книги из ГПНТБ / Острем К.Ю. Введение в стохастическую теорию управления

так как

Таким образом, интеграл от ковариационной функции есть ступенчатая функция. Формально в пределе ковариационная функция становится б-функцией Дирака

г (т) -> 2пс8 (%).

Помимо ограниченного в некоторой полосе шума, часто исполь­ зуется случайный процесс с ковариационной функцией

г ( т ) = = * L £ L . e - « w

v2

пспектральной плотностью

Ф (со) = • а2 со* + а2

В этом случае имеем

lim ср (со) = 1,

Итг(т:) — 2яб(т).

Несмотря на трудности, естественно возникающие вследствие бесконечности дисперсии, понятие белого шума очень важно в теории случайных процессов и ее приложениях. Белый шум ча­ сто используется для моделирования случайных процессов, име­ ющих постоянную спектральную плотность в определенной поло­ се частот в тех случаях, когда несущественно поведение спек­ тральной плотности вне интересующего диапазона частот.

Некоррелированность (и независимость для гауссова процес­ са) значений белого шума в различные моменты времени — ос­ новная причина его широкого применения. При использовании ограниченного по полосе шума мы все же получаем корреляцию между значениями процесса в соседних точках, что часто за­ трудняет анализ. Использование белого шума в теории случай­ ных процессов во многом аналогично использованию б-функции Дирака при анализе линейных систем.

Упражнения

1. Стационарный стохастический процесс имеет ковариаци­ онную функцию

Определить соответствующие спектральные функции распреде­ ления и их разложения.

3. Более точное описание броуновского движения дается сле­ дующей моделью (уравнение Ланжевена):

—+ ccv = е (0,

at

где и — скорость частицы и {е(0} —ограниченный по полосе белый шум с ковариационной функцией (5.22). Определить ко­ вариационную функцию скорости и показать, что ковариацион­ ная функция сходится к r(x) =const-exp (—at), если полоса шу­ ма стремится к бесконечности.

6. АНАЛИЗ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Для анализа динамических систем, входными переменными которых являются стохастические процессы, необходимо разра­ ботать методы их анализа. Необходимо рассмотреть такие понятия, как непрерывность, производная и интеграл стохасти­ ческого процесса. В этом разделе даны основы анализа стохасти­ ческих процессов, начиная с понятия сходимости случайных ве­ личин. Оказывается, что теория в этом случае имеет больше возможностей, чем для действительных переменных, ибо имеет­ ся более богатый выбор топологий.

После понятий сходимости определены понятия непрерывно­ сти, производной и интеграла для стохастических процессов.

ми способами. Позже будет рассморено наиболее общее понятие предела.

Определение 6.1. Последовательность {хп{®)} сходится с вероятностью 1 к стохастической переменной х(со), если х„(со)->- -^-х(со) для всех со, за исключением, возможно, множества зна­

ференцируемость и интегрируемость. Можно сказать, например, что процесс непрерывен в / с вероятностью 1, если x(t-\-h) схо­ дится к х (t) с вероятностью 1, когда h стремится к 0. Посколь­ ку мы рассмотрели три возможных определения сходимости, ес­ тественно возникает вопрос: какое понятие сходимости наиболее приемлемо для применения в стохастической теории управле­ ния? В приложениях было бы весьма желательно, например, ус­ танавливать, что все выборочные функции непрерывны. Это оз­

вам нельзя приписать вероятностную меру, используя конечно­ мерные распределения.

Заметим также, что непрерывность с вероятностью 1 не озна­ чает, что все выборочные функции непрерывны. Рассмотрим, на­

мится к нулю, когда Т стремится к бесконечности. Однако для фиксированного t=t0 этот процесс непрерывен, так как

Р{а; x(t0 + h,a)~хЦ0&)ф0} = 1 — е~ы

и правая часть сходится к нулю, когда h стремится к нулю. Часто трудно установить критерии для сходимости с вероят­

ностью 1. В дальнейшем мы будем пользоваться понятием среднеквадратической сходимости, так как оно упрощает анализ. Ни­ же показано, что для процессов второго порядка существуют простые критерии для непрерывности, дифференцируемое™ и интегрируемости в среднеквадратическом. Введя понятие преде­ ла, можно перейти непосредственно к введению понятий непре­ рывности, интеграла и производной, создавая таким образом ос­ новы для анализа стохастических процессов. Однако следует подчеркнуть, что во многих приложениях предпочтительнее ис­ пользовать равномерную сходимость no t с вероятностью 1.

Свойства среднеквадратической сходимости

Для исследования среднеквадратической сходимости исполь­

получаем также следующий важный результат.

Случайные процессы 45

Непрерывность

Понятие непрерывности стохастического процесса определя­ ется следующим образом.

Определение 6.4. Стохастический процесс {x(t), t еТ} второго порядка непрерывен в t в среднеквадратическом, если

ШЕ{х {t + h) — x{t)]2 = 0.

ft-0

Анализируя ковариационную функцию случайного процесса, легко установить, непрерывен ли процесс в среднеквадратиче­ ском.

Для доказательства последующих теорем докажем лемму. Лемма. Пусть хп-^-х и уп-+у в среднеквадратическом. Ех2 и

Еу1— ограниченные величины. Тогда

\\хпЕхпуп = Еху.

Доказательство. Имеем

хп Ут~хУ = (хп — х) (ут — у)+хпу + хут — 2ху = = (хп — х) (ут — у) + (хп — х)у + х{ут — у).

Однако

Здесь первое неравенство и его сходимость к нулю следует из неравенства Шварца и сходимостей хп и уп. Следовательно,

Е (х„Ут — ху)->0 при п,т->оо,

и лемма доказана.

Теорема 6.3. Стохастический процесс {x(t), teT} второго по­ рядка непрерывен в среднеквадратическом в моменты t е Т тогда и только тогда, когда функция его среднего значения непрерывна Bin ковариационная функция непрерывна в (t, t).

Доказательство. Имеем

Если r(s, t) и m(t) —непрерывные функции, то l i m £ U (/ + A) — л:(/)}2 = 0.

Таким образом, доказана необходимость заданных условий. До­ кажем их достаточность. Из теоремы (4.1) (утверждение 3) сле­ дует, что

r(t + h,t+h) — 2r(t + h,t) + r (t,t) > 0.

Таким образом, правая часть выражения (6.6а) есть сумма двух неотрицательных величин. Если левая часть равенства сходится к нулю, то каждый член правой части также сходится к нулю. Отсюда следует, что непрерывность процесса в среднеквадрати­ ческом означает непрерывность его функции среднего значения. Для доказательства второй части достаточного условия — непре­ рывности корреляционной функции — рассмотрим

г (tlt t2) = Е[х &) - m &)] [х (4) - m &)].

Так как х и m — непрерывные функции, имеем

х (/х) — m ->х (s) — m (s)

и

Итак, установлено, что непрерывность процесса в среднеквадра­ тическом означает, что его функция среднего значения и кова­ риационная функция непрерывны.

Чтобы доказать существование предела, сформируем после­ довательность Коши

Возьмем математическое ожидание от обеих частей равенства. Получим

Согласно принятым допущениям, среднее значение функции дифференцируемо и существует смешанная вторая производная функции r(s, t). Следовательно,

Таким образом, правая часть выражения (6.7) конечна. Вычис­ лив все три члена, найдем, что

при h, fe-9-0. Итак, доказана необходимость условий. Для дока­ зательства достаточности положим h=k и отметим, что правая часть выражения (6.7) есть сумма двух неотрицательных членов. Если левая часть сходится к нулю, каждый член правой части будет также сходиться к нулю. Следовательно, мы имеем про­ стой критерий для дифференцируемости. Приведем некоторые