книги из ГПНТБ / Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана

Аналогично тому, как был проведен анализ задачи (5.1)—(5.2), нетрудно показать, что имеет место соотношение

КА %, осф> ф) = °

и, следовательно, для каждой из задач (5.14)—(5.15) выполняется соотношение

р» ч»)“ 0

или

характеризующее выполнение закона сохранения полной энергии системы.

Теоретическое обоснование возможности такого расщепления уравнения адаптации следует из анализа эволюционной задачи (3.24)—(3.26), которая поддается расщеплению (согласно общей теории) на такие составные части, которые порождают задачи (5.14)— (5.15).

Задачи (5.14)—(5.15) запишем в покомпонентном виде. С этой целью задачу (5.1) на интервале tj . 1 ^ t =5 £;- расщепим сначала по физическим процессам

Здесь и всюду в дальнейшем штрихи у компонентов бароклинного решения радипростоты будемопускать и, считая задачу адапта­ ции вкачествесамостоятельного объекта исследования, введем

индексацию, которая не связана с ранее используемыми обозначе­ ниями в общей схеме расщепления задачи (2.1)—(2.3).

Далее на этом же интервале решаются две задачи. Первая задача

82

именно сначала решается уравнение, аналогичное (5.23) относи­ тельно функций ф4 с начальными условиями

затем уравнения (5.20) относительно новой неизвестной функции ф5 с начальными условиями

Вці = 5ф'+1

и, наконец, заканчивается цикл вычислений — находятся функции фв, соответствующие уравнению (5.18) и начальным условиям

В<РІ= Щ п -

Алгоритм можно сократить, объединяя третий и четвертый шаги расщепления и решая одну задачу на интервале t tj +1.

Поскольку операторы каждой из рассмотренных выше задач удовлетворяют условиям

(^2.аф, ф) = 0 ( а = 1, 2, 3),

то в результате последовательного исключения промежуточных зна­ чений приходим к условию

(Яф"'+\ ф'/+1) = ( Ѵ 1, Ф,/_1)-

Учтем далее, что имеет место аналогичное тождество

Для построения временной аппроксимации элементарных задач, связанных с решением уравнений адаптации, воспользуемся схе­ мами Кранка—Николсона, обеспечивающими второй порядок ап­ проксимации по времени.

Сначала рассмотрим задачу об эволюции баротропной составля­ ющей решения (5.6)—(5.7). Аппроксимируем эту задачу следующей:4

при условии

= 0 на dDh.

Здесь рі — также неизвестная величина. Третье из уравнений (6.1) позволяет ввести в рассмотрение разностный аналог функции тока q> по формулам

Подействуем теперь на первое уравнение системы оператором yj*-, а на второе — и вычтем одно из другого. Тогда приходим к уравнению для функции тока

yf (ѴГ^О ѴІ (ѴьФО т- * Ivf (^ Ф )' — Vfe (гѴГ'Ф)/] = ѴІ«'“1 — ytui-1. (6.4)

При Ал: — 0 и Аг/ -►0 выражение в квадратных скобках может быть аппроксимировано следующим образом:

Условием, эквивалентным uj, = 0 на ЗПЛ, очевидно, будет тре­ бование, что граница области dDh является функцией тока, т. е.

Итак, задача о баротропном состоянии океана на каждом интер­ вале свелась к задаче Дирихле для уравнения, главной частью которого является разностный аналог уравнения Лапласа.

После того, как задача (6.5)—(6.6) решена, с помощью соотноше­ ний (6.2) находятся искомые компоненты вектора скорости

и1'1 и ѵі+1,

которые после решения бароклинной задачи должны быть добавлены к последней для нахождения полных составляющих вектора ско­ рости при решении всей задачи динамики.

84

Переходим теперь к формулировке задачи адаптации для" бароклинной составляющей решения, описываемой системами уравнений (5.14) и (5.15). Используя схему Кранка—Николсона, для первой задачи (5.14) получим разностную аппроксимацию вида

Начальными данными (при t — tj_2) для задачи (6.7) будет ре­ шение задачи (4.10), которое переобозначим, записав

цІ-і = и/-і, ^-1 = ^ - 1, 77-1 = Г/-!, б}'1 = S'-1.

Следующая элементарная задача редуцируется к разностной:

4—4гх= о,

4 -4 ~ 1 . + 1 ѵіУз' / ’- о.

85

Системы (6.7), (6.8) и (6.10) на интервале tj_y sg t ^ t- аппрок­ симируют системы уравнений (5.14). Далее, на интервале tj ^ t ^

^tj +1 снова решаются эти же три задачи, но в обратном порядке. Переходим теперь к численному решению сформулированных

Рассмотрим теперь задачу (6.8)—(6.10). Четвертое из уравнений системы (6.8) позволяет ввести функцию тока ф2 соотношениями

Пользуясь тремя последними соотношениями и исключая все неиз­

вестные величины из (6.8), за исключением ф£-'/> и р/-І/2, после несложных выкладок, получйм систему уравнений:

86

Уту систему уравнений сведем к одному уравнению для функции тока

У = Уі-

После того, как решение задачи (6.16)—(6.17) найдено, искомые компоненты решения и', ѵ', Т1 и S' получим с помощью соотноше­ ний:

Ц = —ѴтФІ' 1/2 — U/-1,

4 = ѵ і - \

Тогда аналогично предыдущему приходим к задаче для функции

из ~ и з 1г

87

(6. 22)

Таким образом, алгоритм решения задачи об адаптации сформули­ рован полностью.

Необходимо отметить, что алгоритм решения задач динамики океана совсем не предполагает, что Н — const. Например, можно предположить, что функция Н (х, у) была бы кусочно-постоянной. Это обстоятельство позволяет ставить и решать задачи об океаниче­ ских циркуляциях с учетом рельефа дна. Однако следует помнить, что в этом случае теорема единственности решения задачи не дока­ зана. Если единственность решения задачи предположить, то алго­ ритм позволяет осуществлять решение такой задачи. Более того, в задачах с неоднородной глубиной дна можно пользоваться линей­ ной интерполяцией рельефа, ставя для точек дна условие равенства нулю нормальной составляющей вектора скорости (условие обте­ кания). Что касается компонентов и1, ѵ- и w1на поверхности Н (х,у), необходимых для решения уравнений переноса субстанций, то они могут быть найдены тем же путем, что и в случае кусочно-постоянной аппроксимации рельефа, — через функции тока. Задача постановки граничных условий упрощается при учете вертикального и гори­ зонтального макротурбулентного обмена. В этом случае на твердой поверхности можно поставить условие «прилипания» (и = 0, ѵ = 0).

В заключение рассмотрим случай, когда глубина океана пред­ полагается постоянной (Н = const). В этом случае баротропная составляющая задачи адаптации рассчитывается на основе изло­ женного выше алгоритма и трудностей в расчетах не представляет. Сосредоточим наше внимание на расчетах более сложной бароклннной составляющей задачи адаптации. Для этой цели воспользуемся

где ап — нормировочная константа.

88

Решение задач будем искать в виде рядов

¥

ип

¥

■= 2п ' Ѵп¥ Zn

Рп>

wn

¥

т VmZn. J п

¥

Sn

В результате нетрудно прийти к задачам для коэффициентов Фурье, соответствующих схемам расщепления (6.7), (6.8)—(6.9), [(6.10)— (6.11). Тогда задача (6.7) перейдет в следующую:

4 - 4 -1 f Z i4 + ^ - 1 = 0i

89

Задача (6.10)—(6.11) переходит в

* . * . и'з = і4“\

1

^ і ѵ Ы ~ 1/2 = о,

р

Ы _,/*+ ^ («гП ^ 2- а8& ' и) = 0,

систем уравнений (6.26)—(6.27), (6.28)—(6.29), то они для коэффи­ циентов Фурье оказываются «одномерными», т. е. зависящими только от одного индекса, либо к, либо I, где один из них присутствует только параметрически. Сводя эти разностные уравнения к уравне­ ниям для функций тока, приходим к задачам, соответствующим

<6.16) и (6.20):

Задачи (6.31) и (6.33) решаются методом факторизации.

90