книги из ГПНТБ / Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана

следователышх приближений. Каждый раз сначала находится при­

ближение для плотности

7П*

m'=m+-1

а затем находятся компоненты вектора скорости

т -1

Критерии сходимости этого метода будут обсуждены в дальней­ шем, а здесь мы прежде всего рассмотрим вопросы алгоритмической реализации метода. С этой целью сначала рассмотрим задачу (7.1). Опуская индексы п и т , перепишем ее в виде

где для каждого итерационного шага величина / известна и опреде­ ляется формулой

иопределим ортогональный и нормированный базис векторов {о»?}

исоответствующий ему вещественный и неотрицательный спектр kq. Заметим, что одно из собственных чисел равно нулю. Собственная функция, соответствующая к = 0, является вектором, не завися­ щим от уровня, и несущественна для расчетов. Поэтому составля­ ющую решения, соответствующую к = 0, мы будем отбрасывать,, ортогонализируя тем самым решения к константе. Алгоритми­ чески это осуществить довольно просто. Сначала для каждой точки (хк, у/) необходимо найти среднее арифметическое р по всем уровням и из полученного вектора вычесть из каждого компо­

нента рт эту константу.

Введем теперь в рассмотрение разложения

т*

Рт= 2

<7=1

121'

Здесь pq и fq — коэффициенты Фурье разложения по ортонормированной системе собственных функций

где р — вектор с компонентами рт , а скалярное произведение опре­

делено в виде

т*

т'а 1

Спомощью (7.6) задача (7.3) сведется к набору задач для коэффи­ циентов Фурье

Найдем максимальное и минимальное собственные числа оператора

— А%\2і, которые обозначим ß (— Д|;2г) и а (—А|;2/) соответ­ ственно. Тогда минимальное и максимальное собственные числа оператора A q найдутся в форме

Имея в своем распоряжении а (Aq) и ß(H9), организуем итераци­ онный процесс

.122

на множестве векторов {ф}, среди которых ищется решение задачи (7.15). Скалярное произведение в (7.16) определяется следующим образом:

Важно отметить, что хотя разностный оператор Л положителен,, но его спектр является комплексным. Поэтому методы оптимизации итерационных процессов на основе чебышевского ускорения или верхней релаксации отпадают. Остается метод минимальных не­ вязок

Для повышения скорости сходимости итерационного метода рас смотрим комбинацию методов расщепления и минимальных невя­ зок. Пусть а (—AI’1;) и ß (—AI’1;) — границы спектра опера­ тора — AI;1;. Введем в рассмотрение матрицу

123.

задачи равно нулю, то для оптимизации следует брать наименьшее ненулевое.

Переходим теперь к обсуждению метода последовательных при­ ближений для более полной задачи. Предположим, что мы имеем дело с задачей (4.7). Аналогично предыдущему сформулируем ите­ рационный процесс. Сначала решаются уравнения для плотности

т*

Что касается уравнения (7.21), то его решение было обсуждено выше. Некоторое отличие будет иметь место в алгоритме решения задачи (7.22). Оно состоит в том, что решение этих уравнений также следует теперь искать в виде рядов Фурье по собственным функциям задачи

Представив ит и ѵт в виде рядов

т* т*

мы приходим к системе уравнений для коэффициентов Фурье и",

н", которая решается на основе метода минимальных невязок в ком­ бинации с методом расщепления по схеме, близкой к рассмотренной выше.

Переходим теперь к теоретическому анализу сходимости итера­ ционного метода (7.1), (7.2 ) и (7.21), (7.22). Для того чтобы такой анализ провести до конца, мы вместо указанных задач рассмотрим другие, близкие к ним в дифференциальной форме, решения которых будем предполагать периодическими. Итак, сначала рассмотрим ите­ рационный процесс для задачи, соответствующей (7.1), (7.2), но записанной в форме, где р и w не исключены. Будем иметь

т

Будем считать, что любой из компонентов решения имеет вид

где ф — коэффициент Фурье, а а, ß и у — параметры волны

Подставим (7.26) в (7.25) и последовательно приведем систему <7.25) к соотношению для каждой из гармоник возмущения (7.26)

где Т — оператор шага, величина которого будет оценена на основе характерных масштабов возмущений.

Подставляя (7.26) в (7.25), получим

— (Ці7-2 + viY2) Pn+1 = Ггг" " ! * ,

где

г2= ct2 -j- ß2.

Будем теперь последовательно исключать все компоненты реше­ ния, кроме рп+1 и рп. Поскольку

YP

125

Для сходимости итерационного процесса необходимо выполне­

для всех гармоник, присутствующих в решении.

Если рассматривается более общая система уравнений, учиты­ вающая турбулентное трение в уравнениях Эйлера, то мы имеем более полную задачу:

Тогда аналогично предыдущему приходим к рекуррентному соот­ ношению (7.27), где оператор шага Т имеет вид

T = jL ll_________ (рг2+ѵѴа)________

р у 2 ( Р і '-2 + Ѵ1у 2 ) [ ( р г 2 - і- ѵ у 2 ) 2 - |- /2 ] • ( / . О О )

126

Дадим интерпретацию полученным критериям сходимости ите­ рационного процесса. С этой целью рассмотрим более общий слу­ чай (7.37). Прежде всего заметим, что для периодической задачи в разностной форме мы снова приходим к формуле (7.36), где пара­ метры г2 и тг связаны с h, Н, Ах = Ау и L, где L — максимальная длина волны в горизонтальной плоскости, формулами

Необходимо теперь с помощью формул (7.38) подсчитать границы изменения параметров а, ß и у и проверить выполнение условия (7.37). Конечно, условность в выборе L остается, так же как и пред­ положение о периодичности задачи, однако итерационный механизм,

•связанный с величиной Т в зависимости от cs, ß, у, и выводы о схо­ димости, а также достаточные условия применимости метода стано­ вятся более понятными и конструктивными.

4.8.

ДИ Н А М И КИ О КЕА НА С УЧЕТОМ Н ЕЛ И Н ЕЙ Н О ГО ТУ РБУ Л ЕН ТН О ГО ОБМ ЕНА

Следующим уточнением теории климата в океане является вве­ дение нелинейной турбулентности. Хорошо известно, что турбулент­

ный обмен в условиях устойчиво стратифицированной жидкости ~

0 может быть с достаточной точностью описан постоянным коэффициентом вертикального турбулентного обмена ѵ. Однако такое описание оказывается удовлетворительным только в этом слу-

под влиянием сил плавучести в жидкости немедленно образуются неупорядоченные конвективные движения, которые турбулизируют большие толщи океана. Это значит, что по своей природе коэф­ фициент турбулентного обмена является нелинейной функцией. Его можно аппроксимировать в простейшей форме зависимостью

где е фиксированная безразмерная константа феноменологического характера, которую можно выбирать порядка ІО-2 или 10_3. Будем

предполагать, что если условие ^ «S 0 реализуется на некоторой

глубине океана, то мы будем считать, что интенсивной турбулизацпи

127

подвергается весь слой 0 z ^ Н . Модель, близкая к такой модели, была рассмотрена Брайном.

Основные уравнения динамики при такой модели внешне не претерпевают каких-либо существенных изменений. В самом деле, возьмем в качестве исходной задачу (4.4) и определим метод после­

булизации неустойчиво стратифицированной жидкости по всей глу­ бине. Такая модель турбулентного обмена в принципе не нарушает изложенной выше схемы, однако требует ее модификации в той части, которая связана с решением уравнения для плотности на заданном итерационном шаге п. В самом деле, по сравнению с рас­ смотренным выше случаем задачи (7.1), (7.2) коэффициент в урав­

где р9, fg и I — сеточные функции к я I. Решение этой задачи про­ водится точно таким же методом, что и решение задачи (7.10). Важ­ но отметить, что принятое предположение о механизме турбулент­ ного обмена не нарушило возможности применения к расчетам метода разделения переменных по индексам к, I и т.

Аналогичным образом может быть рассмотрена более полная модель динамики (4.7).

4.9.

Н Е Л И Н Е Й Н Ы Е ПОСТАНОВКИ ЗА ДАЧ

Рассмотрим задачу динамики океана в более полной формули­ ровке без линеаризации, в квазистатическом приближении. Будем иметь систему уравнений:

цДи !- Ь, = -=” §£•+ Я И ,

128

Решение системы будем искать в виде

и= и - \ - и ‘,

ѵ~ ѵ + ѵ\ w — w',

р= р+ р*>

Здесь величины, отмеченные чертой сверху, зависят только от х

где ф' — любая из величин, входящих в (9.3).

Выражения (9.3) подставим в уравнения системы (9.1), проин­

р Ай + Іѵ= 4- + R (и),

Р A y -fo = i- - ^ - + i? ( y ) ,