книги из ГПНТБ / Микроминиатюризация элементов радиоэлектронной аппаратуры

МИКРОМИНИАТЮРИЗАЦИЯ

ЭЛЕМЕНТОВ

РАДИОЭЛЕКТРОННОЙ

АППАРАТУРЫ

Под редакцией доктора техн. наук, профессора ВОЛКОВА В. М.

квирту

Кие — 1973

УДК 621.372.061

В. M. Волков, Б. И. Курилин

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО СИНТЕЗА МИКРОМИНИАТЮРНЫХ УСТРОЙСТВ

ИАЛГОРИТМЫ ИХ РЕШЕНИЙ

Встатье приведена математическая формулировка за­ дачи определения оптимальной структуры, оптимизации параметров и допусков элементов схем микроэлектронных устройств. Дан краткий анализ известных методов и ал­ горитмов решения многоцелевых задач оптимизации.

нованного на сведении ее к задаче приближения для не­ совместной системы нелинейных уравнений.

Широкое применение микроэлектроники в различных от­ раслях науки и техники, непрерывное расширение функций, выполняемых микросхемами, и повышение предъявляемых к ним требований определяют необходимость совершенствования методов проектирования и повышения качества микроэлек­ тронных функциональных узлов и устройств. Решение этих за­ дач возможно только на основе широкой автоматизации на ба­ зе современных ЭЦВМ, различных этапов разработки микро­ электронной аппаратуры.

Процесс проектирования радиоэлектронной аппаратуры в соответствии с принципами системного подхода охватывает широкий круг задач [1, 2]. Важными этапами проектирования, во многом определяющими качество разрабатываемой аппа­ ратуры, являются этапы синтеза — оптимизация структуры, параметров и допусков схемы устройства.

При синтезе схем микроэлектронной аппаратуры можно вы­ делить два класса задач:

3

и определяет допустимые пределы изменения параметров эле­ ментов (емкостей, резисторов и т. д.) микросхемы.

Если структура устройства известна, то целевые функции становятся функциями только вектора х. В этом случае задача оптимизации параметров устройства по экстремальным крите­ риям сводится [3] к многоцелевой задаче нелинейного програм­ мирования вида

при ограничениях (2). Аналогично задача оптимизации по гра­ ничным критериям в общем случае приводит [7] к несовместной системе нелинейных уравнений

Многоцелевая задача программирования (1) эквивалентна системе (5), поскольку корни системы (5), удовлетворяющие условию (2), обеспечивают выполнение условия (4), ибо в силу физических ограничений F, (х) > 0. Аналогично задача (1) —

(2) эквивалентна системе уравнений

не имеют решения в алгебраическом смысле. Решение таких систем рассматривают как задачу приближения по чебышевскому или среднестепенному критерию [4]. Заметим, что экви­ валентность одноцелевой задачи линейного программирования чебышевской задачи приближения для несовместной системы линейных уравнений показана в работе [5], а эквивалентность одноцелевой задачи нелинейного программирования чебышев­ ской задаче приближения для несовместной системы нелиней­ ных уравнений установлена в работе [3].

Если учесть, что к системе вида (5) сводится [8] задача оп­ ределения допусков элементов по заданным допускам выход­ ных характеристик, то станет очевидным, что все задачи опти­ мизации, возникающие в процессе синтеза оптимальной схемы микроэлектронных устройств, математически сводятся к зада­ чам одного класса — многоцелевой (многокритериальной) задаче нелинейного программирования или эквивалентной ей несовместной системе нелинейных уравнений.

Рассмотрим особенности и основные направления решения этих задач. Прежде всего заметим, что решение задачи оптими­ зации структуры устройства или микросхемы связано с доста­ точно серьезными математическими трудностями, которые об­ условлены сложностью, а иногда и невозможностью получения

5

единого математического описания ft і-го внешнего парамет­ ра для всего множества допустимых структур проектируемого устройства.

Поэтому при решении задачи оптимизации структуры уст­ ройства развивается ряд направлений, которые исключают прямое решение задачи (1) — ( 2 ) , К таким направлениям от­ носятся:

—методы случайною перебора вариантов допустимого множества структур при сравнении совокупности параметров выбранной структуры с заданными ТУ;

—методы целенаправленного выбора вариантов на основе опыта и индукции разработчика;

—методы перебора вариантов на основе принципов и мето­ дов планирования экспериментов;

—методы структурного синтеза, позволяющие находить оп­ тимальную структуру схемы проектируемого устройства по од­ ному из множества критериев.

Из этих направлений первые три относятся к методам моде­ лирования, а последний — к методам прямого синтеза.

Методы последнего направления позволяют наиболее быст­ ро решить задачу, однако это направление разработано пока для ограниченного класса устройств (пассивные частотные фильтры, некоторые классы согласующих устройств и т. д.). Кроме того, учет всего множества целевых функций, опреде­ ляющих качество устройства, связан с большими трудностями.

Остановимся теперь на особенностях и направлениях реше­ ния многоцелевых задач оптимизации структуры, параметров или допусков устройства для случая, когда известны аналити­ ческие выражения целевых функций.

На первый взгляд кажется, что решение многоцелевой за­ дачи оптимизации ничем не отличается от аналогичной одноцелевой задачи. В частности, подобное утверждение имеется в книге Калахана [6]. Он утверждает, что задача одновременной минимизации нескольких функций может быть сведена к зада­ че минимизации одной функции, соответствующей минимуму максимального уклонения (ошибки) .

Однако подобный принцип сведения многоцелевой задачи нелинейного программирования к одноцелевой задаче был бы применим, если бы заранее было известно, какая из m функ­ ций fi имеет наименьший глобальный экстремум. На практике же не только неизвестно, какая функция ft будет при опти-

6

мальном значении х° наименьшей, но даже неизвестно, сколько экстремумов имеет задача. А в такой ситуации нельзя сказать, какую из m функций / £ принять за F(x) при решении задачи. Неудачный выбор функции ft может направить решение зада­ чи по ложному пути. Если же при решении задачи использо­ вать принципы и методы случайного поиска и для каждого зна­ чения X определять F(x), то в общем случае трудно гарантиро­ вать нахождение глобального экстремума задачи за конечное время. Поэтому подобный подход нельзя признать обоснован­ ным.

Более удачными направлениями решения многоцелевых за­ дач оптимизации следует считать;

— методы, основанные на введении обобщенного критерия, функционально зависящего от всех m исходных критериев;

—• методы многоступенчатой оптимизации с локальным кри­ терием на каждом этапе при введении ограничений на другие критерии;

— методы оптимизации с одновременным учетом всего мно­ жества критериев.

Первое направление позволяет свести многоцелевую (мно­ гокритериальную) задачу оптимизации к одноцелевой задаче. Подобный подход успешно развивается при решении экономи­ ческих задач [10, 11] и может применяться при проектировании микроэлектронной аппаратуры.

Второе направление развивается в общем плане в работах В. Ф. Пугачева [12] и несколько в иной форме, удобной при проектировании радиоаппаратуры, — в работах Л. С. Гуткина [13].

Третье направление, связанное с решением многоцелевой задачи оптимизации как несовместной системы нелинейных уравнений, рассмотрено в работах [2, 3, 7, 8, 9].

Следует подчеркнуть, что первые два направления позво­ ляют лишь от многоцелевой задачи оптимизации перейти к од­ ноцелевой задаче того же класса, т. е. если исходная многоце­ левая задача оптимизации была задачей нелинейного програм­ мирования, то и эквивалентная ей одноцелевая задача будет того же класса.

Третье направление позволяет изменить и упростить класс решаемых задач, в частности, многоцелевую задачу нелинейно­ го программирования свести к последовательности задач ли­ нейного программирования и задачи определения действитель­ ных корней алгебраических или трансцендентных уравнений.

Действительно, в соответствии с работой [9] чебышевская задача приближения для несовместной системы нелинейных уравнений (5) сводится к последовательности следующих за­ дач:

7

1) чебышевской задачи приближения множества /, состоя­ щего из m функций fi(x), множеством Ф/ адаптивных функ­ ций Ф1

принимаемая за меру приближения, достигает минимального

реходе к новым переменным

и решаемой при условии минимизации величины

к чебышевским задачам приближения несовместных систем ли­ нейных уравнений или эквивалентным им задачам линейного программирования [5]. К аналогичной последовательности за­ дач можно свести [7] исходную задачу, если вместо чебышевского критерия принять среднестепенной. Задачи определения матрицы [А] и множества Ч" можно в некоторых случаях так-

8