книги из ГПНТБ / Микроминиатюризация элементов радиоэлектронной аппаратуры

быть сведена к экстремальной нелинейной задаче программи­ рования или к задаче решения несовместной системы нелиней­ ных уравнений. Эти две задачи эквивалентны и двойственны,

100

Приравнивая значения этих двух характеристик на часто­ тах, определяемых соотношением ( 8 ) , получаем систему

которая содержит m уравнений с п неизвестными.

Следует отметить, что данная система является в общем случае нелинейной и многоэкстремалыюй, т. е. можег иметь несколько решений.

Необходимо остановиться на соотношении между числом уравнений и числом переменных. Число переменных п четко определяется выбранной структурой фильтра. В решаемой за­ даче число n--13. Число т, как видно из формулы ( 8 ) , может быть выбрано произвольно. Очевидно, что чем больше //;, тем в больших точках будут совпадать требуемая и получаемая час­ тотные характеристики и тем точнее будет решена задача со­ впадения получаемой характеристики с требуемой. Следова­ тельно, с технической точки зрения целесообразно выбрать число m достаточно большим. Однако с его увеличением ус­ ложняется решение математической задачи, что и ограничива­ ет увеличение количества уравнений.

Система (10), в которой т>п, несовместна и в алгебраиче­ ском смысле не имеет решения. Решение такой системы рас­ сматривают как задачу приближения, т. е. задачу определения таких значений х ь х2 , . . . , * „ , при которых величина невязки, определяемая левой частью уравнений системы (11), будет ми­ нимально возможной. Величину невязки можно оценивать по чебышевскому или среднестепенному критериям.

В основе предлагаемого метода решения несовместной си­ стемы нелинейных уравнении лежит идея работы [5], однако используют не чебышевский, а среднеквадратичный критерий приближения. Обусловлено это тем, что применение последне­ го коитерия позволяет более просто реализовать алгоритм на ЦВМ.

Следуя идее работы [5], заменяем исходную задачу после­

дая из которых зависит только от одной переменной, т. е..каж­

101

Решение этой задачи выполняется таким образом, чтобы от­

проксимирующими функциями и выполнить замену перемен­ ных

' O U ' , ) О .

является несовместной, но линейной. Методы ее решения из­ вестны как для среднеквадратичного [6], так и для чебышевскоіо критерия [7].

3. Задача определения действительных корней п независи­ мых алгебраических или трансцендентных уравнений

шению несовместной системы линейных уравнений. Определив функции Wy- (xj) и задав определенное множество дискретных значений параметров хи х^... ,х„, можно свести задачу опре­ деления коэффициентов а0- также к решению несовместной си­ стемы линейных уравнений. Таким образом, определение мно­ жества Ч/Xj), определение матрицы [А] и решение второй за­ дачи, определяемой соотношением ( 1 3 ) , сводится к решению одной и той же задачи — решению несовместной системы ли­ нейных уравнений.

Применение среднеквадратичного критерия позволяет со­ здать для решения этих задач достаточно простую и легко реа­ лизуемую на ЦВМ стандартную процедуру. Эта процедура определяется соотношением

102

эффициентов уравнений и умножении ее на столбец свободных членов II b II [6].

Поскольку уравнения (14) независимы, то искомые значе­ ния х2 состоят из набора возможных корней уравнений. Сле­ довательно, возможные решения исходной системы определяют множеством

Именно это свойство и используют в алгоритме для опреде­ ления всех возможных решений исходной системы (11). Прове­ ряют на выпуклость суммарную функцию (18) и набор пара­ метров, удовлетворяющих выпуклости функции, записывают в

шение или глобальный экстремум исходной задачи. Оптималь­

мума суммарной невязки. Для этого производится случайный

103

Рис. 2

лено значение дгк'еЛГ+, которое обеспечивает минимальное значение суммарной невязки, т. е.

L (xl) => min L (xa ) .

xj « .Y

Алгоритм оптимизации ФСС представлен на рис. 2.

104

УДК 621.375.019.3

Е. К. Вервейко, В. М. Волков

АЛГОРИТМ ОПТИМАЛЬНОГО РАСЧЕТА ДОПУСКОВ ПАРАМЕТРОВ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ

В статье методом статистических испытаний решена задача оптимального распределения допусков параметров элементов радиотехнического устройства по заданному допуску на его выходной параметр.

Аналитические методы решения подобных экстремальных задач удается проводить далеко не всегда. Для преодоления математических трудностей приходится вводить ограничения и допущения, и чем их больше, тем меньше доверия конечному результату. А главное, довольно часто отсутствует явная ана­ литическая зависимость между выходными и входными пара­ метрами устройства.

В этом отношении обладают большей универсальностью алгоритмические методы, не дающие конечную формулу, а лишь указывающие путь отыскания экстремума.

Довольно широко внедряется в практику расчета электрон­ ных устройств метод статистических испытаний. Он особенно эффектен для нелинейных цепей, для цепей с неявной аналити­ ческой зависимостью, в условиях произвольных законов рас­ пределения и неограниченного разброса входных параметров. Большие перспективы имеет этот метод для расчета ИС и БИС.

В статье предлагается алгоритм оптимального распределе­ ния допусков на входные параметры устройства при заданном допуске на выходной параметр. Алгоритм ограничен для уст­ ройств с 99% вероятностью безотказной работы и со статисти­ чески независимыми входными параметрами.

Предполагается, что в нашем распоряжении имеется дискрет­ ный ряд допусков на параметры элементов и, что вполне есте­ ственно, чем меньше допуск, тем выше стоимость элемента.

ров радиотехнических устройств, а это достигается все больши­ ми материальными затратами. Вот почему актуальной задачей

элементов, дискретные значения допусков на элементы устрой-

106

ства, критерий для характеристики устройства, допуск на вы­ ходной параметр, данные стоимости элемента в единицу до­ пуска. Задана максимально возможная сумма расходов Сн.

Решение. Самый простой, но и самый неоптимальный путь для решения задачи — перебор всех возможных сочетаний до­ пусков на параметры элементов, статистическая проверка на надежность и выбор затем оптимального сочетания. Для боль­ шого количества элементов, даже с использованием самых со­ временных ЦВМ, решение этой задачи потребует много време­ ни. Необходимо искать пути совершенствования решения.

1. Ограничение по критерию «наихудшего случая».

Радиотехнические элементы промышленность выпускает с различными допусками на параметры. Например, резисторы имеют допуски на сопротивление ±20; 10; 5; 2; 1%. Все ли до­ пуски на параметры элементов надо рассматривать при реше­ нии нашей задачи? Допуск на выходной параметр А)> будем определять через допуски на входные параметры \х{ по фор­ муле

О)

где

КІ — коэффициент, характеризующий вес /-го элемента в определении выходного параметра;

а — количество элементов.

Из этой формулы можно найти наихудший возможный до­ пуск для параметра /-го элемента &х\. Определим его в пред­ положении, что все остальные элементы имеют номинальные значения, а лишь /-й элемент обеспечивает допуск на выходной параметр. Очевидно, что в дальнейшем нужно рассматривать только допуски, меньшие Ах',.

Составим таблицу возможных значений допусков на пара­ метры элементов, располагая их в порядке убывания абсолют­ ных значений (табл. 1). Здесь Рі— параметр /-го элемента, s — возможное количество допусков на параметр /-го эле­ мента.

Рассмотрим структуру многокорневого дерева (рис. 1). Точ­ ки первого столбика представляют собой элементы S\ — полу­ ченные допуски для параметра р\.

От каждой точки первого столбика идут ответвления, веду­

допусков элементов.

107

Таблица 1

Рис. i

108

мо найти искомый. Будем исходить из предположения, что если допуски на параметры элементов удовлетворяют условию (1), то в этом случае будет обеспечена высокая вероятность безот­ казной работы устройства. Бесспорно, что это утверждение име­ ет высокую степень достоверности. Обозначим область воз­ можных путей, удовлетворяющих условию (1), через х*.

2. Метод определения самого дешевого пути.

Задача определения самого дешевого пути сводится к опре­ делению пути через дерево слева направо так, чтобы удовлет­ ворялись два условия:

109