книги из ГПНТБ / Острем К.Ю. Введение в стохастическую теорию управления
.pdf140 |
Глава 5 |
SUBROUTINE SALOSS (А, В. N, IERR, V, IN)
С
СPROGRAM FOR EVALUATING THE INTEGRAL OF THE RATIONAL
СFUNCTION
Сl/(2»PI*I)*BtZ)'Bil.Z),<(A(Z;*All;Zi)* 1 Z)
СAROUND THE UNIT CIRCLE
С
СA—VECTOR WITH THE COEFFICIENTS OF THE POLYNOMIAL.
С |
AU)*Z**N + A(2)*Z**IN - \) + • • • + A(N + 1) |
СB—VECTOR WITH THE COEFFICIENTS OF THE POLYNOMIAL
С |
B(1)*Z*'N + B(2)*Z**(N - 1) + • • • J - B(N + 1 |
С |
|
СTHE VECTORS A AND В ARE DESTROYED
СN—ORDER OF THE POLYNOMIALS A AND В (MAX 10;
С1ERR—WHEN RETURNING 1ERR = 1 IF A HAS ALL ZEROS INSIDE UNIT
СCIRCLE I ERR = 0 IF THE POLYNOMIAL A HAS ANY ROOT OUTSIDE
СOR ON THE UNIT CIRCLE OR IF Ad) IS NOT POSITIVE
СV—THE RETURNED LOSS
СIN—DIMENSION OF A AND В IN MAIN PROGRAM
С
СSUBROUTINE REQUIRED
СNONE
С
DIMENSION A(IN), B(1N), AS;il)
С
AO = АП)
IERR = 1
V = 0.0
DO 10 К. = I, N L = N + I - К LI = L + 1
ALFA = A(L1)/A(1)
BETA = B(LI)/A(1)
V = V + BETA*B(LI) DO 20 I = 1, L
M = L + 2 - I
AS(P •- A(I) - ALFA*A(M) 20 B(I) = B(I) - BETA*A(M)
IF (ASd)) 50, 50, 30 30 DO 40 I = I, L 40 A(I) = ASd)
10 CONTINUE
V = V + Bjl)**2/A(l)
V = V/A0
RETURN
50IERR = 0 RETURN END
Параметрическая оптимизация |
141 |
|
Находим 7=2,9488. |
|
|
Приведенные формулы пригодны для вычисления |
на ЭВМ. |
|
Программа на Фортране |
приведена на стр. 140. |
|
Упражнения |
|
|
1. Вычислить интеграл |
(2.1) для |
|
A (z) = г2 + 0,4z + 0,l, В (г) = г2 + 0,9z + 0,8.
(Ответ 7=1,565079.)
2. Простая система управления запасами может быть описа на уравнениями
I(t) = I(i-\) |
+ |
P(t)-S(t), |
|
где / — уровень запасов, |
Р — продукция, s — величина сбыта, |
||
и — решение, k — задержка |
|
продукции. |
|
Допустим, что уровень запасов удовлетворяет условию и(0 = « 1 Л - / ( * ) ] •
Определить дисперсию колебаний продукции и уровня запасов, если колебания сбыта можно описать последовательностью не зависимых одинаково распределенных случайных переменных с нулевым средним и стандартным отклонением ст.
3. Доказать, что интеграл /, определенный формулой (2.1), можно представить как первую компоненту Х\ вектора решений линейного уравнения
— |
|
|
— |
— |
— |
I I— |
п |
|
|
|
- | |
Г |
|
||
|
2а2 |
2а3... |
2ап |
|
|
|
2 £ ь] |
аг |
а 0 + а 2 а х + а 3 |
а 2 + а 4 |
. • а п - \ |
х2 |
|
|
1=0 |
|
|
|
|||||
а2 |
а3 |
а х + а 5 |
.. ап-2 |
Хз |
|
= |
1=0 |
|
|
|
а„ |
0 |
0 |
... ах |
Хп |
_ а" |
|
0 |
|
|
1=0 |
0 |
0 |
... а0 |
Хп+\ |
Сравнить количество вычислений, необходимых при оценке интеграла как решения линейного уравнения, с количеством вц-
142 |
Глава 5 |
числений, необходимых при оценке интеграла с помощью теоре мы 2.1.
4. Если функция A;i_i определяется по формуле (2.7), то по стоянный член в выражении для Аи равен нулю. Показать, что результат, аналогичный теореме 2.3, можно получить, используя соотношения
Ак_1(г)=Ак(г)-4л1(г),
вк_х (*) = |
ад- |
ад. |
в которых члены высших порядков в полиномах Аи равны нулю.
Примечание.
|
— - 1 |
+ 2 |
bd |
°k |
|
|
|
|
"0 |
"fe |
|
5. Вывести |
рекуррентный |
алгоритм |
для оценки |
интегралов |
|
±£BWBW |
± с |
|
d |
z |
|
2m J |
А (г) А (г-i) |
2л£ j |
А (г) A (z-i) |
|
|
6. Проверить, что программа на Фортране (стр. 140) дает искомый результат.
3.ОЦЕНКА ФУНКЦИИ ПОТЕРЬ ДЛЯ СИСТЕМ
СНЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ
Постановка задачи
Рассмотрим задачу, изложенную в разд. 2, для линейныхстационарных динамических систем с непрерывным временем. Предположим, что помеха представляет собой стационарный случайный процесс с рациональной спектральной плотностью. Выражение для дисперсии можно представить интегралом вида
/ = = _ L |
r ° B ( s ) B ( - s ) |
( 3 |
2ni J |
A(s)A{— s) |
|
где А и В —полиномы с рациональными коэффициентами:
A (s) = a0sn |
+ а / - 1 |
+ • • • + |
s + |
а„, |
(3.2) |
В (s) = |
b^-1 |
+••• + bn_x |
s + |
b". |
(3.3) |
В этом разделе рассматривается оценка интеграла (3.1), кото рый можно также интерпретировать как дисперсию реакции на
Параметрическая оптимизация |
143 |
белый шум устойчивого фильтра с передаточной функцией B(s)/A(s). Если полином A(s) не имеет нулей на мнимой оси, то интеграл (3.1) существует. Заметим, что степень полинома В должна быть по крайней мере на единицу меньше, чем степень полинома А. Физическая интерпретация аналогична интерпрета ции, рассмотренной в разд. 2.
Обозначения и предварительные замечания
Для формулировки окончательного результата примем не которые новые обозначения. Введем вначале разложение поли пома A (s) на четные и нечетные члены:
|
|
A(s)=A(s)+A(s), |
|
(3.4) |
||
где |
|
|
|
|
|
|
A (s) = a0sn + a2sn-2 -\ |
_1_ |
[л (s) + (— \ f A (— s)], |
(3.5) |
|||
= - L |
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
A (s) = а - / - 1 |
+ a3 sn _ 3 |
+ • • • = -±- [A (s) — (— 1)" А (— s) |
(3.6) |
|||
Введем также полиномы Ah(s) и Bk(s), |
степени которых не пре |
|||||
восходят п, |
|
|
|
|
|
|
|
Ak (s) = a* s» + a* s*-1 + • • • + a*, |
(3.7) |
||||
|
Bf t (s) = b* s^-1 + 6* sfc~2 |
H |
4- b*. |
(3.8) |
||
а коэффициенты определяются из рекуррентных уравнений |
||||||
|
Л - 1 |
00 = 4 (s ) - ak s |
\ (s), |
(3.9) |
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
aft = a*/a*f |
|
|
(3.11) |
|
|
|
Pft = |
|
|
|
(3-12) |
|
|
Л „ ( 5 ) = Л ( 5 ) , |
|
|
(3.13) |
|
|
|
£„(s) = S(s). |
|
|
(3.14) |
|
Полиномы |
и Bk-i можно, очевидно, |
определить |
только |
|||
при а£=£=0. Необходимые и достаточные условия возможности такого представления сформулированы в теореме 3.1.
Теорема 3.1. Пусть а * > 0 , тогда эвивалентны следующие ус
ловия:
1. Все нули полинома Ak(s) лежат в левой полуплоскости.
144 |
Глава 5 |
|
|
||
2. Все нули полинома |
Au-i(s) |
лежат в левой полуплоскости, |
|||
и коэффициенты а\ положительны. |
|
|
|||
Докажем предварительно следующую лемму: |
|||||
Лемма 3.1. Если все нули |
полинома f(s) с действительными |
||||
коэффициентами лежат в левой полуплоскости, то |
|||||
\f(s)\<\f(-s)\, |
|
|
R e s < 0 , |
||
1/(5)1 = |
If |
|
|
Res = 0, |
|
\f(s)\>\f(-s)\, |
|
|
R e s > 0 . |
||
Доказательство. Так как нули полинома / лежат в левой по |
|||||
луплоскости, то |
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
f(s) = p r i ( s |
- a |
/ ) . |
R e « , < 0 . |
||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
/ ( - s ) = p f l ( - s - a , ) = p f l ( - s - a , ) . |
|||||
г=1 |
|
|
|
i=i |
|
Введем функцию |
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
W (S) = |
' |
= |
|
|
±- . |
Рассмотрим преобразование |
|
|
|
|
|
|
, . |
|
at — s |
|
|
|
Щ (s ) |
= |
=Н- |
|
> |
|
|
|
ас -Ь s |
|
|
которое отображает комплексную плоскость так, что левая по луплоскость переходит внутрь единичного круга. Преобразование
J |
1 |
1 |
1 ' |
1 'a^+ s |
f(-s) |
|
|
||
|
|
(=i |
|
i=i |
|
|
|
|
|
обладает аналогичными |
свойствами, |
следовательно, утвержде |
|||||||
ние леммы доказано. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство |
теоремы 3.1. Докажем |
сначала, |
что из усло |
||||||
вия 1 вытекает условие 2. Пусть |
а$ > 0 , и предположим, |
что |
|||||||
все нули полинома Ah(s) |
лежат в левой полуплоскости. |
|
|||||||
Доказательство |
положительности |
а\ |
проведем |
от противно |
|||||
го. Итак, предположим, что а\ |
неположительны. Пусть s — дей |
||||||||
ствительное достаточно |
большое |
положительное |
число. |
Тогда |
|||||
получаем неравенство |
| Au(s) |
\ <. |
j (Ak( —s) |, что |
противоречит |
|||||
Параметрическая оптимизация |
145 |
лемме 3.1. Аналогично можно доказать, что а1} отличны от
нуля.
Чтобы доказать, что все нули полинома Ak-i{s) лежат в ле вой полуплоскости, заметим, что из выражений (3.6) и (3.9) следует
Ak_,(s)=(l-aJf}Ak(s) |
+ (-\)»?fAk(-S). |
(3.15) |
Полином Ah-i(s) имеет степень k—1. Поэтому достаточно до казать, что все нули обратного полинома
Al_, (s) = s*-i Л,_, (s-i) = |
[(s - |
f |
J A\ (s) |
f |
||
+ |
« £ . ( - i ) M ; ( - S ) |
|
|
|
(3.16) |
|
лежат в левой полуплоскости. Вместо |
анализа |
выражения |
||||
(3.16) используем подстановку и рассмотрим |
функцию |
|||||
F (s, а) = s-i [(s - |
i L ) A; (S) + |
- | - ( - 1 fA\ |
( - |
s) , (3.17) |
||
где а — произвольное |
действительное |
число |
из |
интервала |
||
(О, ak). Заметим, что |
|
|
|
|
|
|
F[s,ak)=sAl_l(s). |
|
|
|
|
(3.18) |
|
Так как A*k не имеет нулей в правой полуплоскости, то из лем мы 3.1 следует, что
|
|
K ( S ) | > H * ( - S ) | . |
Re s > 0 . |
|
||
Выберем |
теперь |
такое s, что Re s > 0 |
и |
|
Из не- |
|
равенства |
треугольников |
получаем |
|
|
|
|
|
f ( S , a ) | |
= |s-4 |
ls-±.)Al(S) |
+ |
±Al(-S) |
> |
|
>\s~1 |
s — |
|
|
> o . |
|
Таким образом доказано, что функция F не имеет нулей в мно жестве
S = \s |
Re s > 0 и |
I |
Is—— |
> |
(3.19) |
I |
|
2 |
|
||
Это множество представлено на рис. 5.1. |
|
||||
Отсюда следует, |
что F не имеет нулей в правой полуплоскос |
||||
ти. Для доказательства используем непрерывность |
аргумента. |
||||
10—403
146
Im s
Глава 5
Так как F — непрерывная фун кция по а, то ее нули также непрерывны по а. Заметим, что
F(s,0) = Ak(s).
Р и с . 5.1. Представление |
множества |
а |
а |
s— —2 |
> —2 |
При а = 0 все нули F лежат в левой полуплоскости. Так как F не имеет нулей на множестве 5 [выражение (3.19)], то при увеличении а ни один нуль не может пересечь мнимую ось при s^=0. Следовательно, оста ется единственная возмож ность — появление нулей в пра вой полуплоскости при возра стании а. Но
F{0,a)=--ako |
— а а * > 0 , |
0 < а < а Л . |
|
|
Поскольку при увеличении а функция |
F(s,a) |
может |
обратиться |
|
в нуль только при a=a0/ai |
= ait, причем это |
будет |
единствен |
|
ный нуль, постольку F'(0, |
а ь ) = а * > 0 . Итак, |
функция F(s, аь) |
||
может иметь единственный нуль вне левой полуплоскости. Чтобы доказать, что из условия 2 следует условие 1, предпо
ложим, что все нули Ак-\ |
(s) лежат в левой полуплоскости и что |
|||||||
а\ и |
а\ положительны. Из |
уравнений (3.6) |
и |
(3.9) |
получаем |
|||
|
V . И = (l - ^ ) \ (*) + (~ ^?a-f |
\ |
(- s), |
|||||
|
V l |
( ~ |
«) = (1 + |
^ ) К ( ~ *) - |
( ~ |
1)* ^ |
А * (*) • |
|
Исключая Ah(—s) |
из этих выражений, находим |
|
||||||
|
Ak(s) |
=(l |
+ a-f) |
Ak_, (в) - ( - |
|
V i |
( ~ s>- |
|
Так |
как a% |
и |
a\ |
положительны, то a.k также |
положительны. |
|||
Для 5, удовлетворяющих |
условию Re s^O, |
получим |
||||||
|
|
|
|
1 _j_ ^ > aks |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
Поскольку все нули полинома Au-i (s) лежат в левой полупло скости, можно применить лемму 3.1. Таким образом,
\Ak_1(s)\>\Ak_1(-s)\, |
Re s > 0 . |
|
|
|
|
Параметрическая |
|
оптимизация |
|
|
|
147 |
|||||
Объединяя эти два неравенства, получим |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2 |
\A^)\>rTi\A^(-s)\. |
|
|
|
|
|
Re |
S > 0 . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - j - |
a * |
s |
|
(s)| - |
\aks |
• |
|
( ~ s |
) | > |
0. |
Re |
s > 0. |
||
|
|
9 |
[ V . |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, |
полином ^^(s) |
не может иметь нулей в правой |
|||||||||||||
полуплоскости, что и требовалось |
доказать. |
|
|
|
|
||||||||||
Применив несколько раз теорему 3.1, найдем, что если все |
|||||||||||||||
нули полинома |
A(s) |
|
лежат |
в левой полуплоскости, |
то |
все нули |
|||||||||
полиномов j 4 ; i ( S ) , k=n—1, |
п—2, |
|
0, также лежат в левой по |
||||||||||||
луплоскости |
и коэффициенты а* |
|
положительны. Обратно, если |
||||||||||||
все |
коэффициенты |
а\ |
положительны, |
то |
все |
корни |
полинома |
||||||||
A (s) |
лежат в левой полуплоскости. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Теорема |
3.2. |
Пусть а* > 0 , |
тогда |
эквивалентны |
следующие |
||||||||||
условия: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Все корни полинома A(s) |
лежат |
в |
левой |
полуплоскости. |
|||||||||||
2. Все коэффициенты а\ |
положительны. |
|
|
|
|
||||||||||
Основной результат |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Покажем, |
что интеграл |
(3.1) |
можно |
вычислить |
рекурсивно. |
||||||||||
Для доказательства |
введем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2JU |
BkBk |
(- |
s) |
|
•ds, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! Ak (s) Ak (— |
s) |
|
|
|
|
|
||||
где полиномы Ak и Ви определяются формулами |
(3.9) |
и (3.10). |
|||||||||||||
Нетрудно з ЙМСТИТЬ, ЧТО 'п — /. Основной |
результат сформулиро |
||||||||||||||
ван |
в теореме 3.3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А лежат |
||
Теорема 3.3. Предположим, что все корни полинома |
|||||||||||||||
в левой полуплоскости, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
fe-1+2«ft' |
|
|
|
1,2 |
|
п, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/о |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Доказательство теоремы основано на эле ментарных свойствах аналитических функций. Так как коэффи циенты ал и Рл являются непрерывными функциями коэффици ентов полинома, то теорему достаточно доказать для частного
случая, когда корни полиномов Ak(s) и Ah(s) различны.
Ю*
148 |
Глава 5 |
Так как все нули полинома A(s) лежат в левой полуплоско сти, то из теоремы 3.1 вытекает, что все коэффициенты а\ по ложительны. Следовательно, полиномыAk (s) можно определить по формулам (3.9) и (3.10). Из теоремы 3.1 следует также, что все нули полиномов Ak(s) лежат в левой полуплоскости. Кроме
того, все нули полиномов Ak{s) лежат на мнимой оси. Из раз ложения (3.6) следует, что
|
|
|
Ak(~s) |
= |
|
(-lf-lAk(s). |
|
|
|
Из леммы 3.1 получаем |
|
|
|
|
|
|
|||
И* 001 = -j\А (s) - |
( - 1)* Ак |
( - s)| > ± (\Ак (s)| |
- |
|
|||||
|
|
|
- И *(«)1) = 0, Re s > 0 . |
|
|
|
|||
Из выражений (3.4)—(3.6) находим |
|
|
|
|
|||||
Лк (- s) =Ak |
( - |
s) + Ак ( - |
s) = ( - |
1 )* Ак (s) -f- ( |
• 1 )*~] Ак |
(s) = |
|||
= |
(- |
If |
[Ак (s)-Ак |
(s)] = |
( - 1)* Л, (S ) + |
2Ак ( - |
s). |
(3.20) |
|
Рассмотрим |
функции |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Вк-, |
(Я) gjfc—, ( - |
5) |
|
|
(3.21) |
|
|
|
|
i 4 f t _ ! (s) ,4Й_, |
( — |
s) ' |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
(s) Д«-, ( - |
s) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(s) 2Ak ( - |
s) |
|
|
(3.22) |
|
Они имеют одни и те же полюсы Sj в левой полуплоскости, удов
летворяющие уравнению Ak-i(Si) |
= 0 . Функция |
(3.21) |
имеет, |
|||||||
кроме того, полюсы в правой полуплоскости, |
а |
функция |
(3.22) |
|||||||
имеет полюсы на мнимой оси. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Для полюсов, |
которые |
лежат |
в |
левой полуплоскости, по |
||||||
лучим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V . |
К) = |
К |
[8,) - |
ahsc |
Ак |
= |
0, |
|
|
(3.23) |
Л - 1 ( ~ **) = |
\ |
( - *£ ) + |
Si \ |
(- |
^) |
= |
|
|
||
|
= Ak |
( - s() + a, s, ( - 1 f~x |
Ак |
(Sl) = |
|
|||||
|
= Ак |
( - 5 ; ) + ( - I f " 1 Ак |
(Si) = 2 Д ( - S i ) , |
|||||||
где первое равенство следует из выражения |
(3.9), |
второе — из |
||||||||
(3.6), третье — из (3.23), а четвертое — из |
(3.6). |
|
|
|
||||||
Параметрическая |
оптимизация |
149 |
Так как Ak-\(s) имеет простые |
полюсы, то функции |
(3.21) |
и (3.22) имеют одинаковые вычеты в полюсах s{. Интегрируя
функции (3.21) |
и (3.22) |
по контуру Г; (рис. 5.2), |
который со |
стоит из отрезка |
прямой, отстоящего от мнимой оси, и полукру |
||
га, построенного |
на этом |
отрезке как на диаметре, |
получим |
— |
I со — £ |
|
|
i 7 |
V, |
(s) at-, (s) d s > e > 0 j |
( 3 2 4 ) |
2 n i |
' ' |
, ( s ) 2 / l j ( - s ) |
|
Im s |
Im 5 |
|
Re s |
Re s |
P и c. |
5.2. |
Получение |
кон |
тура |
Г е |
предельным |
пере |
ходом из Г; при R-*-oo.
Р и с. 5.3. Получение контура Гг предельным переходом из Тг при
Я-*-оо.
так |
как |
подынтегральное |
выражение |
стремится |
к нулю |
как |
|
\s\~2 |
при |
больших s, интегралы вдоль |
сегмента |
обращаются |
|||
в нуль. |
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим теперь функции |
|
|
|
|
|||
|
|
flft-i (s) Bk-i) |
(— s) |
|
^ |
щ |
|
|
|
Ак-Л^) |
2Ak(—s) |
|
|
|
|
|
|
Bk-i (s) Bk-i |
(— s) |
|
^ |
щ |
|
Ak (s)2 4 ( - s )
Они имеют одинаковые полюсы на мнимой оси, которые совпа дают с полюсами Aft. Они не имеют полюсов в правой полупло-