книги из ГПНТБ / Острем К.Ю. Введение в стохастическую теорию управления

имеют одинаковые полюсы в левой полуплоскости, которые сов­ падают с нулями полинома Ah. Так как по предположению эти нули различны, то из выражений (3.30) и (3.31) следует, что функции (3.34) и (3.35) в этих полюсах имеют одинаковые вы­ четы. Интегрируя (3.34) и (3.35) вдоль контура Г( (рис. 5.2), по­ лучим

где первое равенство вытекает из того, что интегралы вдоль сег­ мента исчезают, так как при большом |s| подынтегральное вы­ ражение стремится к нулю как |s|~2 . Второе равенство обуслов­ лено тем, что оба подынтегральных выражения имеют одинако­ вые полюсы внутри контура Гг и одинаковые вычеты в этих полюсах. Третье равенство доказывается как тождество. Так как все нули Ак лежат в левой полуплоскости, то контур Гг мож­ но заменить окружностью с центром в начале координат без изменения значения интеграла. Учитывая, что подынтегральное выражение Bu(s)/2Ak(s) имеет полюс в бесконечности с выче­ том Ь\1(2а%), получим требуемое равенство.

452 Глава 5

Доказательство теоремы полностью закончено.

Методы вычислений

Получив рекуррентную формулу в теореме 3.3, перейдем те­ перь к вычислительным аспектам. Чтобы найти значение инте­ грала, необходимо вычислить коэффициенты Au(s) и Bk(s). Это можно легко сделать с помощью следующей таблицы:

Каждая четная строка в таблице коэффициентов а\ получа­ ется сдвигом элементов предшествующей строки влево и соот­ ветствующей подстановкой нулей. Четные строки правой части

SUBROUTINE COI.OSS (А, В. N. IERR, V, IN)

С

СPROGRAM FOR EVALUATING THE INTEGRAL OF THE RATIONAL

СFUNCTION

С1,'(2*PI*I)*B(S)*B(-S)/(A(S)*A(-S)>.

СALONG THE IMAGINARY AXIS

С

СA—VECTOR WITH THE COEFFICIENTS OF THE POLYNOMIAL

СA(1)*S**N + A(2)»S**(N-1) + • • • + A(N + 1)

СIT IS ASSUMED THAT A(l) IS POSITIVE.

СВ—VECTOR WITH THE COEFFICIENTS OF THE POLYNOMIAL

СTHE VECTORS A AND B ARE DESTROYED

С

СN—ORDER OF THE POLYNOMIALS A AND В

СIERR—WHEN RETURNING IERR = 1 IF ALL ZEROS OF A ARE IN LEFT

СHALF PLANE IERR = 0 IF THE POLYNOMIAL A DOES NOT HAVE

СALL ZEROS IN LEFT HALF PLANE OR IF A(l) IS NOT POSITIVE

СV—THE RETURNED LOSS

СIN—DIMENSION OF A AND B IN MAIN PROGRAM

С

СSUBROUTINE REQUIRED

СNONE

С

DIMENSION A(IN), B[IN)

С

IERR = 1 V = 0.

IF (Ail)) 70, 70, 10 !Q DO 20 К = 1, N

IF (A(K + 1)) 70, 70, 30

30ALFA = A(K)/A(K + I)

BETA = B(K)/A(K + I)

V = V + ВETA**2,'A LFA

Kl = К + 2

IFjKl - Nj 50, 50, 20 50 DO60I = KI,N, 2

Afl) = A(I) - ALFA*A(I + 1) 60 B'L = B(I) - BETA*A(I + I) .

20CONTINUE V = V/2. RETURN

70IERR = 0 RETURN END

пользуя затем теорему 6.1 гл. 3. Сравнить количество вычисле­ ний в этих случаях.

4. ВОССТАНОВЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННОЙ СОСТОЯНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ

Введение

На практике лишь некоторое число переменных состояния можно измерить непосредственно. Рассмотрим, например, дина­ мическую систему с дискретным временем

Калмана, то вектор состояния можно восстановить самое боль­ шее по п измерениям выходного сигнала. Переменные состояния можно также восстановить по математической модели системы.

158 Глава 5

моделью (4.3), например используя следующий способ восста­ новления:

восстановленный вектор состояния х совпадает с истинным зна­

Если К выбрать таким образом, чтобы система (4.5) была асимптотически устойчива, то ошибка восстановления х будет равна нулю. Следовательно, вводя обратную связь, можно вос­ становить переменные состояния также и в том случае, когда система неустойчива. За счет выбора К ошибку восстановления можно сделать нулевой для произвольных состояний моде­ ли (4.4).

Задача параметрической оптимизации

Таким образом, переменные состояния динамической систе­ мы можно восстановить с помощью математической модели. При восстановлении матрица К выбирается произвольно с тем условием, чтобы собственные значения матрицы Ф—KQ лежали внутри единичного круга. При этом возникает задача оптималь­ ного выбора К. Дадим более точную постановку задачи. Для этого предположим, что управление системой осуществляется разностным стохастическим уравнением

ковариационной матрицей Ro и что сигнал на выходе можно за­ писать в виде

y(t) = Qx(t)-r-e(t), (4.7)