книги из ГПНТБ / Козырев, А. П. Теория тепловых и гидродинамических процессов в атомных энергетических установках учеб. пособие
.pdfгде |
Q |
- безразмерная |
температура. |
|
||
|
Теория |
подобия |
наиболее |
эффективно |
может быть |
ис |
пользована |
только |
в том случае, когда |
невозможно |
про |
||
интегрировать дифференциальное уравнение и найти за висимость между переменными в конечном виде. В тех случаях, когда удается найти аналитическое решение, например для тел простой геометрической формы, надоб ность в теории подобия отпадает. Однако и при наличии аналитического решения полученные результаты также можно представить в форме связи между критериями по добия, что позволяет сократить число переменных. Это бывает удобно, например, при составлении таблиц и номограмм.
§ 20. Нестационарное температурное поле в неогра ниченной пластине без внутренних источников
тепла.
Под неограниченной пластиной будем понимать пла стину, ширина и длина которой бесконечно велики по сравнению с толщиной. Таким образом, неограниченная пластина представляет собой тело, ограниченное двумя параллельными плоскостями. Изменение температуры в пластине происходит только в одном направлении (по оси х ), т .е . задача является одномерной. В насто ящей главе решение задач нестационарной теплопровод ности будем рассматривать при задании граничных ус
ловий третьего |
рода. |
|
|
||
Ф о р м у л и р о в к а |
з а д а ч и . Дана неогра |
||||
ниченная |
пластина толщиной |
2 $ |
. Начальное распре |
||
деление температуры в пластине равномерное, т .е . |
|||||
t(x,0) |
= |
t |
= const. |
В начальный момент време |
|
ни пластина |
помещается в среду |
с постоянной темпера- |
|||
130
турой ~t ^=» t (х,0) . Между поверхностями пластины и окружающей средой происходит теплообмен с коэффициен
том теплоотдачи |
оС . |
Требуется |
найти распределение |
температуры по |
толщине |
пластины |
и удельный |
расход тепла на нагрев единицы объема пластины.
Для аналитического решения задачи необходимо иметь дифференциальное уравнение теплопроводности и задать начальные и граничные условия.
Будем считать, что условия теплообмена мезду окру жающей средой и обеими поверхностями пластины одинако вы, т .е . задача является симметричной (рис.'+.4).
Рис. ЦЛ. Распределение температуры в неограниченной пластине
Дифференциальное уравнение теплопроводности
9t(x,T) |
dpt(xtf) |
Л . 5 |
ь. |
д Т |
в х |
|
|
Начальные условия: t (х, О) - t
Граничные |
условия: |
|
|
|
|
||
|
d t ( M |
oL[tc - t(S ,?)] - 0 |
; |
||||
- Л |
д* |
||||||
|
|
|
|
|
|
||
+ |
|
|
|
|
|
|
|
Условие симметрии температурных |
кривых |
|
|||||
|
|
dt (ОЛ) |
~ 0. |
|
|
||
|
|
|
дос |
|
|
|
|
Решение уравнения (4 .7 ) |
при |
заданных начальных и |
|||||
граничных условиях имеет вид |
[45] |
|
|||||
в ' |
|
- / - £ An c < * ( f A W f r f a ) . |
|||||
ТС |
го |
|
/?--/ |
|
|
0 |
(4.Р) |
Q |
-jj |
- |
критерий |
<1урье; |
|
||
где to = |
|
||||||
Bi = |
-^2- |
- |
критерий |
Био; |
|
|
|
А- корни характеристического уравнения
п- начальные тепловые амплитуды, завися щие от начального распределения тем
пературы,
|
|
2sinJKn |
8^г}/вЛЛп |
|
|
V 'Jkri*St'/* A co2/"nlI) |
|
Так как |
An ~f.(Bi)и Л/Г |
как это видн0 и5 |
|
зависимости |
(4 .8 ;, относительная температура & являет |
||
ся функцией |
относительной координаты |
Л - и критериев |
|
Bi и |
f p |
, т .е . |
" |
132
|
в . f ( £ , B i , F o ) - |
|
|
|
|||
Численные |
значения |
Ап |
и J ^ n |
для |
n = |
приво |
|
дятся в таблицах |
[45 J . |
|
|
|
|
||
Для решения многих технических задач в отдельных |
|||||||
случаях достаточно знать |
температуру |
на |
поверхности 6П |
||||
и в средней плоскости пластины |
Q.. |
. |
В этом |
случае |
|||
уравнение |
(4 .8 ) упрощается, так |
как ' |
аргумент'У' |
ста |
|||
новится постоянным числом |
(при |
|
|
йр- = i , |
при |
||
ос - о , |
-j- = О ) . |
Следовательно, |
|
|
|
||
t ( 0 , t ) - t Q
W o
Для практических инженерных расчетов составлены номо
граммы для |
определения |
Q |
и |
Оц |
по |
заданным значе |
||||
ниям |
критериев gi |
и Fo |
[ ^5 |
] . |
|
|
|
|||
Анализ уравнения |
(4 .8 ) |
показывает, что ввиду нали |
||||||||
чия |
неравенства |
< J |
< |
• • • < |
ряд |
быстро |
схо |
|||
дится. Начиная со значения критерия |
F o > i |
, все |
чле |
|||||||
ны ряда становятся |
существенно меньше первого члена, |
|||||||||
и ими можно пренебречь. |
Таким образом, для |
значений |
||||||||
Fo |
У |
решение |
(4 .8 ) |
упрощается |
и имеет |
вид |
|
|||
/х \ -Jч^°
G = / - Aic c s ^ /j ) e
Для малых значений F o необходимо брать |
несколько |
членов ряда, что увеличивает трудоемкость |
расчетов. |
133
Определим удельный расход тепла на нагрев пластины. Средняя температура пластины
( м )
О
Подставляя в (4 .9 ) зависимость (4 .8 ), после интегриро вания получим
|
6(4) = |
- ® - г ° |
|
( - f n F°), |
||||
|
|
С |
со |
п -/ |
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
An sinj*n __________£Bis________ |
||||||
|
П ~ |
J*n |
|
J*Z(Bi*+Bi +jh*) |
||||
Коэффициенты Вп |
с увеличением |
п |
быстро уменьша |
|||||
ется. |
Численные |
значения коэффициентов |
Е>п |
приводят |
||||
ся в |
таблицах |
[45 |
J . |
Удельный расход тепла на на |
||||
грев |
пластины |
4(^[ккал/м3] за |
время |
'Г - |
опреде |
|||
ляется по формуле |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
АОу = |
c f [ t ( ? ) - t 0] . |
|
|
||
Мсследование |
уравнения (4 .8 ) показывает, |
что при |
||||||
В г —*- |
00 |
|
интенсивность |
нагревания |
пластины |
|||
определяется только теплоинерционными свойствами тела и зависит только от скорости распространения тепла вну три пластины (так называемая "внутренняя задача";. При малых значениях критерия Bi (Bi ^ 0,{) скорость нагре вания пластины будет определяться скоростью переноса тепла из окрухащей среды к поверхности пластины ("внешняя задача"). При 0,i ^ Bi^iOO интенсивность нагревания пластины определяется как скоростью перено са тепла внутри пластины, так и скоростью переноса теп
134
ла |
и з окружающей среды к п оверхности пластины |
(" к р а е |
|
в а я |
з а д а ч а " ) . Р аспределение |
тем пературы в пластине для |
|
различных значений критерия |
B i приведено на |
р и с .4 . 5 . |
|
Рис. 4 .5 . Распределение температуры в пластине для различных значений критерия Био
Приведенные в настоящем.параграфе расчетные зависи мости применимы как для нагревания, так и для охлажде ния, а также для двухстороннего и одностороннего про цессов. в последнем случае через с? обозначается полная толщина пластины.
§ 21. Нестационарное температурное поле в неогра ниченном цилиндре
У неограниченного цилиндра длина значительно боль ше его диаметра. Будем полагать, что теплообмен между цилиндром и окружающей средой происходит равномерно по всей поверхности. В этом случае температура в цилиндре
будет зависеть только от времени и радиуса |
п |
(сим |
||
метричная задача). |
|
|
|
|
Ф о р м у л и р о в к а |
з а д а ч и . |
Лан неограни |
||
ченный цилиндр радиуса R |
. |
Начальное распределение |
||
температуры в нем равномерное, |
т .е . t(z,0)=-t = const. |
|||
135
В начальный |
момент времени |
цилиндр помещается в среду |
||
с постоянной |
температурой |
tc > t |
. |
Между поверхно |
стью цилиндра и окружающей средой происходит теплооб |
||||
мен с коэффициентом теплоотдачи <*. |
. |
Требуется найти |
||
распределение температуры в цилиндре в любой момент |
||||
времени и удельный расход тепла на нагрев цилиндра. |
||||
Дифференциальное уравнение теплопроводности цилин |
||||
дра |
|
|
|
|
dt( z,T) |
дН(г,г) ^ / |
dt(z,T) |
|
|
|
|||||
- -д гс |
- а |
дгг |
г |
дг |
(1?>0,0<г<Я).(ч. то) |
|||||
o r |
|
|
|
|
|
|||||
Начальные условия: |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
t(z, 0) - |
t0 |
|
|
|
|
||
Граничные условия: |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
, |
dt(R.T) |
oi[tc - t (R,T)\= О. |
|
|
||||
|
|
- Л — |
1---------+ |
|
|
|||||
|
|
1 |
|
дг |
|
|
dt(0,T) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Условие |
симметрии |
температурных кривых |
дг |
= О. |
||||||
Решение уравнения (Ч.ТО) |
при заданных начальных и гра |
|||||||||
ничных условиях имеет |
вид |
[ « ] |
|
|
|
|||||
|
tfz,T)~ t0 |
|
СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
- < - Ъ |
|
|
|
|
|
|
|||
° |
f |
- t |
|
|
|
|
|
|
||
|
X |
Lo |
|
n-f |
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* п - |
|
S B |
г |
|
|
|
|
|
|
|
Э0 ( Г п ) ( К * В” ‘’> |
’ |
|
|
||||
|
|
|
|
П ~ |
|
|
||||
J п |
- |
|
|
|
|
|
|
%(J*) |
i |
|
корни характеристического уравнения |
|
0 1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Jjlf*) |
||
У0 |
- функция |
Бесселя |
первого |
рода нулевого |
порядка. |
|||||
Численные значения |
и |
А п |
приводятся |
в |
литерату- |
|||||
136
ре |
[ 45 ] # |
|
|
|
Для расчета температуры в центре и на поверхности |
||
цилиндра по заданным значениям |
критериев S>i и |
Fo |
|
можно использовать номограммы |
[45] . |
|
|
|
Для расчета удельного расхода тепла необходимо най |
||
ти |
среднюю температуру цилиндра |
|
|
|
я |
|
|
|
t(t) = ~Jzt(zS)at'z. |
(4 .12) |
|
О
После подстановки в (4.12) зависимости ( 4 .I I) и инте грирования получим формулу для определения средней без размерной температуры цилиндра
Я-
<9= t = /" 2 &п еосР (~ J * n Р ° К (^ Л З )
п-1
где
|
п ~ |
|
|
|
Нисленные значения |
В |
приводятся в таблице |
[45]. |
|
Удельный расход тепла на нагрев цилиндра |
|
|||
й в у |
- |
с { [ 1 |
|
|
Аналитические решения могут быть получены и для тел |
||||
Другой геометрической формы (шар, |
цилиндр конечных раз |
|||
меров и д р .) при задании различных |
граничных |
условий. |
||
Зти решения приводятся в литературе, например |
в [4 5 ]. |
|||
Приведенные в § 20, 21 решения могут быть использо ваны для расчета температурных полей в элементах кон струкций ЛЭУ без внутренних источников тепла при скач кообразном изменении температуры окружающей среды.
137
§22. Температурное поле в телах без внутренних негодников тепла. Температура окружавшей
среды - линейная Функция времени
Рассматриваемые в настоящем параграфе задачи анало гичны приведенным в § 20, 21, за исключением задания граничных условий, которые должны учитывать изменение температуры окружающей среды.
аеограниченная пластина |
|
|
Ф о р м у л и р о в к а |
з а д а ч и . |
Дана неогра |
ниченная пластина толщиной 2 |
$ , которая |
находится в |
тепловом равновесии с окружающей средой. В начальный |
||
момент времени среда начинает нагреваться |
со скоростью |
|
£ [град /ч ] , т .е . температура среды изменяется по |
||
закону tc (t) = t0+ tft» Между окружающей средой и повер |
||
хностью пластины происходит теплообмен с коэффициентом
теплоотдачи <*• |
. |
Требуется найти распределение тем |
пературы по толщине |
пластины в любой момент времени |
|
и удельный расход |
тепла на нагрев пластины. |
|
Дифференциальное уравнение теплопроводности, началь ные и граничные условия запишутся в виде:
d i( < x , < t ) |
д Ч (л ? ,0 ~ ) |
||
|
а |
|
д х 8 |
t |
(о с , О ) = t |
; |
|
- Л |
dt(S.T) |
|
, |
------------ +oL |
|
||
д х d t ( О , ? )
д Т
Решение задачи имеет вид
(?"=><?; - $«саг
= 0 ;
138
(«.14)
где P c ! = |
- критерий Предводите лева; характери- |
а *о
зует интенсивность повышения температуры окружающей среды. Как видно из формулы (4 .14), относительная тем пература в любой точке пластины пропорциональна крите рию Р о ( , т .е . пропорциональна скорости изменения температуры окружающей среды.
Удельный расход тепла на нагрев пластины может быть
определен по формуле
|
AQV - c f l M - t . ] , |
|
где f(t) |
может быть найдена из формулы для определения |
|
средней безразмерной температуры пластины |
||
m - t , |
Pd |
|
|
(4.15) |
|
|
|
|
|
|
Неограниченный цилиндр |
Аналогичное решение, полученное для неограниченного |
||
цилиндра , |
имеет |
вид: |
- безразмерная |
температура в цилиндре |
|
139