книги из ГПНТБ / Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана

ния, и лишь дополнительные соображения приводят к схемам, теоре­ тически оправданным и эффективным в приложениях.

После такого предварительного введения перейдем к построению разностных схем решения задачи (6.27) по пространственным пере­ менным и времени. С этой целью сначала обсудим вопрос о раци­ ональных путях аппроксимации оператора А по пространственным переменным х и у. Как было отмечено, удобным методом аппрокси­ мации задач математической физики с сохранением аддитивных свойств оператора и его качественных особенностей является метод покоординатной аппроксимации, которым мы и воспользуемся для построения разностных схем.

Предположим, что коэффициенты и и ѵдостаточно гладкие, и рас­ смотрим уравнения (6.27) в дивергентной форме

со вторым порядком относительно Ах и Ду на достаточно гладких функциях и, и и ф. Однако выражение (6.40) имеет существенный

Это значит, что привычная нам аппроксимация оказывается неудо­ влетворительной для конструкции вычислительного алгоритма ре­ шения задачи (6.27).

Покажем, что аппроксимация выражения (6.39) в форме

и аппроксимирует выражение (6.39) со вторым порядком по Дат и Ду. Для того чтобы это показать, воспользуемся следующей аппро­ ксимацией коэффициентов:

Выражения (6.44) подставим в (6.42). Тогда после несложных пре­ образований получим

Предположим теперь, что коэффициенты ukil, vkil удовлетворяют разностному аналогу уравнения неразрывности

Если коэффициенты и, ѵ и решение <р имеют ограниченные произ­ водные второго порядка по х и у, то видно, что выражение (6.45) при условии (6.46) отличается от (6.40) на тот же второй порядок малости, как и выражение (6.40) от (6.39). Таким образом, мы пока­ зали, что выражение (6.42) аппроксимирует (6.39) со вторым поряд­ ком относительно Да; и Ду.

Покажем теперь, что таким образом построенный оператор Ан удовлетворяет условию (6.43) и, более того, каждый из операторов Д*

иопределяемых выражениями

также удовлетворяет условиям

52

Г л а в а 3

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ ОКЕАНА

Проблемы динамики океана начинают привлекать внимание многих ученых. Большой прогресс в изучении физики океана стиму­ лировал интерес математиков к построению численных моделей -океанических циркуляций, моделей приливных течений в окраинных морях и др. Такие модели оказали существенное влияние на развитие исследований центрального вопроса современной геофизики: про­ блемы взаимодействия атмосферы и океана.

В этой главе излагаются основные вопросы, связанные с поста­ новкой задач динамики океана и их алгоритмического решения.

Следует далее отметить, что читатель, интересующийся только методами численного решения сложных задач, при первом чтении может опустить § 3.1, где обсуждаются возможные постановки задач динамики океана и формулируются требования к единственности решения. Однако при более глубоком знакомстве с алгоритмами необходимо и более детальное изучение постановок, поскольку ■формулировка методов численного решения сложных задач, как правило, тесно связана с пониманием описываемых физических процессов.

3.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ДИНАМИКИ ОКЕАНА

Постановка задач динамики океана изучалась во многих исследо­ ваниях и к настоящему времени здесь достигнуты существенные результаты (Г. Стоммел, А. Робинсон, П. Веландер, В. Б. Штокман, А. С. Саркисян, А. И. Фельзенбаум, К. Брайен, В. М. Каменкович и др.). В последние годы в связи с интенсивным изучением физики океана и проблем взаимодействия атмосферы с океаном интерес к изучению океана резко возрос. Особое внимание при этом про­ является к решению полных систем уравнений с учетом бароклинных эффектов, связанных с изменением плотности жидкости. В дальней-

54

шем мы сформулируем серию возможных корректных постановок задач о циркуляции в океане и дадим метод их решения:

du

dt

lv + -

dS

(1.1>

где u, V, w — компоненты вектора скорости u , p — давление, p — плотность, T — температура, S — соленость. Координата х напра­ влена на восток, у — на север и z — вертикально вниз.

К системе уравнений (1.1) присоединим уравнение состояния

где / — известная функция температуры и содержания солей. Сформулированную систему уравнений (1.1), (1.2) можно не­

сколько упростить, переходя от физических величин к их отклоне­ ниям. Так, если ф (х , у, z, t) — некоторая физическая характери­ стика, то положим

ф= ф+ ф'.

Пусть

p = p ( z ) + p ',

T--=T(z) г Т',

где р (z), Т (z) тл S (z) — некоторые средние для рассматриваемой акватории океана распределения давления, температуры и соле­ ности по глубине. Будем считать, что

p > p \

T > r ,

Кроме того, предположим, что Т и S удовлетворяют уравнению состояния и статики

P = f ( f , S),

Используя соотношения (1.3), (1.6) и оценку (1.7), систему основ­

можно использовать для всего Мирового океана х.1

1 Преобразование (1.10) переводит исходную систему уравнений в тожде­ ственную и, следовательно, оно является математически формальным. Поэтому такое преобразование можно использовать даже в тех случаях, когда в изу­ чаемой акватории океана или части ее' термоклин отсутствует совсем или он сильно отличается от принятого «среднего». Вместе с тем данное преобразование, не внося дополнительных погрешностей в исходную систему уравнений, позво­ ляет теоретический анализ задачи провести наиболее просто.

56

Здесь, конечно, предполагается, что выполняется условие (1.5). Предположим далее, что

Для доказательства теоремы единственности решения неста­ ционарных задач динамики океана и постановки корректных условий на границах, обеспечивающих корректность в постановке задачи, мы будем исходить из системы уравнений (1.8). С этой целью за­ фиксируем малый временной интервал t-s sg t ^ tj+l и произведем линеаризацию уравнений (1.8) на этом интервале. Тогда система уравнений (1.8) примет вид

du . дѵ , dw

дх ду dz ’

где ці, vl и w‘ — компоненты вектора скорости, которые предпола­ гаются известными функциями при t = tj и удовлетворяют уравне­ нию неразрывности

Первые пять уравнений системы (1.12) соответственно умножим

на ри, ру, 8— Т’, S', р '. Результат сложим и проинтегрируем

У т Ys

по объему Мирового океана. Тогда с учетом двух последних соотно­ шений в (1.12) и (1.13) будем иметь

57

тде uh жип — нормальные составляющие векторов скорости и* и и соответственно. В результате выражение (1.14) преобразуется к виду

ВS

Переходим теперь к анализу возможных постановок задач и дока­ зательству теоремы единственности решения линеаризованной на

На твердой поверхности условия (1.18)—(1.19) являются усло­ виями безотрывного обтекания, а на свободной поверхности океана «ни эквивалентны условию равенства нулю вертикальной составля­ ющей вектора скорости. Следует подчеркнуть, что на Т' и S' никаких условий на границе не накладывается.

В качестве начальных данных примем при t — tj условие

Предположим, что условие (1.20) и область D допускают доста­ точно гладкие решения задачи (1.12), (1.18), (1.20). Предположим далее, что при одних и тех же граничных условиях и начальных данных существует по крайней мере два отличных друг от друга решения. Пусть это будет

{и = иг— u2, ѵ = ѵ1-—ѵ2, р‘ — Р'\ —Pzi Т' = ТI — Т2, S = 5 і >?г}

■будет удовлетворять системе уравнений (1.12), однородным гранич­ ным условиям (1.18), (1.19) и нулевым начальным данным

В силу указанных предположений с учетом (1.17) мы будем иметь

Ъ

58

Если соотношение (1.22) проинтегрировать по t в пределах интервала

*і sS t «£ tj+1, то

Поскольку под знаком интеграла в (1.23) стоит квадратичная функция, то равенство нулю функционала (1.23) равносильно равен­ ству нулю всех компонентов

Вследствие уравнения неразрывности и при условии

немедленно следует, что

Что касается давления р ', то оно не входит в данной постановке ни в уравнения, ни в граничные условия, кроме как через производ­ ные. Поэтому давление будет определяться с точностью до произ­ вольной постоянной. Это значит, что для полной определенности задачи требуется задать давление в одной точке области определения решения. И тогда однородная задача приведет нас к нулевому реше­ нию для всех компонентов, включая р ' , т. е. получим

Аэто значит, что решение задачи единственно.

2.Рассмотрим теперь другую постановку (1.12), когда требуетс решить систему уравнений с граничными условиями

Т = п s' = h

где а — боковая цилиндрическая поверхность, мысленно выделенная из области D. Функции /у предполагаются заданными во все моменты

решений, удовлетворяющих граничным условиям (1.28) и начальным Данным (1.21). Тогда, составляя разность решений и осуществляя

59

преобразование к функционалу вида (1.15), будем иметь соотно­ шения (1.14) с условиями

Если к условиям (1.30) добавить еще предположения, что коэффи­ циенты системы уравнений (1.12) удовлетворяют условиям

то отсюда следует, что поверхностный интеграл в правой части (1.17) обращается в нуль, и мы приходим снова к соотношению (1.23), из которого следует единственность. Таким образом, условия (1.20), (1.28) обеспечивают системе уравнений (1.12), (1.16) единотвенное решение при задании данных на «жидкой» поверхности.

Необходимо, однако, отметить, что из теории дифференциальных уравнений следует возможность задания /х и /2 в (1.28) произволь­ ными только на той части контура а, где поток частиц направлен внутрь области D. В остальной части а эти функции определяются

Таким образом, имеем следующие граничные условия:

s f = h

Здесь 2 — твердая часть поверхности S , о — «жидкий контур», выделенный из области Мирового океана, а по — часть плоскости

«0