книги из ГПНТБ / Острем К.Ю. Введение в стохастическую теорию управления

I I I I I I I I I

-1 h

-2 -

Время, ч

Р и с . 6.12. Результаты идентификации для модели первого порядка, связы­ вающей вес сухой бумаги и поток густой волокнистой массы.

0,10

0,05

Аналогично наилучшая модель второго порядка задается следующими коэффициентами:

о

1

^0

— 9 ™ \ 1 1 I» 1 1 1 1 1

С.

О9

личение порядка системы до трех не приводит к существенному улучшению функции потерь.

Таким образом, если в качестве выходной переменной систе­ мы рассматривать вес сухой бумаги, модель будет иметь пер­ вый порядок (рис. 6.14,а), а если в качестве выходной перемен­ ной рассматривать вес влажной бумаги, модель будет иметь второй порядок (рис. 6.14,6). Это различие находит следующее физическое объяснение. Из рис. 6.11 видно, что изменение пото­

цепь управления влажностью. Это служит еще одним аргумен­ том в пользу использования веса сухой бумаги в качестве управ­ ляющей переменной, когда замкнутая цепь управления весом бумаги рассматривается как система с одной входной и одной выходной переменными.

Практические результаты управления весом бумаги

Приведем некоторые результаты, полученные при использо­ вании в контуре управления ЭВМ для управления весом бума­ ги. Программа экспериментов преследовала две цели: получить управляющие стратегии для конкретного приложения и прове­ рить применимость стохастической теории управления к практи­ ческим задачам управления. Проведение некоторых эксперимен­ тов продолжалось даже в тех случаях, когда конкретные систе­ мы управления работали удовлетворительно. Были исследованы некоторые схемы управления. В качестве управляющих пере­ менных выбрали поток густой волокнистой массы и ее концент­ рацию и регулировали вес влажной и сухой бумаги. В первых экспериментах в качестве управляющей переменной брали кон­ центрацию густой волокнистой массы. Позднее ее заменили по­ током густой волокнистой массы, так как обнаружили, что вес

224 Глава 6

бумаги более чувствителен к изменениям задания для регулято­ ра потока густой волокнистой массы. Кроме того, динамика ре­ гулятора концентрации зависит от рабочих условий, что приво­ дит к изменениям динамики системы управления.

В общем случае на практике очень трудно оценить характе­ ристики систем управления, и в частности трудно сравнить раз­ личные законы управления. Главная причина этого состоит в в колебаниях уровня возмущений. Это означает, что для оценки различных систем управления необходимы контрольные перио­ ды разной длины. Также очень трудно оценить эффективность системы управления, если не имеется каких-либо справочных величин. В нашем случае были известны результаты исследова­ ния выполнимости поставленных требований: до установки уп­ равляющей вычислительной машины стандартное отклонение в весе бумаги выбрали в качестве исходной справочной величины. На стадии исследований плановая величина флуктуации веса бумаги равнялась 0,7 гс/м2 . В настоящее время в процессе рабо­ ты можно получать постоянно стандартное отклонение 0,5 гс/м2 для веса влажной бумаги и 0,3 гс/м2 для веса сухой бумаги.

скользящими средними соответствующего порядка.Система уп­ равления весом бумаги была подвергнута тщательным исследо­ ваниям, а в 1966 г. была введена в действие и работает до сих пор в непрерывном режиме.

При этом были выполнены два типа экспериментов. В пер­ вом типе экспериментов система управления работала в режиме нормальной эксплуатации в течение нескольких недель. Некото­ рые данные были объединены на сравнительно длинных выбо­ рочных интервалах (0, 1 ч). Результаты глубоко не анализиро­ вались, а характеристики системы управления оценивались на основе максимального отклонения от контрольных лаборатор­ ных данных, изучения диаграмм с записывающих устройств и заключений операторов.

Другой тип экспериментов проводился для периодов по 30— 100 ч. Важные переменные процесса устанавливались на интер­ вале дискретизации, равном 0,01 ч. При анализе данных вычи­ сляли ковариационные функции управляемых переменных и проверяли, являются ли они скользящими средними соответству­ ющих порядков (теорема 4.1). Дисперсии сравнивались со спра­ вочными значениями. В некоторых случаях проводили также идентификацию моделей динамики системы, вычисляли страте-

15-403

гию управления, минимизирующую дисперсию и, если требова­ лось, обновляли параметры алгоритмов управления.

На рис. 6.15 приведена выборка за 24 ч работы системы уп­ равления весом бумаги. Масштаб для управляющего сигнала ^потока густой волокнистой массы) выбран таким же, как и для

ОЛОг

\0,05

0,10

Р и с . 6.16. Ковариационная функция для флуктуации веса сухой бумаги в интервале времени с 23.00 до 12.00 (по данным рис. 6.15).

веса сухой бумаги. Величина управляющего сигнала, следова­ тельно, непосредственно дает величину уменьшения флуктуации веса сухой бумаги при данном законе управления. Таким обра­ зом, сигнал управления показывает приблизительно возмущения на выходе системы. Отметим различные характеристики возму­ щений в разные моменты времени. Значительные возму­ щения в 14.30 и 18.00 обусловлены большими флуктуациями плотности густой волокнистой массы. В работе системы наблю­ дались два перерыва: один в результате разрыва бумаги и дру­ гой в момент очистки сушильной части машины.

В эти моменты система управления весом бумаги автомати- -чески отключается, а сигнал управления поддерживается посто­ янным до тех пор, пока не будут устранены возмущения, после •чего система управления автоматически включается вновь. За­ метим, что разрыв бумаги не вносит каких-либо серьезных воз­ мущений. Также отметим, что имеются некоторые изменения,

в том, что случайные процессы представляются последователь­ ностью независимых одинаково распределенных случайных пе­ ременных, изложена в работе [4] . Близкий подход к задаче уп­ равления приведен также в работе [5] . Дополнительный мате­ риал о задаче управления производством бумаги приведен в ра­

5.Box G. E . P., Jenkins G. M., Time Series Analysis, Forecasting and Control, Holden Day, San Fransisco, 1970.

•6. Astrom K. J., Control Problems in Papermaking Proa, IBM Sci. Comput. Symp. Control Theory and Appl., October 19—21, 1964.

7.Ekstrom A., Integrated Computer Control of a Paper Machine-System Sum­ mary, Proc. Billerud, IBM Symp., 1966.

6.Astrom K- J-, Bohlin Т., Wensmark S., Automatic Construction of Linear

Г л а в а 7

ТЕОРИЯ ФИЛЬТРАЦИИ И УПРЕЖДЕНИЯ

1.ВВЕДЕНИЕ

Вгл. 6 показано, что задача стохастического управления тесно связана со статистической задачей упреждения (предска­ зания). В задаче для простого регулятора мы видели, что опти­ мальная стратегия управления получается просто с помощью расчета /с-шагового упредителя и выбора такого управляющего сигнала, чтобы /с-шаговый упредитель был согласован с желае­ мым выходом. В данной главе задача упреждения изучена бо­

ния задач линейного и квадрэтического управления в общем случае. Теория упреждения и фильтрации в настоящее время хо­ рошо разработана. Мы не собираемся излагать ее здесь полно­ стью, а сконцентрируем внимание на тех результатах, которые необходимы для решения задач стохастического управления.

Постановка задач упреждения и фильтрации дана в разд. 2. Особое внимание обращается на задачу оценки состояния дина­ мической системы. Изучена также связь между различными по­ становками задач. Показано, что во многих случаях наилучшая оценка представляется как условное математическое ожидание предсказываемого сигнала относительно всех наблюдаемых дан­ ных.

В разд. 3 рассмотрены свойства условных распределений многомерных нормальных распределений. Дана геометрическая интерпретация полученных результатов.

Оценка состояния для систем с дискретным временем обсуж­ дается в разд. 4. Эта задача тесно связана с задачей восстанов­ ления состояния, которая изучена в гл. 5. Показано, что восста­ новление, полученное в гл. 5, действительно является оптималь­ ным. Основным результатом является формула оценки состоя­ ния для фильтра Калмана. Результат найден с помощью свойств многомерных гауссовых распределений, полученных в разд. 3. В разд. 5 показано, что задача фильтрации двойственна задаче оптимального детерминированного управления. Идея двойствен­ ности используется затем в разд. 6 при получении решения зада­ чи оценки состояния для систем с непрерывным временем.