 7 •

(4.14)

Рассмотрим теперь скаляр

ат Р it -р 1) а = ат \ФР (t) Фг

-f- # х — ФР (t) QT

[R2 + QP (t) QT]~l

X QP (t) Фт] a + aT \K — ФР (t) QT

[R2

+ QP (t) QT]_1}

X[R2

+ QP(t)QT] [K~OP(i)QT

[R2 + QP(t)QTr1\Ta.

(4.15)

Правая часть этого равенства является функцией двух членов: первый член не зависит от К, а второй неотрицателен, поскольку матрица Р 2 + 0 Р ( ^ ) 6 Г неотрицательно определена. Таким обра зом, левая часть выражения минимальна, если К выбрано так, что второй член в правой части (4.14) равен нулю. Итак, по лучим

К = К (0 = ФР (t) QT [R2 + QP (t) Q7]-1,

(4.16)

P (t + 1) = ФР Ц)фт + Rt — ФР (t) QT[R2+QP (t) 0r ]-] 0P (t) Фт. (4.17)

Отметим, что результат не зависит от а. Следовательно, если вы брать К так, чтобы минимизировать среднеквадратическую ошибку восстановления хотя бы для одной линейной комбина ции переменных состояния, то тем самым будет найден мини-

11—403

162	Глава 5
мум среднеквадратической ошибки		восстановления	для	произ
вольных линейных комбинаций.
Отметим также, что выражение		(4.17) дает дисперсию		ошиб
ки восстановления для	случая оптимального восстановления.
Первый член ФР(^)Ф Т	правой части этого выражения		показыва

ет, каким образом изменяется ошибка восстановления от момен

та t до момента £ +1 . Член R\ представляет собой	увеличение
дисперсии ошибки восстановления из-за помехи v,	которая дей

ствует на систему, а третий член выражения (4.17) показывает, как уменьшается ошибка восстановления при получении инфор мации из результатов измерений.

Из выражений

(4.16) и (4.17) следует, что

P(t+l)

= ФР (t) ФТ + R± — f((t)

QP (t) ФТ =

= [<S>-K(t)Q]P(f)<DT

RLT

К (0 R2

+ К (t) QP (t) e r

= ФР (t) QT.

Вычитая из первого уравнения второе, помноженное на

KT{t),

получим

Р{t

+ 1) =

ФР (/) ФТ

+ RT

— K(t) QP(/) ФТ—

ФР(/) 9 Г К Т ( t )

к (/) RT кт

(t) + к (о ер (t) Qt кт

(t) =

[Ф - - К (0 6] Р (f) [Ф -

К (0 9]T

+ К (t)R2K

T(t).

Из этого уравнения легко вывести чисто алгебраически,

что ес

ли P(t)

неотрицательно определена, то P(t-j-l)

также

неотрица

тельно определена.

Итоги сформулированы в теореме 4.1.

Теорема 4.1. Рассмотрим

динамическую систему (4.6)

с вход

ным

сигналом (4.7).

Восстановление

переменных

состояния

системы

с помощью

математической

модели

(4.8) оптимально

по

среднеквадратической

ошибке,

если

коэффициент уси

ления

K{t)

<bP{t) QT [R2

QP(t)QT\-\

где P{t) —дисперсия оптимального восстановления, определяе мая формулой

Р (t - f 1) = ФР (t) фт	+	R±	— фр (/) 9Т [R2 + QP (t) QT]~}QP	(t) ФТ =
- 1Ф-КЦ)ЩРУ)ФТ			+ RX=№-K(t)Q)P(t)	[Ф-
-K(t)Q}T-{	R1	+	K{t)RIKT(f)	(4.18)
при

P(t0) = R0-

Параметрическая	оптимизация		163
Примечание 1. Отметим, что	решение	задачи	оптимизации
позволяет восстановить состояние	системы	по формуле (4.8) с

минимальной среднеквадратической ошибкой. В гл. 7 показано, что метод восстановления, соответствующий формуле (4.8), яв ляется оптимальным.

Примечание

Из дифференцирования

вытекает,

что

теоре

ма 4.1 остается верной и в том случае, когда

матрицы Ф,

Г,

и R2

зависят от времени. Если учесть зависимость от

време

ни, то модель, описываемую уравнениями

(4.6)

и (4.7),

можно

представить в виде

х (t +

1) = Ф it +

t) х (f) +

Г (t) u(f)

v (О,

y(t)

B(f)x(f)

e(f),

где

R\(t)

и R2(t)—ковариационные

матрицы

процессов

v(t)

и e(t) соответственно. Оптимальное

восстановление

определяет

ся формулой

x(t+l)

= 0(i+

1; f)x(f)

T(t)u(t)

K(t)

\y(t)-B(f)x(f)],

где

K{t)

задается

формулами

(4.16)

(4.18) с Ф =

Ф ( £ + 1 ;

t),

г =

г (о,

е =

е (л,

RX = Rx

(t) и

# а

(/).

Упражнения

1. Рассмотреть динамическую систему, описываемую уравне ниями

x(t+l)	=	.о	i j	'	[i e(t),
*/(/) =		[1	0]x(t),
где {e(t), t eT}—последовательность					независимых нормаль
ных случайных величин с параметрами					(0, 1). Предположим, что
начальное состояние х(0)		нормально со средним значением

Ех(0)= П

и ковариационной матрицей

covfjc(O), х(0)]

0 о?

Найти коэффициент усиления оптимального восстановления по формуле (4.8). Определить также ковариационную матрицу ошибки восстановления.

11*

164

Глава 5

2.Рассмотреть динамическую систему

х(t + 1) = Фх (0 + Ти (0 + v (t),

выходная переменная которой определяется формулой iKQ = e*(/)-f еЦ),

где {е(г)} и {v(t)} —белый шум с дискретным временем с ну левыми средними и ковариационными матрицами

Ev(t)vT(s) = 8STRV

Ev(t)eT(s) = 8STRYL,

Ee(t)eT (s) =

8SIRR

Показать, что переменные состояния можно восстановить с по мощью математической модели

х (t+i)

Фх (о + ги (о +

К [у (0 -

е*'(/)],

в которой оптимальное значение К определяется

формулой

(о

[ФР (о е т

R12)

[ЭР (t)

е г

+R2}-\

где

p(t

= ФР

(t) ФТ

+ RL—к

(о

[R2 +

е р

(о е7 ]

к г

(t).

3. Восстановление

по формуле

(4.8)

обладает

тем свойством,

что значение

вектора

состояния

момент

восстанавливается

по t — 1

наблюдаемым

значениям

выходной

переменной

y(t—1),

y(t—2)

Другой

метод

восстановления,

который

также использует y(t)

для восстановления

x(t),

можно

пред

ставить уравнением

x(t+

= <S>x{t) + TuU)+K(t+

l){y(t+

1 ) -

6 [ф£(/) +

Ги (*)]}.

(4.19)

Показать, что если управление системой осуществляется

урав

нениями

(4.6)

(4.7), то оптимальный

выбор К

определяется

формулами

K(t)

= P(t)QT

[ R Z

QP(t)QT}~\

p(f)

= q>s(t—

1 ) Ф г

«1,

S(t)

= P(t)-K(t)

QP(t),

S(t0) = R0.

Дать также физическую интерпретацию матриц.

Параметрическая оптимизация

165

4. Рассмотреть систему из упражнения 1. Определить мат ричный коэффициент усиления при оптимальном восстановле нии по формуле (4.19). Найти ковариационную матрицу ошибки восстановления. Сравнить это с результатами, полученными

вупражнении 1.

5.В уравнении (4.18) теоремы 4.1 существуют три способа рекурсивного вычисления матрицы Р (t). Исследовать вычисли тельные аспекты этих методов.

5.ВОССТАНОВЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ

Введение

Перейдем к решению задачи для систем с непрерывным вре менем. Рассмотрим систему, описываемую стохастическим диф ференциальным уравнением

		dx = Axdt + Budt + dv,						(5.1)
где	.v — n-мерный вектор состояния,				и — /--мерный		вектор	вход
ного сигнала		и v —винеровский		процесс с ковариацией				прира
щений R\dt. Предположим,			что	выходной		сигнал системы опи
сывается уравнением
		dy = Cxdt + de,						(5.2)
где	выходной	сигнал у — р-мерный			вектор	и е — винеровский
процесс с ковариацией приращений					R2dt.	Матрицы	А, В,	С,	Ri
к R2	могут зависеть от времени. Предполагается, что их элемен
ты	являются	непрерывными	функциями			времени. Матрица			/?2
положительно		определена,	a Ri неотрицательно				определена.

На рис. 5.8 приведена блок-схема физической системы, кото рую приблизительно можно представить моделью (5.1), (5.2).

Р и с. 5.8. Блок-схема физической системы, которую можно представить мо

делью	(5.1)	и (5.2). Случайные процессы v и е имеют конечные дисперсии
и постоянные		спектральные плотности в интервале (—а>0> шо). где ш0	велико
по	сравнению с максимальным собственным значением матрицы		А.

166 Глава 5

Из рассуждений, аналогичных приведенным в разд. 4, найдем, что восстановление можно представить в форме

dx = Axdt + Budt • Ь К \dy — Cxdt\,

(5.3)

где К — матрица /гХр порядка с зависящими от времени аргу ментами. Чтобы определить, может ли модель (5.3) соответство вать правильному восстановлению, введем ошибку восстановле ния

Используя уравнения (5.1) и 5.2), получим, что ошибка восста новления является марковским гауссовым случайным процес сом, удовлетворяющим стохастическому дифференциальному уравнению

dx = (A — KC,xd( + dv — Kde.

(5.4)

Для изучения свойств восстановителя (5.3) необходимо исследо вать стохастическое дифференциальное уравнение (5.4). Исполь зуя теорему 6.1 гл. 3, получим, что среднее значение ошибки вос становления определяется уравнением

		~(Ех)	= (А-КС)(Ех),				(5.5)
		at
		Ex(t0)	=	Ex(t0)-x(t0)
и что ковариационная матрица ошибки					восстановления
P(t) =		E\x(t) —	Ex(t)\	\x(t)	—	Ex(t)\T	(5.7)
определяется уравнениями
=	(А -	КС) Р + Р (А -		КС)Т	+ R, - f KR2 Кт,		(5.8)
Р(t0)	=	Е {х(t0)-х(t0)}		\х(t0-х(Щт		= R0.	(5.9)

Следовательно, если К выбрать из условия устойчивости урав

нения (5.5), то среднее значение ошибки				восстановления		долж
но быть равно нулю. Из уравнения			(5.5)	также	следует,	что ес
ли ошибка восстановления		имеет	нулевое среднее значение
в любой момент времени t0,		то она	будет равна		нулю для	всех г1.
Дадим физическую интерпретацию членам уравнения						(5.8),
которое перепишем в виде
=АР+РАТ	+ R±~	{КСР + РСТКТ~			KR2KT).	(5.10)

Первые два члена представляют собой изменение ковариацион-

Параметрическая оптимизация

167

ной матрицы ошибки восстановления, связанное с динамикой системы. Член R i представляет увеличение ковариационной мат рицы ошибки восстановления, вызванное помехой v, действую щей на систему. Последний член представляет уменьшение ко вариационной матрицы ошибки восстановления в результате проводимых измерений. Он зависит конечно от выбора матрич ного коэффициента усиления.

Задача параметрической оптимизации

После того как получены уравнения для ошибки восстановле ния, рассмотрим вопрос об оптимальном выборе К . Предполо жим, что Ex(t0) = 0, т. е. что среднее значение ошибки восста новления равно нулю. В качестве критерия выберем среднеквадратическую ошибку восстановления линейной комбинации пере менных состояния атх. Имеем

Е (атх)2 = Е {атх) (ха) = ат Еххта = ат Р (7) а,

(5.11)

где последнее равенство вытекает из того, что среднее ошибки восстановления равно нулю. Используя дифференциальное урав нение (5.8), получим

		— aTP(t)a		=	ат	{ А Р +			Р А Т + R x ) а	-
		dt
	+ ат { K R 2 K T —				КСР		—	РСТКт)а.			(5.12)
Для дальнейшего необходимо доказать лемму.
Лемма 5.1. Пусть Р и Q — решения уравнений										Риккати
—	=	АР +	Р А Т +	Rx	+ K R o K T				- K C P - P C T Кт>		(5.13)
dt
М.	=	Л<2 +	Q A T	+		— Q C T			R T l CQ		(5.14)
dt
с начальными условиями
			P(t0)		= Q(t0) = Ra,						(5.15)
где матрица		R 0 симметрична,				a R 2			положительно		определена.
Тогда матрица P(t)—Q(t)					неотрицательно определена и
				P(t)		= Q(t)					(5.16)
при
				К	=	Р	С Т	R T 1 .			(5.17)

168			Глава	5
Доказательство.		Из уравнений	(5.13)	и	(5.14)	следует,		что
A(/>_Q)	= А(Р—	Q) + (P — Q)AT	+ KR* Кт		— КСР — РСТКТ			+
dt
+ QCT R7X CQ = (Л — КС) (P -			Q) - f (P -		Q) (A -		KC)T +
4- (K—QCTRT1)RoAK-QCTRr)T.							(5.18)
Пусть W(t;	s) — решение дифференциального уравнения
		= [A (t) -K(t)	С (t)\ Ч (/; s),
	dt
	W(t;t) = I .					'	(5.19)
Решение уравнения		(5.18) можно представить в виде
	i
P(t)-Q	(t) = j V (t- s) [K (s) - Q (s) CT(s) R7l				(S)\ R2	(S)	[R (S)	-
	— Q(s)CT(s)RTl(s)]TWT		(f; s)ds.				(5.20)

Однако матрица в правой части всегда неотрицательно опреде лена при любом К. При

К = QCT RT1

получим P(t)=Q(t), т. е. равенство (5.16), и лемма доказана. Таким образом, доказано, что при произвольном выборе К величина aTP(t)a минимальна для всех а. Оптимальное значение матричного коэффициента усиления определяется выражением (5.17). Оптимальный выбор К приводит, таким образом, к мини мальной ошибке восстановления для любой линейной комбина

ции переменных состояния. Выводы		сформулированы в теоре
ме 5.1.
Теорема 5.1. Пусть динамическая		система подвергается дей
ствию помех и ошибки измерений		описываются уравнениями
(5.1) и (5.2). Восстановление (5.3)	оптимально в смысле крите

рия среднеквадратического отклонения, если			начальное условие
	x(il))	= Ex(t0)		(5.21)
и если коэффициент усиления выбран так, что
K(t)	= P(t)CTRf,			(5.17)
где P(t)—ковариационная	матрица ошибки		при	оптимальном
восстановлении. Матрица	P(t)	удовлетворяет	уравнению Рик
кати
^ dt — АР -f- РАТ +		# j + РСТ RA CP		(5.22)

Параметрическая оптимизация	169
с начальным условием
P(t0)=Ro-	(5-23)

Замечание. Задача параметрической оптимизации для вос становления состояния решена для восстановления в форме (5.3). В гл. 7 доказано, что такая структура фактически является оптимальной.

Упражнения

1. Рассмотреть движение частицы вдоль прямой линии. Пред положить, что ускорение частицы представляет собой белый шум

со спектральной плотностью 1/(2 я)	и что измерение координат
частицы сопровождается ошибками,	представляющими	собой
белый шум со спектральной плотностью г / ( 2 я ) . Найти		мини

мальную дисперсию восстановления по формуле (5.3) для поло жения и скорости частицы. Определить также ковариационную матрицу ошибки восстановления.

2. Рассмотреть динамическую систему, описываемую уравне

ниями	(5.1) и (5.2), где е			и v — коррелированные винеровские
процессы с нулевыми средними значениями							и ковариационной
матрицей		приращений
		dv	[dvT	deT]	=	Rl2	dt.
		de	[dvT	deT]	=	Rl2	dt.
		de			Rn	R*
					Rn	R*
Показать,		что минимальная дисперсия				восстановления (5.3)		по-
							л
лучается в том случае, если выбрать начальное условие x(t0)								=
=Ex(to)	и матричный коэффициент усиления
		K(t) =		[P(f)CT	+	R№]RTl,

где ковариационная матрица ошибки восстановления удовлетво ряет уравнению Риккати

*L = [A-R12RTlC]P		+ P[A~ RltRTlC]T+	Ъ-
at
	— RuR7lRl*-PCT	RT'CP,
P(t0)	= R0-

3. Сигнал акселерометра дает информацию о вертикальной составляющей ошибки, который используется для поддержания сервоплатформы перпендикулярно вертикали (рис. 5.9). Для не больших отклонений сигнал акселерометра можно описать урав нением

у = И + п,

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 3317 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
22.10.202312.76 Mб10Основы теории полета и элементы проектирования искусственных спутников Земли..pdf
#
22.10.202312.8 Mб11Основы теплотехники и гидрогазодинамики учеб. пособие.pdf
#
22.10.202315.81 Mб3Основы технической эксплуатации ЭЦВМ..pdf
#
19.10.20237.26 Mб1Особенности вскрытия, испытания и опробования трещинных коллекторов нефти..pdf
#
29.10.20235.26 Mб45Остапов Г.К. Логарифмы.pdf
#
24.10.202310.97 Mб10Острем К.Ю. Введение в стохастическую теорию управления.pdf
#
29.10.20231.86 Mб4Островский Я.М. Борьба с пробкообразованием в нефтяных скважинах на месторождениях Туркмении.pdf
#
29.10.20234.68 Mб8Остроумов Г.Н. Приручение Солнца [очерки].pdf
#
27.10.202320.12 Mб2Отделка сортового проката..pdf
#
29.10.202311.55 Mб4Отепление шахтных стволов М. М. Шемаханов. 1960- 11 Мб.pdf
#
19.10.20236.57 Mб0Отраслевая экономика народного хозяйства Удмуртской АССР [сборник статей]..pdf