книги из ГПНТБ / Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана

числом. Соответствующий собственный вектор ф° своими компонен­ тами имеет одну и ту же константу. Остальные Xq оказываются вещественными и положительными.

Рассмотрим теперь более общее граничное условие на поверх­

С целью согласования с разностной схемой соотношение (5.9)

К условию (5.10) присоединим условия на нижней границе слоя термоклина, которые получим следующим образом. Предположим, что рельеф дна в океане описывается функцией

Дифференцируем это выражение полным образом по t, получим известное соотношение

и проинтегрируем это уравнение по z в пределах —т] ^ z ^ —hT. Тогда получим соотношение

-n

231

Будем считать, что ниже уровня z = —hT океан баротропен и, сле­ довательно, компоненты вектора скорости и и d не зависят от z. Обозначим их и (—hT) и ѵ (—hT) соответственно. При этом предпо­ ложении соотношение (5.14) переходит в следующее:

ди

+ w (—hT) — w (—т]) = 0. (5.15)

< Ч - * т > ( £ + ду ^fij1

Из этого соотношения, далее, исключим w (—rj) с помощью (5.12). Тогда приходим к условию

Учитывая согласование сеток, условия (5.16) представим в раз­

Имея в виду в дальнейшем использовать для решения задачи

будем считать известной функцией координат и времени (беря ее на предыдущем временном шаге). Тогда условие (5.17) запишется весьма просто

Теперь исключим из системы уравнений (5.2) величины wо и іѵ_т с помощью граничных соотношений (5.10) и (5.19). Тогда будем иметь: для к = — 1

232

для к = —2, —3, . . —т + 1

233

Тогда разностные уравнения (5.23)—(5.25) можно записать в вектор­ но-матричной форме:

234

набор собственных векторов ф(<?), соответствующих положительным собственным числам Я .

Вводим в рассмотрение скалярное произведение

-т

(а, Ъ) — ^ afe+i/2bft+i/2Az.ii+1/г»

Ь=-1

тогда нетрудно проверить, что

(Аа, b) = (a, Ab),

откуда следует симметричность матрицы А. Это значит, что в данной метрике, порождаемой скалярным произведением, система соб­ ственных векторов ф<9) будет ортонормированной, т. е.

Умножим уравнения (5.27) скалярно на ф(<7), тогда получим систему уравнений для коэффициентов Фурье

Если предположить, что задача (5.30) решена для всех значений q, то с помощью формул (5.29) восстанавливаем и, ѵ и р. Что касается величин W/i и Tk, то они восстанавливаются с помощью уравнений статики и притока тепла. Таким образом, задача адаптации движений в океане и в этом случае также решается до конца указанным выше алгоритмом.

235

7 .6 . СОГЛАСОВАННАЯ ПО В ЕРТИ К

МОДЕЛЬ ДИ НА М И КИ АТМ ОСФЕРЫ И ОКЕА НА

Внастоящем параграфе мы получим другой, на наш взгляд, более эффективный подход к численному методу совместного решения

задач атмосферы и океана. На первом этапе решается задача пере­ носа субстанций с учетом горизонтального макротурбулентного обмена:

где F — поток солнечной радиации. Здесь и далее мы будем использо­

Здесь и в дальнейшем будем считать, что Т = Т (z). Это су­ щественное отличие от рассмотренной выше постановки задачи.

Рассмотрим теперь метод расщепления уравнений динамики

океана. Для удобства величины, относящиеся к океану, будем отмечать штрихом. Далее, в океане будем пользоваться другой системой координат, а именно: х, у и z’ = —z. Тогда, очевидно, w нужно заменить на — w’, а Г — на —Г:

д —, du' dz V dz

du’ —, A , , d —„ du’

Р Т Г = Р А‘’ + Т Г ' ’ — '

236

где Т0 предположим известной из решения задачи на предыдущем шаге.

Для дальнейшего удобно использовать следующие обозначения. Выделим координаты z с системой узловых точек zk и Zk+«/,. Будем считать, что

ак+Ч ah-4,

237

Для остальных двух переменных х и у не будем использовать индексные выражения для разностей, положив

al+'U~al-'l2

Ах[

при к = 1,2, . . n — 2

Здесь использованы обозначения

238

239

Переходим теперь к формулировке разностных уравнений для адаптации движений в атмосфере (с учетом теплопроводности). Для простоты организации алгоритма совместного решения задач ди­ намики атмосферы и океана будем считать Т[ при z = О известной

и отметим ее чертой сверху (Т0)>. В дальнейшем построим уравнения

где оператор -4*+х/2переводит сеточную функцию (pw)k в следующую;

1•Рт-і^т-іПри/с = тг— 1.

ЧPm-V 2Äzm-‘ /s

Далее, с помощью уравнения притока тепла и статики найдем разностный аналог для выражения р^щ:

240