книги из ГПНТБ / Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана

В результате будем иметь

В случае когда операторы Л« коммутативны, выражение, стоящее под знаком двойной суммы, обращается в нуль, и мы имеем

Кранка — Николсона, убеждаемся, что в этом частном случае схема (4.3) имеет второй порядок аппроксимации по т. Если операторы Л'а некоммутативны, то схема расщепления оказывается только первого порядка точности по т. Для того чтобы построить схему второго порядка точности по т в некоммутативном случае, необходимо схему (4.3) видоизменить, заменив следующей:

.Алгоритмически это означает, что сначала решается система урав­

из аналогов, приведенных в (1.22)—(1.24). Это следует из сопоста­ вления с (3.13) для удвоенного интервала времени.

В заключение заметим, что разностная система (4.13) оказы­ вается абсолютно устойчивой для Л« ^ 0. Следовательно, мы при­ шли к оптимальному в известном смысле алгоритму многокомпонент­ ного расщепления.

31

Для неоднородного уравнения

Нетрудно убедиться, что эта схема имеет второй порядок аппрокси­ мации по т и абсолютно устойчива в предположении необходимой гладкости ф.

Так же как и в случае а = 2, «-компонентную систему уравне­

Рассмотрим теперь метод расщепления для неявных разно« тных' аппроксимаций. С этой целью рассмотрим задачу

Ж ЛА Ф = '0 ’

32

Покажем, что такой алгоритм является абсолютно устойчивым.

( 4 4 4 ^ ) « = i [ ( 4 4 4 * ) + ( 4 ^ . 4 ^ ) ] ,

то

А это значит, что при сделанных предположениях счет по схеме расщепления (4.18) будет абсолютно устойчивым.

Нетрудно убедиться, что система (4.18) аппроксимирует исход­ ную задачу с первым порядком точности по т.

Рассмотрим теперь неоднородную задачу

Схему расщепления для этой задачи представим в виде

Ф/ + п —фУ

Т+ -4іф/+ " = 0,

Такая схема расщепления аппроксимирует исходное неоднородное уравнение с точностью до величин первого порядка по т.

Устойчивость схемы докажем следующим образом. Умножим

Что касается последнего уравнения из (4.22), то его рассмотрим более подробно. После указанной процедуры имеем

(tp'+i, фМ) = (ф,+ п t ф'11) — х(Лпц)і+1, Ф,Ч1) + т(/', ф/+1).

Учитывая, что А п ^ 0, получим

(ф/+1, ф/+1) (,фУ+ п , ф,+1) ; Т (fi, ф/+1)-

Используя известное неравенство Коши — Буняковского, получаем

Сокращая на || ф/+11|, приходим к следующему неравенству:

Исключая решения с дробными индексами, будем иметь

Учитывая, что

ІІФ°!=Ы.

34

с помощью исключения промежуточных значений решения получим

где

I/ 1= max Iр ||.

/

Отсюда следует абсолютная устойчивость разностной схемы для любого момента времени из интервала

зависимости оператора А. В этом случае в цикле вычислений по схеме расщепления вместо А следует принять подходящую разное стную аппроксимацию этого оператора на каждом интервале tj =g: '5с t s::;: tj+1.

Рассмотрим далее эволюционную задачу с оператором А, зави­ сящим от времени и самого решения квазилинейной задачи,

Относительно оператора А (t, ф) предположим, что он неотри­ цателен, аддитивен

А а (t, ір ) ^ 0 и обладает достаточной гладкостью. Предположим далее, что решение ф также является достаточно гладкой функцией времени. Рассмотрим на интервале tj_1 ^ t sg tj+1 схему рас­ щепления

где

A I = A $ , tj),

Методами, изложенными выше для линейных операторов, зави­ сящих только от времени, несложно доказывается, что схема рас­ щепления (4.28) при условии (4.29) имеет второй порядок аппрокси­ мации по т и абсолютно устойчива. Аналогичным образом опре­ деляется метод расщепления для неоднородных квазилинейных уравнений. Этот факт открывает широкие возможности применения схем покомпонентного расщепления к решению нестационарных квазилинейных задач гидродинамики, метеорологии, океанологии и других важных областей.

2.5. ОБЩИЙ ПОДХОД К ПОКОМПОНЕНТНОМУ РАСЩЕПЛЕНИЮ

При решении многих задач математической физики возникает необходимость расщепления исходных дифференциальных, интег­ ральных или интегродифференциальных уравнений на более простые с последующей редукцией их к разностной форме на основе изло­ женных в настоящей главе алгоритмов. Этот вопрос тесно связан с проблемой слабой аппроксимации исходных уравнений уравне­ ниями более простой структуры, которые в конечном итоге приводят к схемам расщепления. Вопрос о слабой аппроксимации в связи со схемами расщепления был поставлен в работах А. А. Самарского,

Н. Н. Яненко и Г. В. Демидова, В. И. Лебедева и нашел развитие

висследованиях многих авторов. Этот вопрос и будет предметом нашего рассмотрения. Итак, пусть мы имеем некоторую задачу математической физики

36

При этом обозначено

Ранее было доказано, что если к каждому из уравнений при­ менить схему Кранка — Николсона, то приходим к системе разно­ стных уравнений второго порядка аппроксимации:

на внешнюю эквивалентность этих подходов во многих случаях оказывается целесообразным сначала разложить сложную задачу математической физики на более простые задачи, которые в даль­ нейшем удобно независимо друг от друга сводить к разностным задачам. Рассмотрим систему (5.3) и с учетом (5.7) расщепим ее на еще более элементарные

Нетрудно видеть, что система расщепленных уравнений (5.8) аппроксимирует исходную задачу (5.1) с точностью до величин второго порядка по т, если операторы А ар коммутативны. Доказа­ тельство такого утверждения основано на том, что с учетом (5.2)

37

и (5.7) можно изменить упорядочение компонентов расщепления, записав

со вторым порядком точности по т. Этот результат остается в силе и в том случае, когда А ар зависят от времени. В этом случае необхо­

торы Лір некоммутативны, то методом двуциклической процедуры, описанной в 1.4, приходим к разностной схеме второго порядка точности на каждом интервале t;-_ г ^ t sg tj +

Резюмируя изложенное, можно утверждать, что если эволюцион­ ную задачу вида (5.1) при условии А а ^ 0 свести к частным задачам эволюционного типа (5.3) и затем рассматривать их как набор новых эволюционных задач, то, если хотя бы одна из элементарных эво­ люционных задач редуцируется к разностным схемам первого по­ рядка точности, тогда и аппроксимация исходной задачи (5.1) будет первого порядка точности по т. Если же каждая из таких задач имеет аппроксимацию второго порядка, то в рамках двухциклической про­ цедуры по а и ß приходим к аппроксимации второго порядка по т. Заметим, что если операторы Аа$ некоммутативны, то без двуцикли­ ческой процедуры мы приходим к аппроксимации задачи (5.1) с пер­ вым порядком точности. В самом деле, рассмотрим случай некоммути­

38

Начальные условия для решения каждой из систем (5.12') берутся соответственно в виде

Нетрудно проверить, что задача (5.12') аппроксимирует на интервале tj ^ t sg tj +1 любую из задач (5.11) с точностью до т.

Для того чтобы весь алгоритм приводил к решению задачи (5.1) с точностью до т2, необходимо, кроме того, чередовать и основные

При этом предполагается, что каждая из задач из (5.14) и (5.15) решается с помощью двуциклического метода вида (5.12). Заметим, что при условии Аа$ 5 =0 метод покомпонентного расщепления является абсолютно устойчивым.

В заключение приведем общую схему расщепления для неодно­ родного уравнения

Рассмотрим схемы слабой аппроксимации в дифференциальной форме.

39

40