книги из ГПНТБ / Острем К.Ю. Введение в стохастическую теорию управления

90 Глава 3

Показать, что условие (8.8) выполняется в том случае , когда решение стохастического дифференциального уравнения опреде­ ляется выражением (6.2), в котором интеграл определяется формулой (5.2).

9. МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ СТОХАСТИЧЕСКИМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ

О практическом значении стохастического дифференциаль­ ного уравнения можно судить по тому, насколько оно пригодно для моделирования физических процессов. Так как результаты такого моделирования можно оценить только путем эксперимен­ тального сравнения, то в общем случае можно сказать очень ма­ ло. В качестве примера рассмотрим моделирование броуновско­ го движения. Движение малой частицы, погруженной в жидкость, описывается уравнением

10. ПЕРЕХОД К РАЗНОСТНОМУ УРАВНЕНИЮ

Во многих случаях для регулирования и предсказания про­ цессов с непрерывным временем используются ЦВМ. Так как ЦВМ является дискретной, то выходные сигналы должны вво­ диться в память в дискретные моменты времени. Управляющие и упреждающие сигналы можно подавать в дискретное время. Если попытаться описать значения переменной состояния только в выборочные моменты, то теорию можно значительно упростить. Основное упрощение заключается в том, что стохастические дифференциальные уравнения сводятся к стохастическим разно­ стным уравнениям. Покажем, как это происходит.

Допустим, что процесс описывается уравнениями

— о о ^ ^ + оо} —/i-мерные и r-мерные винеровские процессы с ковариациями приращений R\ dt и ^2 dt соответственно. Предпо­ ложим, что процессы е и v независимы. Уравнение (10.1) описы­ вает процесс, а уравнение (10.2) —связь наблюдаемых сигна­ лов с переменными состояния. Таким образом, можно считать, что процесс {е(0} является ошибкой измерения. Затем допус­ тим, что выходные переменные наблюдаются в дискретные мо­ менты времени t\, t2, tz,... . Получим уравнение связи между пе­ ременными состояниями х и наблюдаемыми выходными перемен­

Ф&;<,) = /,

'*

' Ж

+( в ( ' ж ) - в ( м Л -

'ж

'« • + 1

Смешанные члены, содержащие de и du, взаимно уничтожат­ ся, так как процессы v и е независимы. В теореме 10.1 подведены итоги проведенных выше вычислений.

Теорема 10.1. Значения переменных состояния и наблюдае­ мых выходных величин стохастических дифференциальных урав­ нений (10.1) и (10.2) в дискретные моменты времени U связаны стохастическими разностными уравнениями

чайных величин с нулевыми средними значениями и ковариа-

циями

' ж

' Ж

Стохастические разностные уравнения (10.3) и (10.4) называют­ ся выборочными вариантами уравнений (10.1) и (10.2).

Из дифференцирования следует, что статистические свойства уравнений (10.1), (10.2), (10.3) и (10.4) идентичны в интервалах выборки. Это означает, что выборочный вариант удобно исполь­ зовать для аппроксимации системы с непрерывным временем.

Отметим, что ошибки измерения е и «помехи процесса» v в урав­ нениях (10.3) и (10.4) могут быть зависимыми, даже если в и v независимы в уравнениях (10.1) и (10.2).

Применения

Рассмотрим некоторые следствия теоремы 10.1 для задач уп­ реждения и регулирования. На практике уравнения (10.1) и (10.2) используются для моделирования процесса:

где {v(t), —оо < / < < со} и {e(t), — со<^<оо} — стационарные гауссовы процессы, спектральные плотности которых постоянны вплоть до высоких частот (см. разд. 9). Если промоделировать процесс (10.15) и (10.16) и построить цифровой фильтр, осно­ ванный на соответствующих выборочных моделях, то сигнал, ко­ торый вводится в управляющий вычислитель, можно определить формулой

Из физической интерпретации этого выражения находим, что наблюдаемый сигнал у, содержащий высокочастотный шум, не выбирается непосредственно. Наблюдаемый сигнал у сначала интегрируется при помощи аналогового интегратора, который устанавливается на нулевом уровне в начале каждого интервала выборки. Это вполне естественно с практической точки зрения, так как интегрирование уменьшает высокочастотный шум. Отме­ тим также, что если используется какой-либо другой тип анало­ говой фильтрации, то необходимо либо учесть динамику дискрет­ ной модели до фильтрации, либо построить дополнительный фильтр, если выборочный вариант является стохастическим раз­ ностным уравнением.

7—403

показать, что выборочный вариант с интервалом выборки h за­ дается следующими формулами:

4. Получить результат, соответствующий теореме 10.1, когда выходная переменная выборочной системы определяется выра­ жением

' Ж