книги из ГПНТБ / Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана

Сравнивая соотношения (1.10) и (1.11), приходим к оценке нормы оператора шага

Этим фактом мы воспользуемся в дальнейшем при рассмотрении различных приложений.

Аналогично предыдупз;ему можно показать, что в данном случае

II Ті || = 1.

Рассмотрим теперь вопрос об аппроксимации схемы Кранка — Николсона в условиях зависимости оператора А от времени. С этой целью оператор Т‘ разложим по степеням параметра т. Тогда будем иметь

где (ф)/ — проекция точного решения задачи (1.1) на сетку Dx. Далее

-введем в рассмотрение норму, удобную для оценки аппроксимации оператора Я:

Для оценки нормы (1.16) решение исходного уравнения (1.1) раз­ ложим в ряд Тейлора, тогда будем иметь

21

Подставим далее (1.19) в (1.16). Тогда с учетом (1.15) получим

И(Я(рУ— Н{ (ср)/ \\с^ = max || А! (ср)' — А>(ф)' +

и мы имеем первый порядок аппроксимации. Заметим, что в частном случае, когда А не зависит от t, аппроксимация в форме (1.21) обес­ печивает второй порядок по т.

Предположим теперь, что аппроксимирующий оператор А 1выбран

Вэтом случае будем иметь

II(ЯФУ— Я( (фУ ||с, — О (т2).

Отметим, что аппроксимация схемой Кранка — Николсона также

В различных приложениях, особенно при численном решении квазилинейных уравнений, применяется одна из трех описанных

•форм аппроксимации оператора А (1.22), (1.23) или (1.24), обеспе­ чивающих второй порядок точности.

2.2. НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭВОЛЮЦИОННОГО ТИПА

В предыдущем параграфе были рассмотрены однородные уравне­ ния. Рассмотрим теперь неоднородные уравнения

4 г + ^ = / ’

22

Разностная аппроксимация задачи (2.1) на основе схемы Кранка — Николсона имеет вид

ф/+1- ф ' + Л/ Ф/+1 + Ф; = ^ 2 2

( . )

9 ° = ? ,

где

Р = tit i+'и)-

Нетрудно убедиться, что разностная задача (2.2) аппроксимирует (2.1) со вторым порядком по т. Запишем формальное решение задачи (2.2) на каждом интервале

В предыдущем параграфе в случае однородного уравнения было

Естественно, что эта оценка нормы оператора не зависит от правой части /. Поэтому она имеет место и в данном случае. Из уравнения

и, следовательно, с учетом (2.4) и (2.7) неравенство (2.5) преобра­ зуется к виду

Таким образом, соотношение (2.9) устанавливает устойчивость разностной схемы. Кроме того, это соотношение является априорной оценкой нормы решения.

2.3. МЕТОДЫ РАСЩЕПЛЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ

Во многих случаях, когда требуется решить сложную задачу математической физики, оказывается возможным свести ее к после­ довательному решению задач более простых, эффективно решае­ мых с помощью ЭВМ. Редукция сложных задач к более простым

23

возможна в тех случаях, когда исходный положительно полуопределенный оператор задачи представим в виде суммы положительно полуопределенных простейших операторов. Такие методы мы будем называть методами расщепления. Методы расщепления нестацио­ нарных задач начали свое развитие с работ Дугласа, Писсмана, Рэчфорда и затем нашли существенное развитие в исследованиях советских математиков К. А. Багриновского и С. К. Годунова, Н. Н. Яненко, А. А. Самарского, Е. Г. Дьяконова, В. К. Саульева, Г. И. Марчука. Первоначально методы расщепления формулиро­ вались и теоретически обосновывались для простейших задач с ком­ мутирующими положительно определенными операторами. Как те­ перь стало ясным, для таких задач методы расщепления, введенные в рассмотрение различными авторами, по существу оказались либо эквивалентными и отличающимися только схемами реализации, либо близкими. Поэтому мы не будем персонализировать эти методы, ставшие уже почти классическими, а за деталями алгоритмов ото­ шлем читателя к оригинальной литературе. В дальнейшем круг нетривиальных задач, решаемых с помощью методов расщепления, существенно расширялся, и к настоящему времени методы расще­ пления стали уже мощным математическим аппаратом решения весьма сложных задач математической физики. Поскольку теория методов расщепления особенно полно разработана в том случае, когда исходный оператор задачи представим в виде суммы двух более простых, то именно с рассмотрения этого случая мы начнем изложение методов расщепления.

Несмотря на большое разнообразие методов расщепления, ряд из которых мы приводим ниже, наиболее универсальным и общим для приложений является, по нашему мнению, метод покомпонент­ ного расщепления. Это обстоятельство, мы надеемся, будет учтено читателем при изучении материала данной главы. Что касается других методов, изложенных ниже, то они носят скорее методический характер.

Итак, рассмотрим эволюционное уравнение

Предположим далее, что решение задачи (3.1) обладает необходимой гладкостью. Переходим к рассмотрению методов покомпонент­ ного расщепления, предполагая, что задача (3.1) уже редуцирована к разностному виду и, следовательно, операторами А , А х и А г являются матрицы.

24

Аа ~ Аа (tj+1/2)

в предположении, что элементы этих матриц имеют достаточную гладкость. Сформулируем разностную систему уравнений, пред­ ложенную Н. Н. Яненко, состоящую из последовательного решения простейших схем Иранка — Николсона 1

Система разностных уравнений (3.4) при исключении вспомога­ тельной функции ср'*'/г может быть приведена к одному уравнению

Изучим сначала проблему аппроксимации. Для этой цели раз­

Таким образом, если A 1 (t) ^ 0, А 2 (t) ^ 0, то при достаточной гладкости элементов этих матриц и решения <р задачи (3.1)—(3.3) разностная схема (3.4) абсолютно устойчива (это сразу следует из справедливого, согласно лемме Келлога, неравенства || || < 1) и аппроксимирует исходное уравнение (3.1) со вторым порядком по т в случае, если Л{ и А[ коммутативны, и с первым порядком, если они

в докладе на симпозиуме по численным методам реш ения уравнений с частными производными, состоявш емся в США в 1970 г. (SY N SPA D E -197Q ).,

2Г>

Рассмотрим следующие две системы разностных уравнений:

Цикл вычислений состоит именно в поочередном применении разностных схем (3.9), (3.10). Аналогично предыдущему можно показать, что на полном цикле вычислений с помощью (3.9) и (3.10) имеем

где

(3.12)

Если оператор шага Tj сравнить с оператором шага следующей схемы Кранка — Николсона:

то мы устанавливаем, что с точностью до величины т2 оператор шага Ті для двуциклической схемы расщепления совпадает с опера­ тором шага для схемы Кранка — Николсона, примененной к удвоен­ ному интервалу по времени, независимо от того, являются операторы А а коммутативными или нет. Таким образом, этот прием снижает существенное ограничение о коммутативности операторов.

Переходим к обсуждению вопроса о счетной устойчивости метода. С этой целью рассмотрим соотношение (3.5) и оценим его в энерге­ тической норме

Если рассматривается двухциклический метод, то на каждом шаге цикла имеют место оценки вида (3.14). Это значит, что и двуцикли-

26

веский метод абсолютно устойчив. Отметим, что аналогичный прием симметризации был независимо предложен Стренгом при рассмо­ трении метода переменных направлений.

Следовательно, если матрицы А х (і) ^ 0 и А 2 (t) ^ 0, то при достаточной гладкости решения ф задачи (3.1)—(3.3) и элементов матриц А г (t) и А 2 (t) системы разностных уравнений (3.9) и (3.10) абсолютно устойчивы, и схема (3.11) аппроксимирует исходное уравнение (3.1) со вторым порядком точности по т.

Переходим теперь к рассмотрению неоднородной задачи и на­ хождению ее решения с помощью двуциклического полного рас­ щепления. С этой целью рассмотрим систему разностных уравнений

С помощью разложения по степеням малого параметра т выраже­

27

Соотношение (3.24) подставим в (3.21), в результате будем иметь

Очевидно, что уравнение (3.25) аппроксимирует исходное уравне­ ние (3.1) на интервале tj- i sg t sg tj +1 со вторым порядком по т. Таким образом, нами найдена разностная аппроксимация неодно­ родного эволюционного уравнения второго порядка с помощью двуциклического метода.

Устойчивость метода доказывается в энергетической норме эле­ ментарно. В самом деле, оценим (3.17) по норме

II / 1| = ш а х I I//| .

Из соотношения (3.28) следует счетная устойчивость схемы на любом конечном временном интервале.

Систему уравнений (3.16) можно записать также в следующей эквивалентной форме:

( £ + | А{) Ф/-Ѵ. = [е - \ А[) Ф'-і,

2S

С помощью исключения неизвестных величин с дробными инде­ ксами приходим к разрешенному уравнению вида

Ф,+1 = + 2xTJ.fl, (3.30)

которое совпадает с (3.17). В некоторых случаях запись уравнений

До сих пор предполагалось, что исходный оператор А предста­ влен в виде суммы двух операторов более простой структуры. При решении сложных задач математической физики зачастую прихо­ дится иметь дело с расщеплением операторов на большее число компонентов. В общем случае мы имеем

Прежде всего можно убедиться, что тривиальное распространение методов расщепления, рассмотренных выше для случая п = 2, оказывается в общем виде вообще невозможным. Поэтому мы поста­ вим перед собой цель распространить алгоритмы покомпонентного расщепления на этот случай в тех предположениях, которые допу­ скают такое распространение.

Попытаемся построить разностный аналог задачи второго по­ рядка аппроксимации по т и абсолютно устойчивый во времени. В соответствии с предположением о многокомпонентном расщеплении будем полагать, что

где все А'а — положительные полуопределенные операторы, так что

и имеет второй порядок аппроксимации. Это установить довольно просто с помощью метода Фурье-!'' Однако для некоммутативных

29

операторов AL как легко заметить, схема (4.3) будет, вообще говоря, первого порядка точности по т и поэтому менее интересна для при­ ложений, чем следующая схема второго порядка аппроксимации, предложенная Е. Г. Дьяконовым:

ф / + ^ г = — ф 1 + ~ ( а = 1 , 2

( я -f-b ЛІ„_а+1')Ф /+ 17Г = Ф;+ ’17Г (а = п + 1 , п + 2, . . ., 2га). (4.4)

В дальнейшем мы попытаемся определить специальную конструк­ цию метода полного расщепления на основе (4.3), которая дает реше­ ние задачи Коши для положительно полуопределенных и некомму­ тативных операторов А« и обладает вторым порядком аппроксима­ ции. В сущности, это является в известном смысле окончательным

решением проблемы расщепления.

Заметим, что система уравнений (4.3) сводится к одному уравне­ нию вида

а- і

Спомощью (4.5) найдем оценку по норме

Таким образом, абсолютная устойчивость этой схемы доказана. Для того, чтобы определить порядок аппроксимации, разложим

по степеням малого параметра т ^выражение ^полагая у ||Л а||< 1)

г ' = п ( £ + т л 0 " ‘ ( £ ~ і л “) -

Поскольку

Т>= П Ц ,

а = 1

то сначала разложим в ряд оператор Tfa. Тогда получим

3(1