Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.10.2023

Размер:

9.31 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 3123 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Рассмотрим далее случай, когда атмосфера граничит с континентом. В этом случае, как было отмечено выше, на поверхности континента

должно выполняться	граничное условие фо = 0 и решение задачи
имеет смысл только	для положительных индексов: ф і , 2, ф з / г , . . .,

Фn+'U-

Поскольку решение по условию всюду непрерывно и обращается в ноль при z = 0, то его можно продолжить по закону нечетности на половину последнего шага ниже поверхности континента, т. е.

	= —Ф«/.-		(З-16)
Составим теперь соотношение для /о.			С учетом (3.16) и (3.10)
будем иметь
г	Ф‘/,-Ф -‘/,
	*Ч.
	f	dz
или		т
или			(3.17)
Л	а Ф‘/2»		(3.17)
где	1
а ■	1		(3.18)
а ■	2‘/з		(3.18)

Гdz

Сучетом соотношения (3.17) приходим к следующей системе разностных уравнений для системы атмосфера — континент:

Рп!-’ /2	dcp,П4-Ѵ. — — 7Г7~(У")-1h —Ч>П-'!г) +			/zPn+'/г hq>ni-'/2,
	dt	Az«
		dtfk
	Pfti-'/.	---J f 2- —	(фЛ+/ — фА+vJ'
	----(ф*+‘ /2— Фft-1/з) + Az^-1/зМ'й+'/2ДфйД /s •
		(к = п — 1,	п —2, . . ., 1),
_	C?(Pj /			—
Pl/*Azil , - j r		= д^-(ф*/2-ФѴ 2)-а Ф'/2+ Аг./.іі./.Дф./,, (3.19)

Если предположить, что вся поверхность Земли является континен

том, то приходим к	уравнению	баланса количества движения
2 Azft-rv.j j	P k + 4 , ~ Qk t U	dxdy - ~ § §acp4 ,dxdy.	(3.20)
k

Правая часть соотношения (3.20) учитывает потерю количества движения за счет трения.

221

Если теперь учесть, что часть поверхности Земли S покрыта открытым океаном, а часть С — континентом и льдами, то общее уравнение баланса количества движения будет иметь вид

		*Pfc+V.	d xdy-т
А:		dt
А:
- г 2 Azft4.Vl	j	- dxdy = — J	I aq>,u dxdy — P. (3.21)
A-0	С		C

Здесь P — малая по сравнению с первым членом правой части величина, связанная с трением океана о берег. Этот член возникает при интегрировании оператора горизонтальной вязкости при усло вии «прилипания».

7.4. РАЗНОСТНЫ Й А НАЛОГ У РА ВН ЕН И Й ДИНАМ ИЧЕСКОГО СОГЛАСОВАНИЯ П О Л ЕЙ В АТМ ОСФЕРЕ

Приступаем к построению разностных уравнений адаптации атмосферных процессов. С этой целью рассмотрим систему уравнений:

2 i . - l v + R T ^ - = О,
dt				дх	’
£	+	+		- о .
		дф ___ §		гр
		dz	д у г	’
du	. dv ,		1	dpw	__ ,
дх	'	д у '	р	dz

со следующими граничными условиями по координате z:

5	II о	при	II о
5	о	при	z == Н т,
	II
и начальными данными

и —и0, ѵ ~ ѵ°, Т = Т° при t = 0.

(4.1)

(4.2)

(4.3)

При построении разностной схемы прежде всего необходимо позаботиться, чтобы сетки, введенные выше при рассмотрении нестационарных уравнений диффузии для Г, с одной стороны, и и, V — с другой, были бы одними и теми же для решения задачи

(4.1)—(4.3).

222

Рассмотрим следующую аппроксимацию по z системы уравне ний (4.1):

ди

- l v h+i,2+ R

T ^ ^

= 0,

k+'h

дѵ.к+ Чг

d(?k±

■luk-і-i/, -f-RT

4k+'!2~4h-4

Azfe

дуг

*’

, диЬ + Ч г

dvh+'/, \ I Pk+iWk+i— pkWk

Pft+v.l—Tx---- 1—

H -------------------- = U>

fe-f1/2

- ^

+ (Y a -V )^ = 0

(k = n — 1, . .

0).

(4.4)

К системе

уравнений (4.4)

необходимо

присоединить

граничные

условия

щ0 =

wn = 0.

(4.5)

Таким образом, система разностных уравнений определена.

Решение

задачи (4.4), (4.5)

будем

искать

методом

Фурье по

индексу к.

С этой целью

определим

следующие

разложения:

(4.6)

где

Величина	удовлетворяет системе алгебраических		уравнений:
	, <р >	, <р>
	Ф-‘/, =	*•/.»
j>+i Gift?»/, —-фй+’ u ) — pk ОДО«/ 2—'Ф* - * / ,)		= —Ѵ д а /2 (А = 1 ,2 ,-----re —1),
pk + 4 , ÄZA+V		= —Ѵ д а /2 (А = 1 ,2 ,-----re —1),
pk + 4 , ÄZA+V
	4>«+>/2=	^«-Ѵг-	(4.7)

223

Исключая из (4.7) несуществующие величины							и -фЙі/,,			получим
		fib(?)—			? .uCP)
		І 2 ~ УЧг ) __			? .uCP)
		— =— ---- :--------- Ѵ г1/.*
		Р«/.Д**/.
	Р*+1 (Ч’й+І/г	^fe+'/J ~	Pfe (^fe+Va-		^ -* /.)	-	^	+	‘/2.
		Pfc+V» Azfe+72				-	^	+	‘/2.
		Pfc+V» Azfe+72
		Pn-1 К-Ѵз-'ФІ-З/,			= - V I ^ - ‘/2-					(4.8)
		Рп-'/г AZn-’/2			= - V I ^ - ‘/2-					(4.8)
		Рп-'/г AZn-’/2
Здесь	индекс & пробегает значения 1,2,3,					. . . ,	и — 1.			фэ^*, . . .,
Введем в рассмотрение вектор ф(0) с компонентами ф(і/^,										фэ^*, . . .,
tfn-Чг	и матрицу Л	такую,	что	система		уравнений			(4.8) запи
шется в виде		Ля\|)(р>=		-.Ь \|)(р>.						(4.9)
		Ля\|)(р>=		-.Ь \|)(р>.						(4.9)
В явной форме матрица А имеет вид
	— «0	«0			0		.	0
	«1 - К + «і)				“ і		.	0
	0	а 2		— (а2 + а 2) . .				0
где	0	0			0		•	а п -
где
	ak -	Pfe		«fe		Pfe+l
	ak -			«fe
	Pfej-V« Azfe+V*				Pfe+v» Azft+v

Введем в рассмотрение скалярное произведение по формуле

(4.10)

тогда нетрудно установить в этой метрике симметричность опера тора А, поскольку имеет место тождество Лагранжа

(Ла, Ь) = (Ь, Ab).

Это значит, что задача (4.9) определяет набор ортогональных векторов, которые мы нормируем

(^<р>, ,ф<Р'>) = 1, Р* = Р

0, Р'ФР-

224

Тогда, подставляя разложение (4.6) в систему (4.4), приходим к за

даче для коэффициентов	Фурье:
д и(Р*	- I v W + R T	дх	А
dt		дх	‘
&)<Р>	+ Iu(p>+ RT	дф(р) _ o
dt		dy	u '
, öffi'P) . d u W		, âv<p>	Л	(4.11)
ГЯР Т - + — + —			= a	(4.11)
ГЯР Т - + — + —			= a

где

	R Г2	const.
	~ g{Va—y)	const.
	~ g{Va—y)

После того, как коэффициенты Фурье и(р>, ѵ(р) и фс'?)найдены, вос

станавливаем величины Uh+ч,, Vk+Чг11 Фй+'/«• Далее с помощью уравне ний статики и притока тепла находим wk и Тк.

Переходим к рассмотрению более общего случая, когда в уравне ниях адаптации атмосферных процессов приближенно учитывается орография. С этой целью предположим, что для эволюции крупно масштабных процессов в рамках долгосрочного прогноза погоды наибольшее значение имеет вертикальный компонент вектора ско рости.

Тогда приходим к параметрическому описанию орографии в сле дующем виде. Пусть

*= £(*. У)

—уравнение земной поверхности на континентах. Тогда после дифференцирования полным образом по t получаем

w — u	ді	-f,- ѵ dl	ш
	дх	' ду
Это условие выполняется при z	=	£ (х, у). Однако мы предположим,

что оно может быть приближенно поставлено при z = 0. В результате приходим вместо (4.2) к более содержательным (но приближенным!)

граничным условиям	dl		А
dl ,		ПРИ 2
W = UHZ + V~t\j-			= 0>
w = 0	при	z — HT.	(4-12)

С помощью метода конечных разностей по z приходим к системе (4.4) с граничными условиями

Wq— UiI 91 4	»®	0<4
Wq— UiI 91 4	»®	ду *
		ду *
wn = 0,		(4.13)

где верхний индекс нуль при и и у означает, что соответствующие величины берутся с предыдущего временного шага. Далее, в соот ветствии с алгоритмом требуется исключить величины wo и хѵп из

15 Заказ 674

225

системы уравнений (4.4). Тогда получим неоднородную задачу при к = : 0:

5 к ,,

_ 5ф, .

.lm/t + RT 4 ^ = 0 ,

дѵі ,

*P«/,

—Qt 2 -*г Іич2

5j/

(öUl/2

Pii^j

— U'!t dx

Vll* ây

P1/ \ dx

ây

j '

Az,^

Az,

Фі/„—Ф_і/г

Azn

5__ rp

R T 2

0 >

5Го

+ (T a -7 )^ o = °;

при к

1,2, . .

n — 2:

-f

5г

öy,*4»/.

m 0Ф*+І/,

= 0,

■luh+'U ~T

ду

Фft+'/я

*Pft—*/»

-ET1k>

А2*

R T

duh h'/2

^vh V112\

Pfe+l^fe+l

Pfeife _а

Pft+v*

% У"1'

Azft+1/2

ÖTfe

(7a — Т)ы>* = 0

и при

= n — 1:

öu„ 1,

—ö®„

— ^ 2- -

+ ДГ -

h = 0,

du„ j/

Td 0Ф«--Л

■О,

+ &«-•/,+ ЯГ

»У

5u„

öy„ ,,

Pn-lU'n-l

PЯ-’/і

n-ll2

П-1/2

ду

1/2

=0,

Ф я -Ѵ ,~ Ф я -» /,

n-V

Az/i-x

R T 2

öTn-i

ІУа ~ У) wn-l —0-

(4.14)

(4.15)

(4.16)

226

Введем в рассмотрение вектор-функции и, ѵ и <р, компонентами которых будут Uft+«/2, ffe+</2, фь+‘/г соответственно. Тогда после исклю чения величин wk и Tk приходим к векторно-матричным уравнениям:

^ -		b + R f ^			= 0,
дѵ		lu-\- RT —			= 0,
~ді		lu-\- RT —			= 0,
~ді		1		ду
dx	г		I	л І£. = /		'	(4.17)
dx	‘	äy	‘	dt		'

где матрица А имеет вид, соответствующий уравнению (4.9), а

Ро

P'UAz4,

f =

Решение задачи (4.17) будем искать с помощью рядов

		\		„	/ “A				(4.18)
		r	2		r «	k			(4.18)
		r	2	1	r «	k
и		/		1	ѴфJ
и
		/ =	2 / Л ,						(4.19)
где				«
где		fq =		(/- %)■
		fq =		(/- %)■
Подставляя ряды (4.18)		и	(4.19)			в (4.17), приходим			к системе
уравнений для коэффициентов Фурье:
duq		■1,,+ r t S i .
dt
дѵЧ	I	Іц		■R T ^ 1 =				О,
dt	^	шч				ду
duq	,	dvq			^	d(fq	_	4	(4-2r)
~д Г д у						dt	- J r		(4-2r)
15*									227

Решение этой системы проведем следующим образом. Выделим ту часть решения, которая соответствует собственному числу Яо = О (баротропная составляющая океана)

ди°	- lvn + R		T ^	= О,
dt			дх
дѵр	luo + R T ^ - = 0,
dt			ду
	ди0	дѵп _f		(4.21)
	дх	1 ду	•'o*	(4.21)

Решение системы (4.21) представим в виде

''О!

	Фо ~ Фо*	(4.22)
Предположим, что и о и ѵ0	выбраны таким образом,	что
ди0	дѵр	(4.23)
дх	ду /о (*- У)-	(4.23)

Например,

где х0 — произвольно выбранная точка, или

Vо

и0 = 0.

Тогда, подставляя (4.23) в (4.21), приходим к уравнениям для отклонений:

ди»	M	+ R T ^ -	lv0,
dt
+ lu’ + R T ^ L ^ - l u 0,
	dug	I dl;o _n	(4.24)
	d x	d y	(4.24)

Последнее из уравнений (4.24) позволяет ввести в рассмотрение функцию тока с учетом соотношений:

ио	сД\|)	, _	(4.25)
	~ w	Ѵ о - І Г 1

и задача (4.24) сводится к задаче для функции тока (после исклю чения ф).

228

Что	касается остальных			уравнений				системы (4.20), то для q =
= 1,2,	. . п — 1	можно использовать метод расщепления. Тогда
получим:								Я	М +,/г
	и>+Чг — и>			1 „/+*/I
		Ч		1 „/+*/I
			— -тгѴ,				= —RT		дх
		ѵа+Чг — ѵо ,			I		иІ+'Іг —0,
		. <рГ '/2-ФІ				duT U _			Л		(4.26)
		Ал------ :-----									(4.26)
							,;/+! _		О
							2 4	~	’
	¥	—		7	•	1		-	W	+1
	¥	Я		I J , J +				D T 1	* ¥
	------ i ------+ 2 “*						= - R T ~ d T '
		ф£+1-		фІ+,/*			Ч +1/г		/<7		(4.27)
									2	■	(4.27)
									2	■

В результате решения задач (4.23), (4.24), (4.26) и (4.27)решение находится в виде (4.1;8).

7.5. РАЗНОСТНАЯ СХЕМА Д Л Я У РА В Н ЕН И Й АДАПТАЦИИ Д В И Ж ЕН И Й В О КЕА Н Е

Переходим к формулировке разностной системы уравнений динамики океана. С этой целью рассмотрим систему основных уравне ний адаптации:

ди	т	I	1	öp	Л
т г - ь +			у	&	0'
			1	др
% + Ы + + ^ = 0.
dt				ду
	др_ = - о Т ,
	dz
ди	,	дѵ	I	dw __л	’
дх	'	ду	‘	d z	’
	^ r + Tw = 0,				(5.1)

где er = aTg = const, T — отклонение температуры от некоторой

То = const, принятой за стандартную температуру при z = 0. Для построения разностных уравнений будем использовать ту же сетку по z, что и выше при рассмотрении аппроксимации нестационарных

229

уравнений диффузии. Тогда система уравнений

(5.1)

аппрокси

мируется следующей

разностной:

диІк+Ч,

dpk4U

T t------ ІѴі>+ч> + Т ~

д Г - ==0'

дѵh+Чг

■ІиЬ+Чг

^ f e + V .

Pk+Чг

Pk-'h

-°Т *,

A zk

au k+Чг

дѵ.h+Чг

I U'k+\-- Wk __ Q

дх

дУ

k+Чг

äTk ■Twk = 0

(к = —1, — 2, . .

— m).

(5.2)

системе (5.2) присоединим граничные условия:

= °>

w-m= О-

(5.3)

Решение задачи (5.2)—(5.3) будем

искать

в виде

'щ+чА

f u(9)\

(5.4)

ѵ*+'і,

1 = 2

ph+4J

\p (q>‘

T*.,

= 'S

(W<9)\

\ z k

(5.5)

где величины с индексом

q — коэффициенты Фурье (не

зависящие

от

к).

что фі+’і/г являются решениями задачи

Предположим,

(?) = - 'М 5(?)>

(5.6)

имеет

вид:

“ і

«г

А =

а 2

-- («2 +

аі)

а 2

. . .

а 3

— (а3-г«з) •• .

ат

где

а*

Д2

hZ-k

Az-ft+'

AZ-A+Vi

Чг AZ-fc+l ’

Вместе с основной задачей (5.6) рассмотрим сопряженную

(5.7)

230

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 3123 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ