книги из ГПНТБ / Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана

Аналогично систему уравнений (9.7), опуская штрихи, можно привести к виду

г

при условии (9.8)

Видно, что при таком определении метода последовательных приближений каждая из задач (9.9) и (9.10) на данном шаге итера­ ции совпадает с уже ранее рассмотренными и, следовательно, ре­ шается по изложенным выше алгоритмам. Необходимо лишь сделать замечание по разностной аппроксимации выражений R(ф). Такую аппроксимацию следует осуществлять в соответствии с методами, изложенными в п. 2.6.

В заключение отметим, что наибольший интерес для приложений имеет бароклинная составляющая поля. При этом обратная связь от баротропной к бароклинной составляющей так слаба, что для приближенного решения задачи можно сначала найти и', ѵ' и р7

из задачи (9.7), (9.8) в предположении, что и = ѵ = 0, р = 0,

а затем подсчитать и, ѵ, и р па основе решения задачи (9.5), (9.6). Учет вертикального турбулентного обмена в уравнениях дви­

жения не нарушает изложенного подхода к решению задачи.

4.10 . П РО БЛ ЕМ А НЕСТАЦИОНАРНОЙ А ДАП ТАЦ ИИ П О Л ЕЙ Т Е Ч Е Н И Я К АТМ ОСФЕРНЫ М ВОЗМ УЩ ЕН ИЯМ

При решении задач, учитывающих взаимодействие атмосферы и океана, и прежде всего для целей прогноза погоды очень важным является определение начальных условий в океане, формируемых под непрерывным сезонным нестационарным воздействием атмосферы. Для этой цели используем следующую линейную, но уже нестаци­ онарную модель океана

К системе уравнений (10.1) присоединим граничные условия

выберем климатическое состояние океана, описываемое одной из теоретических моделей, рассмотренных в предыдущих параграфах настоящей главы. Теперь наша задача состоит в решении задачи (10.1), (10.2) при избранном начальном (климатическом) состоянии океана. Предполагая заданными ххг, хуг и у, за достаточно длитель­ ный срок (порядка сезона) решим задачу о формировании течений и поля плотности в океане к некоторому моменту времени.

Для решения задачи (10.1), (10.2) аппроксимируем ее по времени.

Система уравнений (10.3) решается при граничных условиях (10.2), взятых в соответствующие моменты времени. Важно отметить, что неявная схема аппроксимации уравнений в (10.3) позволяет получать абсолютно устойчивую схему расчета, автоматически филь­ трующую быстропротекающие процессы, несущественные для ди­ намики крупномасштабных процессов. После того как решение задачи (10.1), (10.2) найдено, его следует принять за начальное при решении более точной задачи о нестационарных течениях, рас­ смотренной в гл. 3. Решение этой задачи проводится на срок 2— 4 недели. Полученное в результате решение уже можно принять в качестве начального состояния океана для совместного решения задачи прогноза погоды в атмосфере и динамики течений в океане.

1 См. М арчук Г. И . «Численные методы в прогнозе погоды», § 4.4.

432

4.1 і . Ф ОРМ ИРОВАНИЕ ТЕРМ О К Л И Н А В О КЕА Н Е

Теория термоклина в настоящее время — центральная проблема океанографии. Существо этой проблемы в описании вертикальной структуры температуры и плотности в бароклинном океане. По этому вопросу есть различные точки зрения, однако проблема тер­ моклина до сих пор еще не решена.

Известно, что вдали от северных широт с глубиной ниже слоя трения градиент плотности убывает по экспоненциальному закону. В слое трения до скачка 0 z <і h плотность в результате интен­ сивного турбулентного перемешивания постоянна. На больших глу­ бинах плотность с глубиной изменяется слабо и течения становятся баротропными. В области северных широт термоклин не наблю­ дается. Зона океана с выраженным термоклином более или менее

ности из океана в атмосферу. Эффективная толщина термоклина колеблется от нескольких десятков метров в одних частях океана до нескольких сотен — в других. Это именно те основные факты, которые должна объяснить теория термоклина. В настоящей статье предложена простейшая математическая модель термоклина, которая, по нашему мнению, дает качественное объяснение пере­ численным фактам.

Предположим, что уравнения динамики океана осреднены за интервал времени в несколько десятков лет, соответствующий времени формирования термоклина. Если ф — любая из гидрофизи­ ческих субстанций, а иа — компонента вектора скорости, то для записи осредненных членов в уравнении гидродинамики обычно используют следующие соотношения:

Чертой сверху обозначено осреднение соответствующих величин по времени. На основе полуэмпирической теории турбулентности примем

(П.2)

где ка — коэффициент турбулентного обмена.

Осредненные за многие годы поля субстанций и осредненные флуктуации обычно находятся в следующем соответствии:

Примем это во внимание и соотношение (11.1) приближенно запишем в виде

(11.3)

133

Можно заметить, что коэффициент турбулентного обмена сильно анизотропен. Пусть кх — /г,, = р, а &2 = ѵ. Коэффициент р можно принять постоянным. Что касается коэффициента верти­ кального турбулентного обмена, то он существенно зависит от плот­ ностной стратификации и является функцией вертикального гра-

до

диеита плотности -Л-, т. е.

O Z

ѵ= ѵ(р2).

Пренебрегая конвективными и адвективными составляющими осредненных полей, уравнения переноса тепла Т и солей S в оке­ ане запишем в форме:

Здесь черта осреднения над функциями Т, S и р ради простоты опущена. К системе уравнений (11.4) добавим уравнение состояния в виде

Функция / известна из экспериментальных данных. Для того, чтобы замкнуть систему (11.4), (11.5), необходимо определить функ­ цию ѵ(х). Пусть

много больше соответствующего коэффициента ѵопри устойчивой

ствует активному развитию неупорядоченных конвективных дви­ жений в неустойчивом или безразлично стратифицированном океане, которые статистически могут быть описаны с помощью вертикального турбулентного обмена.

134

Единственность решения задач (11.4) — (11.7) с точностью до несущественной произвольной постоянной имеет место при условии

Jj Г dxdy = 0, § \y d x d y = Ü

и вполне естественных предположениях о гладкости поверхности, ограничивающей область определения решения. Здесь, разумеется, используется предположение о положительности величин р и ѵ.

Переходим к качественному анализу решения задачи (11.4), (11.7). С этой целью проведем дальнейшие упрощения постановки задачи. Как основную информативную функцию рассмотрим тем­ пературу, а соленостью ради простоты пренебрегаем. Тогда прихо­ дим к более простой задаче:

Рассмотрим только область устойчиво стратифицированной жид­ кости, где Г > 0. Что касается областей неустойчивой стратифика­ ции, то в них предполагается интенсивный вертикальный турбу­ лентный обмен, который выносит запасы тепла из океана в атмо­ сферу. Это значит, что на границе с такой областью приближенно можно допустить существование стока тепла. Поскольку в задаче (11.8) решение отыскивается с точностью до произвольной посто­ янной, выберем ее равной нулю. Тогда задача (11.8) формулируется уже для отклонений.

Пусть океан имеет бесконечную глубину, ст — цилиндрическая поверхность берега, а 2 — цилиндрическая поверхность в жидкости, отделяющая область устойчивых стратификаций от неустойчивых. Тогда приходим к задаче:

дТ п

=0 на а,

Т— 0 на У,

ѵѳ -^ - = —Г(х, у) при z = 0,

(11.9)

dz

135

Рассмотрим спектральную задачу:

—Лф = Ъ |\

При весьма общих предположениях о гладкости поверхностей а и 2 задача (11.9) имеет базис собственных функций {фл}, которым соответствует набор положительных собственных чисел. Решение задачи (11.9) будем искать в виде ряда Фурье по собственным функ­ циям задачи (11.9')

Г(®, У) = 2ПГ А ( г , У).

Тогда для коэффициентов Фурье Tn(z) приходим к задаче:

(11. 12)

В устойчиво стратифицированной жидкости коэффициент тур­ булентного обмена ѵ0 является функцией глубины. При этом в слое трения (10—50 м) величина коэффициента ѵо колеблется в пределах 10—1000 см2/сек, в зависимости от причин турбулентного обмена в поверхностном слое (конвективное или волновое перемешивание). Ниже слоя трения коэффициент ѵо при устойчивой стратификации примерно равен 1 см2/сек.

Итак, пусть

Ѵц z< /i,

Тогда нетрудно получить решение задачи (11.12) в следующем виде:

(h—z), 0 ==sz</j,

(11.14)

136

Здесь использовано предположение о том, что в тонком слое трения при большом коэффициенте перемешивания решение задачи является почти линейной функцией глубины. Это значит, что в решении можно ограничиться только главной частью, отбросив члены более

высокого порядка малости по параметру е„ = V ^ h- Нетрудно

проверить, что решение (11.14) на границе слоя трения при z = h непрерывно вместе с потоком.

С помощью решения (11.14) найдем коэффициенты Фурье для распределения температурного градиента

(11.15)

В результате приходим к выводу, что при такой математической постановке задачи каждый коэффициент Фурье ниже слоя трения экспоненциально убывает с глубиной. При п = 1 получаем главный термоклин, который наблюдается в умеренных и южных широтах Атлантического океана и южных и северных широтах Тихого океана.

Рассмотрим некоторые оценки. Пусть ц = ІО8 см2/сек, ѵх = = 10 см2/сек, ѵ2 = 1 см2/сек, L = 10® см. Здесь L — характерный масштаб океана, который для оценок величин будем считать прямо­ угольным. Тогда глубину термоклина вычислим из соотношения

т. е. приведенной толщиной термоклина условимся считать глубину z = Я , на которой интенсивность градиента температуры умень­ шается в е~х раз. Тогда

Это значит, что главный термоклин (п — 1) имеет толщину примерно 1 км, а остальные в п раз меньше.

Если теперь рассмотреть характерные времена формирования термоклина, то из масштабного анализа нестационарного уравне­ ния теплопроводности нетрудно найти время релаксации

Полагая, как и в предыдущем анализе,

,ГС2Я 2

Кп— £2 *

приближенно получим

f(R) = 30 лет, /<Я) = 8 лет, <|Я) = 3 года.

137

Конечно, это только оценки порядка величин, но уже они по­ зволяют сделать вывод, что порядок величин времени становления термоклина описывается такой сравнительно простой моделью.

Несколько замечаний по существу проблемы. Как уже уста­ новлено, решение задачи о термоклине сведено к суперпозиции ре­ шений для коэффициентов Фурье. Это значит, что вертикальное распределение температуры в каждой точке океана описывается некоторым набором экспонент. В тех точках, где первая собствен­ ная функция с заданным Гх будет доминировать, можно говорить о главном термоклине. В тех частях океана, где вклад первой гар­ моники будет мал, ярко выраженным оказывается термоклин мень­ шей толщины и т. д. Таким образом, можно качественно объяснить еще один загадочный экспериментальный факт — изменчивость тол­ щины термоклина в разных частях океана. Этот факт уже давно был зафиксирован экспериментаторами. Далее, по мере приближе­ ния к областям неустойчивой стратификации все собственные функ­

ции (г) стремятся к нулю и термоклин исчезает.

На основе рассмотренной простой модели термоклина можно представить весь физический процесс формирования термоклина в стратифицированной жидкости.

Термоклин в океане — следствие не только локальных процессов, но и результат взаимодействия крупномасштабной диффузии гло­ бального характера с вертикальным турбулентным обменом. При этом толщина термоклина в принятой модели зависит от спектра оператора горизонтальной диффузии для всего океана. Именно в этом, по нашему мнению, ключ к решению проблемы формиро­ вания термоклина.

Физическую картину формирования температурного термоклина теперь можно представить в следующем виде. В областях океана с устойчивой стратификацией, где происходит приток тепла из ат­ мосферы в результате вертикального турбулентного обмена, тепло проникает во внутренние глубинные слои. В результате горизон­ тальной турбулентной диффузии это тепло транспортируется в те области океана, где стратификация неустойчивая и тепло выносится из океана в атмосферу. Такие области, как правило, расположены в полярных районах.

Сформулируем теперь ряд проблем, решение которых поможет развитию теории термоклина в океане. Первая — решение нелиней­ ной задачи (11.4)—(11.7) для всего Мирового океана. Вторая — оценка влияния адвективных и конвективных составляющих в урав­ нении притока тепла и солей. Теория термоклина будет уточнена вследствие учета этих составляющих прежде всего в районах упо­ рядоченных средних скоростей и струйных течений. В исследова­ ниях по численному моделированию циркуляций в бароклинном океане к настоящему времени достигнуты существенные результаты. Наконец, требует изучения и проблема эволюции формирования термоклина, его периодичности во времени и оценки деятельного

слоя, непосредственно ответственного за взаимодействие атмосферы и океана.

138

Г л а в а 5

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ КРАТКОСРОЧНОГО ПРОГНОЗА ПОГОДЫ

К настоящему времени предложен ряд численных алгоритмов решения задач прогноза погоды и общей циркуляции атмосферы. Вместе с тем необходимо отметить, что уравнения гидротермодина­ мики атмосферных процессов настолько сложны, что до сих пор имеется необходимость разработки более качественных алгоритмов, способных с высокой точностью описать широкий спектр задач динамической метеорологии и прогноза погоды. Построение каче­ ственных алгоритмов решения таких задач тесно связано с проблемой аппроксимации уравнений и устойчивости полученных разностных схем, которые вообще являются основными проблемами при кон­ струкции новых численных алгоритмов.

Задача прогноза погоды по своему физическому содержанию

иматематической постановке близка к задаче динамики океана, подробно рассмотренной в предыдущей главе. Мы предполагаем, что читатель уже ознакомился с алгоритмами решения задач океана

иих теоретическим обоснованием. Поэтому при рассмотрении задачи прогноза погоды мы будем существенно опираться на упомянутые результаты.

Проблема прогноза погоды явилась предметом глубокого изуче­

ния особенно в послевоенные годы. Начиная с работы И. А. Кибеля 1940 г., в которой впервые была сформулирована гидродинамиче­ ская теория краткосрочного прогноза погоды, такие исследования получили большое развитие как в СССР, так и за рубежом. Работы И. А. Кибеля, Е. Н. Блиновой, А. М. Обухова, Дж. Чарнн, М. И. Юдина, Н. Филлипса, Н. И. Булеева и Г. И. Марчука, К. Хинкельмана и др. привели к ряду новых оригинальных поста­ новок задач, а развитие мощной электронной вычислительной тех­ ники создало солидную базу для дальнейшего усовершенствования гидродинамической теории прогноза погоды и теории климата, которые получили существенное развитие в работах Дж. Смагоринского, Е. Минца, Ф. Томпсона, Е. Лоренца, Ф. Шумана, А. Касахары и др. На смену традиционным алгоритмам численного решения задач динамики атмосферы пришли новые более эффективные и уни­ версальные такие, как «бокс-метод» Курихары и Брайна, метод

139

расщепления, разработанный автором и его сотрудниками, и др. Эти новые подходы дают возможность задачу гидродинамического прогноза включить в качестве примера решения сложных задач математической физики методами современной вычислительной математики.

Хотя мы ограничимся рассмотрением одной модели краткосроч­ ного прогноза погоды, однако методы вычислительной математики, использованные для решения этой задачи, могут быть применены к широкому классу более сложных и практически более интересных проблем.

вертикально вверх, р — давление, р — плотность, Т — абсолютная температура, — адиабатический градиент температуры, g — уско­ рение силы тяжести и / — параметр Кориолиса.

Первые три уравнения системы (1.1) являются уравнениями движения, причем третье часто называют уравнением статики, чет­ вертое уравнение — уравнение неразрывности и пятое — уравнение притока тепла.

К системе уравнений (1.1) присоединим граничные условия

Здесь и всюду в дальнейшем будем предполагать, что решение задачи и входные данные обладают достаточной гладкостью для примени­ мости используемых алгоритмов.

140