книги из ГПНТБ / Острем К.Ю. Введение в стохастическую теорию управления

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ УПРЕЖДЕНИЯ И ФИЛЬТРАЦИИ

Задачи фильтрации и упреждения можно сформулировать следующим образом. Рассмотрим два действительных стохасти­ ческих процесса {s(t), te Т) и {n(t), teT}, которые назовем со­ ответственно сигналом и шумом. Допустим, что сумма

y(t) = s(f) + n(l)

наблюдаема и может быть измерена. В момент времени t полу­ чаем реализацию у(х), t0<ix-^t, измеряемой переменной. На ос­ нове этой реализации требуется определить наилучшую оценку величины сигнала в момент времени t\. При t\<Ct поставленная

тор, фильтр, упредитель) является функцией, которая отобража­

стимые оцениватели.

Сигнал и шум можно определить многими способами. Их можно представить процессами с дискретным и непрерывным временем, можно охарактеризовать ковариационными функция­ ми, спектральными плотностями, стохастическими разностными или дифференциальными уравнениями.

Много возможностей также существует для определения «наилучшей» оценки. Например, можно определить функцию по­ терь / как действительную функцию со следующими свойства­

Л

ка, которая минимизирует средние потери El(s—s). Оцениватель мы определили как функцию, которая отображает У в 5. Можно потребовать, чтобы эта функция была линейной или имела ка­ кие-либо другие свойства.

Оценка состояния

По-видимому, существует много возможностей для постанов­ ки задачи оценки. Для стохастической теории управления наи­ больший интерес представляет тот случай, когда сигнал и шум

где {v(t)} и {e(^)} — винеровские процессы. Предположим, что известна реализация наблюдаемого выхода у(х), t o ^ t ^ t и тре­ буется оценить вектор состояния .(2.1) или (2.3). Эта частная задача называется задачей оценки состояния.

Предварительные результаты

Сделаем предварительно несколько замечаний, которые поз­ волят установить эквивалентность различных постановок задач оценки. Прежде всего заметим, что вся необходимая статистиче­ ская информация, извлекаемая из наблюдений стохастической переменной s(t\), содержится в условном распределении

Для нахождения наилучшего оценивателя необходимо, таким

л л

образом, найти функцию s=s(r)), такую, что критерий

234 Глава 7

ность удовлетворяет условиям теоремы, выбор функции потерь несуществен, если только эта функция симметричная п неубы­ вающая при положительных значениях аргумента.

Замечание 2. Нормальная плотность удовлетворяет услови­ ям теоремы. Для нормальных случайных переменных известно также, что условное математическое ожидание .Efslri} является линейной функцией т). Таким образом, для нормальных процес­ сов наилучшая оценка будет линейной функцией от наблюдений для всех функций потерь, удовлетворяющих условиям теоре­ мы 2.1.

Замечание 3. Если сигнал и шум заданы как случайные про­ цессы второго порядка, задачу оценки можно сформулировать, используя критерий

Л

Е (s — s)2 = min

л

при условии, что оценка s линейно зависит от г). Из замечания 2 следует, что наилучший оцениватель будет таким же, какой по­ лучился бы, если положить, что процессы гауссовы с теми же моментами первого и второго порядка, что и у данных процес­ сов второго порядка. Никакие ограничения на оцениватели не накладываются.

Теорема 2.1 может привести нас к заблуждению, что услов­ ное математическое ожидание всегда дает решение задач уп­ реждения. Следующий пример показывает, что это, конечно, не так.

Пример

Рассмотрим стохастический процесс, определенный следую­ щим образом:

дисперсией rdt. Определим наилучший упредитель на интерва­ ле (t, t-\-h), когда критерий равен минимуму среднеквадратиче­ ской величины и наиболее вероятной величине.

Так как уравнение однородно по времени, можно определять упредитель на интервале (0, h). Уравнение (2.10) имеет реше­ ние

Мода распределения, т.е. величина |, при которой функция плотности / ( | , t) достигает своего максимума, дается формулой

Отсюда находим, что «минимальный среднеквадрэтический» упредитель x(t-\-h), полученный из наблюдений x(t), дается формулой

x(t + h\t) = x(t),

в то время как «наиболее вероятным» упредителем будет

А—3/2rft

Упражнения

1. Пусть сигнал {s(t), teT) и шум {n(t), teT} являются независимыми стационарными стохастическими процессами с ковариационными функциями rs{t) и rn(t) соответственно. По­ ложим, что линейная комбинация

y=s+n

наблюдаема и требуется предсказать s на интервале длиной h с помощью линейной операции

среднеквадратический ^-шаговый упредитель и ошибку упреж­ дения для этого процесса.

5. Оптимальный упредитель из упражнения 4 содержит диф­ ференциатор. Определить наилучший среднеквадратический уп­ редитель вида

y(t + h) = ay(t)

для задачи из упражнения 4. Сравнить с результатами упраж­ нения 4.

3.ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Вэтом разделе получены некоторые предварительные ре­ зультаты, необходимые при решении задачи оценки. Сначала выведены некоторые свойства условных распределений для га­ уссовых случайных переменных. Затем даны геометрическая

ния располагаются на гиперплоскости в n-мерном пространстве. В этом разделе мы полагаем, что R — невырожденная матрица. Это не является сильным ограничением, так как, если распреде­ ление вырожденное, всегда можно сделать проекцию на гипер­ плоскость, на которой распределены массы, и получить невы­ рожденное распределение. Формально эту задачу можно ре­ шить введением псевдоннверсии, когда требуется инверсия ко­ вариационной функции.

Функция плотности вероятности нормальной переменной с

(Сравнить с результатами гл. 2.) Часто представляет интерес анализ свойств двух векторов, имеющих совместное гауссово распределение.

Теорема 3.1. Пусть х и у есть п Х 1 - и pXl-мерные векторы. Предположим, что вектор [*] имеет гауссово распределение с

не зависит от ;/, имеет нулевое математическое ожидание и ковариацию

Доказательство. Имеем

Ez = Ex — mx— RxyRJ1 (Ey — my) - 0. Рассмотрим равенства

из которых следует, что векторы z и у не коррелированы. По­ скольку эти векторы гауссовы, то они также и независимы. Так как Ez=0, то

гауссово распределение. Если условное распределение х отно­

то стохастические переменные у и х — £[л:|г/] независимы. Доказательство. Теорема может быть доказана непосред­

ственно из определения условной плотности и из формулы (3.1) для плотности вероятности гауссовых векторов. Алгебраичес­ кие преобразования будут проще, если использовать перемен­ ные 2 и у, определяемые следующим образом:

Так как якобиан преобразования равен 1, то совместную плот­ ность х и у можно переписать в виде