книги из ГПНТБ / Козырев, А. П. Теория тепловых и гидродинамических процессов в атомных энергетических установках учеб. пособие

(1.90)

Граничное условие (1.90) является универсальным и поз­ воляет как частный случай получить граничные условия

в практических задачах, где происходит конвективный теплообмен. Зная температурный напор, коэффициенты об и о)сгтъ , можно найти градиент температур на

границе твердого тела и затем определить температурные поля в теле.

При решениии разнообразных задач конвективного тепло­ обмена наиболее часто используются два типа гранич­ ных условий.

I. Задана плотность теплового потока на поверхности нагрева. В этом случае при заданных условиях отвода тепла необходимо определить температуру стенки Ьст Такие задачи имеют место при расчете охлаждения тепло­ выделяющих элементов ядерных реакторов, при электро­ обогреве, радиационном нагреве, в противоточных теп­ лообменных аппаратах с одинаковой массовой расходной теплоемкостью теплоносителей и т .д .

Полагая, что при обтекании поверхности тела жидко­ стью передача тепла от его поверхности к жидкости вблизи поверхности происходит по закону Фурье, в общем случае граничное условие можно записать в виде

50

условия отвода тепла. Необходимо определить плотность

граничное условие встречается при проектировании ряда теплообменных аппаратов: испарителей, конденсаторов, где массовая расходная теплоемкость одного теплоноси­ теля значительно больше, чем у другого.

После определения температурного поля в потоке жид­ кости тепловой поток находится из закона Фурье, запи­ санного для поверхности нагрева со стороны потока:

(1.93)

Решение задачи конвективного теплообмена сопряжено с решением гидродинамической задачи по определению поля скоростей и давлений. Поэтому важным граничным услови­ ем является задание скорости течения в непосредствен­ ной близости к твердой стенке. Вследствие “прилипания" всякой реальной жидкости к твердой стенке такими гра­ ничными условиями будут:

(1.94)

(1.95)

где ^ - касательное напряжение на стенке. Аналитическое решение систем дифференциальных

уравнений, описывающих конвективный теплообмен и тепло­ проводность, наталкивается на большие трудности. Анали­ тическое разрешение получил лишь ряд частных задач, и

51

то в рамках ламинарного течения, когда имеются строгие доказательства теорем существования и единственности решения. Доказательство существования решения, каг. и само решение, - чисто математическая проблема, не всег­ да разрешимая. Поэтому аналитические методы еще не по­ лучили решающего значения при исследовании теплообмена. При создании аппаратов ядерной энергетики эксперимен­ тальным исследованиям отводится значительное место.Роль эксперимента состоит в детальном изучении рассматривае­ мого явления и получении опытных данных для других род­ ственных явлений. Вопросами моделирования тепловых и гидродинамических явлений занимается теория размерно­ стей и подобия.

52

Глава 2

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ И РАЗМЕРНОСТИ. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ОПЫТОВ

Аналитические решения теплогидродинамических задач не всегда можно осуществить путем математических рас­ суждений и вычислений. Во многих технических задачах при наличии четкой математической постановки не удается до конца проинтегрировать дифференциальные уравнения, описывающие процессы тепломассопереноса. Часто вообще отсутствует математическая формулировка задачи, посколь­ ку исследуемое явление исключительно сложно и для него нет ни схемы решения, ни уравнений. С подобными зада­ чами приходится сталкиваться при создании паропроизво­ дительных и паротурбинных установок АЗУ, самолетов, кораблей, космических аппаратов и других сложных инже­ нерных сооружений.

Если аналитический подход не приводит к решению за­ дачи, то на помощь приходят экспериментальные исследо­ вания на моделях. Сущность экспериментального метода решения задач состоит в том, что вначале исследования проводят на модели натурного аппарата, конструкции, процесса и т .д . с последующим переносом полученных ре­ зультатов на натуру. Моделирование является одним из наиболее мощных методов научного исследования. Этот метод позволяет путем относительно недорогого экспери­ мента проверить основные технические принципы и реше­ ния, закладываемые в проект сложной конструкции задол­

53

го до ее реального осуществления. Теория подобия и раз­ мерности устанавливает условия, которые должны выпол­ няться при модельных экспериментах, т .е . определяет правомерность переноса результатов опытов с моделями на натурные объекты. Грамотная постановка эксперимента, и обработка опытных данных в настоящее время не воз­ можны без знания основных принципов подобия. В отдель­ ных случаях сочетание теории подобия с качественным анализом механизма процесса является единственно воз­ можным, эффективным методом теоретического исследова­ ния.

§ 7. Основные положения теории подобия

Общее положение теории подобия состоит в том, что два физических явления подобны, если по заданным хара­ ктеристикам одного можно получить характеристики дру­ гого простым умножением на одинаковые для всех сход­ ственных пространственно-временных точек множители.

Термин "подобие" заимствован из геометрии. JGpe гео­ метрические фигуры подобны при одинаковом отношении всех сходственных длин. Из размеров одной геометриче­ ской фигуры размеры другой, ей подобной, получаются умножением на коэффициент подобия-масштаб. Понятие "подобие" может быть распространено на любые физичес­ кие явления. Так, кинематическое подобие двух геометри­ чески подобных потоков жидкости означает одинаковое направление скоростей во всех сходственных точках, при этом величины скоростей различаются в одинаковое число раз. Динамическое подобие предполагает подобие сил, вызывающих движение. При тепловом подобии поля темпе­ ратур и тепловые потоки должны быть подобными.

В отношении физических явлений понятие подобия при­

54

Сходственные моменты времени имеют общее начало от­ счета и связаны временным масштабом ст :

Подобие двух физических явлений означает, что любая величина ч! первого явления во всех сходственных про­ странственно-временных точках связана с однородной ве­ личиной то" второго явления соотношением

МI

Коэффициент пропорциональности съ различен по ве­ личине для разных физических величин и называется мно­ жителем подобного преобразования (или константой подо­

55

Число подобия, составленное только из заданных па­ раметров математического описания процесса, называет­ ся критерием подобия.

Для всех подобных процессов критерии подобия должны быть равны численно. Критерии подобия можно получить для любого физического процесса, если он имеет анали­ тическое описание. Это положение является непременным условием применения теории подобия. Если процесс мож­ но описать аналитически, однако задача не разреоима с математической стороны, то теория подобия позволяет установить условия моделирования процесса на базе вы­

явленных критериев подобия. Критерии подобия, получен­ ные из уравнений, составленных для любого элемента си­

ными буквами фамилий ученых ( Ne -Neurhon). Математическое описание тепловой или гидродинами­

ческой задачи полностью закончено, если при заданных краевых условиях система уравнений замкнута, т .е . мо­ жет быть разрешена относительно любой неизвестной пе­ ременной процесса. В этом случае число уравнений дол­ жно равняться числу неизвестных величин. Интеграл рассматриваемой замкнутой системы дифференциальных уравнений может быть выражен в виде некоторой функции

57

выми условиями и полностью определяют условия протека­ ния физического процесса. Таким образом, величины ос- , входящие в функцию (2 .9 ), составлены из условий одно­ значности и могут быть заданы числовыми значениями, функциональной зависимостью, дифференциальным уравне­ нием и т .д .

Число подобия, составленное только из величин, вхо­ дящих в условия однозначности, называется определяю­ щим. Число подобия, содержащее зависимую переменную (искомую величину), называется определяемым.

Согласно второй теореме подобия интеграл системы дифференциальных уравнений , описывающих изучаемый процесс, может быть представлен в виде Функциональной зависимости между числами подобия. Эта зависимость называется уравнением подобия.

Уравнение подобия может быть выражено как функция определяемого числа подобия от совокупности определя­

58

составленные только из величин, входящих в условия однозначности.

Размерной функциональной связи соответствует безраз­ мерная связь типа (2 .10).

Представление результатов эксперимента в критериях подобия позволяет получить уравнение подобия, спра­ ведливое для всех подобных явлений. Необходимое и до­ статочное условие подобия двух физических явлений сформулировано третьей теоремой подобия* "Подобны те явления, условия однозначности которых подобны, а определявдие критерии численно одинаковы".

При проведении опытов теория подобия позволяет ус­ тановить масштаб модели, определить диапазон измене­ ния основных режимных параметров, измеряемых в экспе­ рименте, правила обработки опытных данных и переноса их на подобные явления, а также правила пересчета мо­ дельных коэффициентов на натуру.

Критерии подобия получаются после приведения систе­ мы уравнений исследуемого процесса к безразмерному виду. Форма получаемых при этом критериев подобия до­ статочно произвольна. Количество возможных форы кри­ териев зависит от числа членов уравнения, однако для данного процесса общее число критериев подобия сохра­ няется постоянным. Из каждого уравнения получается количество критериев на единицу меньшее числа членов уравнения. Это объясняется тем, что все члены уравне­ ния имеют одинаковую размерность. При делении всех членов уравнения на один из его членов уравнение ста­ новится безразмерным, а число безразмерных комплексов получается на единицу меньше (так как один член бу­ дет I) .

С помощью правила комбинирования критериев в си­ стеме первичных критериев можно выделить такие, кото-

59