книги из ГПНТБ / Острем К.Ю. Введение в стохастическую теорию управления

30

Глава 2

* ( / ) = £ а,-МО.

(3-16)

Упражнения

1.

Пусть

{x(t),

teT}—нормальный

процесс с

нулевым

средним значением. Показать, что

Е

[х (У х (tt) х (t3) х (/,)]

=

г

/2) т (/8> Q +

+ r(t1,t3)r(t2,ti)

+

r(t1,

tt)r(tt,

t3).

2. Пусть

{x(t),

t

e 7 } — нормальный

процесс с нулевым сред­

ним значением. Показать, что

E[x[t1)x{t2)--.x(tbl)]=S[Ex[tli)x[tlt)y.-

•••[Ex^xfrJ],

где сумма берется

j раз.

3.

Пусть

х и

у—

вектор-столбцы произвольной размерности

и допустим,

что

У'

— нормальный

вектор

со средним

значеии-

X

ем

тп"л:

и ковариацией

пг„

Rx

Rxy

Ryx

Rg .

32

Глава

2

4 . КОВАРИАЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ

В разделе кратко изложены свойства

ковариационных функ­

ций. Пусть {x(t),

teT}

и {y{t),

teT}

—случайные процессы вто­

рого

порядка. Их

ковариационная

функция

была

определена

выше соотношением

гху

(s, t) = cov [х (s),

у (/)] =

Е

[х (s) -

Ex (s)] \у (t) - Еу

(t)]т.

(4.1)

В

частности,

если

rxy(s,

t)

есть

функция

разности

аргументов

s—t,

то эти

процессы

совместно

стационарны

в широком смыс­

ле. Следовательно,

rxy{s,l)

= rxu{s-i).

(4.2)

Если процессы {x(t),

teT}

и

{y(t),

t еТ}

одинаковы, то rxx(s,

t)

называют автоковариационной

функцией.

Для простоты rxx(s,

t)

обозначают иногда через rx(s,

t).

процессов

{x(t),

teT}

Взаимная

корреляционная

функция

и

{#(0> teT}

определяется

выражением

Автокорреляционная

функция процесса {x(t), teT} определяет­

ся выражением

Px,(«,0= .

' " < « ' ' » = .

V rxx(s,

S) г х х (t, t)

В частности, для стационарных

процессов

Рху{1)

=

-

.

У

гхх(.0)гуу(0)

Р „ ( т

) - ^ - .

Гхх ( 0 )

Поскольку нормирование

является

трудоемкой операцией, кор­

ется для обозначения Ex(t)x{t-\-%)1.

Если х

и у — векторные

величины

(например, n-мерные векторы), ковариационная функ­

ция определяется следующим выражением:

1 В

отечественной литературе по теории вероятностей и ее применениям

обычно

rxy(s,

t)

называется взаимной корреляционной функцией случайных

функций

x(t)

и

y(t), a rxx(s, t) — автокорреляционной

функцией случайной

Ex2 + 2аЕ \ху\ + а? Еу2 = (Еу2)

Е\ху\

+ Ех2-

(Е И ) 8

>0.

Еу*

Eif-

\r£(s

+

h, t + k)~rx(s,t)\

= \cov [x(s

+

h),

x((

+ k)~x(t)j

+

-fcov

[x(s +

h) — x{s),

* ( 0 ] | <

<

[rx

(s +

h,

s + h) [rx

{t +

k,t

+

k) — 2rx

(t +

k, t) +

+

rx it, t\\'h+

{[rK (s +

h,s

+

h)~

2rx

(s +

h,s)

+

+ rx(s,s)]rx(t,t)\'/-.

(4.6)

Неравенство

в этом выражении

следует

из

неравенства

(4.4).

Пусть

h,

fe-vO,

тогда rx(t+k,

t)-+rx{t,

t)

и

rx(t+k)-+rx{t,

t),

так как rx(s,

t)

—непрерывная

функция

для

s=t.

В этом

слу­

чае правая часть выражения

(4.6)

сходится к нулю, и утвержде­

ние 4 доказано.

Ковариационная функция стационарных в широком смысле

процессов имеет следующие

свойства:

Е 2,-z; г,

О,

|гЛ*)КМ0).

Если

гх(х)

непрерывна

для

т = 0 ,

то

гх(%)

непрерывна

для

всех т.

r(x) =

f 1 '

N < 1 .

10,

| т | > 1 ,

( , _

1 о ,

Ы > 1 ,

.

36

Глава 2

го

г ( т ) =

J* ешх dF (со) (для процесса с непрерывным

временем)

(5.3)

или

я

г(т) =

j

eimdF(a)

(для процесса с дискретным временем),

(5.4)

—я

где

F — неубывающая функция. Функция F

называется

спект­

ральной

функцией

распределения

случайного

процесса. Она мо­

жет быть разложена на три компоненты:

F(w)

= Fa(®) + FA«>) + Fs(<u),

(5.5)

где

Fa

— абсолютно

непрерывная

функция,

Fa — ступенчатая

функция

и Fs— непрерывная почти

везде постоянная

функция.

Функция

Fs

называется сингулярной

частью. Функции

Ра

и Fa

можно записать в следующем виде:

F e H = J q > ( a > W ,

(5.6)

(5.7)

V

где Ф(со) называется функцией

спектральной

плотности, или

просто

спектральной

плотностью.

Если предположить,

что син­

гулярная

часть Fs

и ступенчатая

функция Fd равны

нулю, то

можно найти уравнения, связывающие спектральную

плотность

и ковариационную

функцию:

Ф(ю) =

2п

• j

е~шг{1) dt

(5.8)

(для

процесса с непрерывным

е ш ф (со) d®

временем),

(5.9)

r(t)-

<р(со) •

1

(5.10)

2п

(для процесса с дискретым

——оо

г{п)

J

е'п и ф(со)^(й

временем).

(5.11)

Случайные

процессы

37

varx = r(0) = j d F (со),

(5.12)

—а,

ш.

со,

J dF (со) +

J dF (со) + j dF (со) при соа > сох > 0

(5.13)

— С О ,

СО,

СО,

S(f)=

(

e-^rtfdt,

(5.14)

г ( т ) =

J

e+3n4xS{f)df.

(5.15)

Если ввести

— го

ср (со) da =

S(f)df,

со = 2nf,

" M - h s f f i -

< 5 Л 6 )

что как ф, так и S обладают одним свойством: для

процессов

с Fd=0 и Fs=0 площадь под кривой спектральной

плотности

равна общей дисперсии процесса.

38

Глава 2

Разложение стационарных процессов

Существует разложение стационарных процессов {x(t),

teT},

которое соответствует

разложению спектральной функции

рас­

нарный случайный процесс {x(t), teT}

можно разложить на три

независимых процесса: {xa(t), teT},

{Xd(t), teT}

и {xs(t),

teT},,

имеющие

соответственно спектральные

функции

распределения

Fa, Fd и Fs,

так, что

( 0 +

+ * , ( ' ) •

(5Л7)

/ =

f|log^>)|dc o

(5.18)

—л

бесконечен, и

процесс

является

недетерминированным, если

интеграл (5.18)

конечен.

Соответствующий критерий

для

процессов с

непрерывным

параметром определяется

интегралом

со

I log F'(со)|

/

Г

(5.19)

=

1

da>.

J

-

1 + ш 2

Случайные процессы

3 9

характеризует распределение дисперсии процесса по

частоте,

можно дать следующее определение:

Определение 5. 1. Стационарный в широком смысле

процесс

что для белого шума сингулярная часть Fs

и дискретная часть

Fd разложения спектральной

функции

распределения

обраща­

ются в нуль. Таким образом,

белый

шум

имеет

постоянную

спектральную плотность ср (со) == const. Сделаем теперь

некото­

рые выводы из данного определения

отдельно для

процессов с

дискретным и непрерывным временем.

(5.20)

Таким образом, для белого шума

с дискретным временем

л = 0,

(5.21)

п = ± 1,

± 2 , • .