книги из ГПНТБ / Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана

В дальнейшем нам потребуется лемма Келлога, которая утвер­

В том случае, когда матрица А ограничена и положительна, вместо (2.10) будем иметь при о > 0

Оба утверждения (2.7) и (2.10) доказаны нами для случая, когда А — матрица. Они также оказываются справедливыми и для опе­ раторов в гильбертовых пространствах. В этом случае только нужно уметь доказывать свойство замкнутости оператора, которое по суще­ ству требуется для полного доказательства утверждений.

1.3. АППРОК

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫМИ

Предположим, что фи — значения функции <р в точках (хк, yt), равномерно покрывающих область D с шагом h так, что хк +1 —

— хк -f- h, уI+ X = Уі + h и границы области совпадают с коорди­ натными линиями. Назовем точки хк, yt узлами сетки, их множе­ ство — сеткой и h — шагом сетки. Область определения сеточных функций (так принято называть функции, заданные в узлах сетки) обозначим через Dh, граничные точки — через dDh, а множество сеточных функций фАобозначим Фл. Таким образом, каждой функ­ ции ф 6 Ф сопоставляется сеточная функция, которую обозначим (ф)Л, по правилу: значение (ср)л в узле (хк, yt) равно ф (xk, г/,). Ука­ занное сопоставление является линейным оператором, действующим из подпространства Ф в ФЛ(сеточных функций на Dh), который ко­ ротко называют проектированием функции ф на сетку или проекти­ рованием подмножества Ф на сетку.

И

Рассмотрим некоторую задачу математической физики в оператор­ ной форме

Здесь ради простоты предполагается, что функции множества Ф удовлетворяют некоторым однородным граничным условиям, на­ пример условиям Дирихле.

Наряду с уравнением (3.1), рассмотрим аналогичное уравнение

Введем в рассмотрение норму вектора в сеточных простран­ ствах Fh, Gh, ФЛ. Далее обозначим (Éj)ft — вектор, являющийся проекцией функции | на соответствующую сеточную область. Будем говорить, что задача (3.2) аппроксимирует задачу (3.1) с порядком п на решении ф, если

Рф )л - Ah(ф)Лу, 4 ss Myh\

где Mt — некоторые не зависящие от h константы.

Напомним еще раз, что A h — сеточный оператор, аппроксимиру­ ющий исходный оператор А в узлах сетки. Он определен на сеточных функциях фЛ. В частности, он также определен на (ф)А— проекции решения исходной задачи (3.1) на сеточную область. Это значит, что имеют смысл как операция A hq>h, так и A h (ф)Л. С другой сто­ роны, на ф ( Ф действует оператор А, а следовательно, определена функция Дф в области D ; спроектировав ее на сетку, находим сеточ­ ную функцию (Atp)h. Разность этих сеточных функций ((^4ф)А— ЛА(ф)Л) и фигурирует в первой из формул (3.3). Далее берется норма этой разности в пространстве FЛ.

В тех случаях, когда решение задачи (3.1) обладает достаточной гладкостью, порядок аппроксимации удобно находить с помощью нормы, естественной для пространства непрерывных и дифференци­ руемых функций. С этой целью обычно пользуются разложением

примере конкретной задачи.

Итак, в результате проведенной редукции и с учетом требуемой аппроксимации, задача с непрерывным аргументом (3.1) приводится к задаче линейной алгебры. Дальнейшая задача состоит в решении системы алгебраических уравнений.

12

В качестве исходной теперь рассмотрим эволюционную задачу

где для простоты предположим, что А не зависит от времени. Пусть требуется произвести аппроксимацию задачи (3.4) по времени. С этой целью разобьем интервал 0 ^ t ^ Т на элементарные tj sg t ^ £J + 1 так, что tl +1 — tj = т и в пределах каждого элементарного интер­ вала рассмотрим одну из двух следующих аппроксимаций:

Если решение исходной задачи (3.4) обладает достаточной глад­ костью, то методами разложения решения в ряд Тейлора с последу­ ющей подстановкой результата в (3.5), (3.6) нетрудно убедиться, что мы имеем дело с разностными схемами первого порядка аппроксима­ ции по т на каждом из элементарных интервалов tj ^ t ^ tl +1.

Наряду со схемами (3.5), (3.6) введем в рассмотрение схему Кранка — Николсона

Нетрудно убедиться, что схема (3.7) при условии (3.8) имеет вто­ рой порядок точности по т. Она играет большую роль в формировании численных алгоритмов решения задач математической физики.

1.4. СЧЕТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ

Переходим теперь к понятию счетной устойчивости разностных схем. Мы не будем стремиться к возможной общности определения, поскольку нас в основном будут интересовать простейшие алго­ ритмические подходы к анализу качества разностных схем, аппро­ ксимирующих задачи математической физики. Различные аспекты теории устойчивости и важные обобщающие результаты содержатся в ряде работ, приведенных в библиографии. В дальнейшем будем снова рассматривать эволюционную задачу вида (3.4).

13

Для выяснения основных определений и понятий теории устойчи­ вости рассмотрим сначала явную разностную схему

Предположим, что оператор А аппроксимирует А и порождает полный набор собственных функций {ип} и набор собственных чисел > 0}, соответствующий спектральной задаче

Аи = Хи.

Введем в рассмотрение следующие ряды Фурье:

и*п — собственные функции сопряженной спектральной задачи. Под­ ставим (4.2) в (4.1) и результат скалярно умножим на и*. Тогда приходим к выражениям для коэффициентов Фурье

Решение задачи (4.3), (4.4) получим рекуррентным исключением неизвестных. В результате будем иметь:

Из равенства (4.5) следует, что (т > 0)

I ¥п I ^ I rnI7I 8п| + Т 2 К \Н Iрп1|.

14

Джон Нейман ввел в рассмотрение так называемый спектральный критерий устойчивости, смысл которого состоит в следующем. Если

^ Т, то разностная схема (4.1) объявляется счетно устойчивой. Посмотрим, какие условия достаточно наложить на параметры разностной схемы (4.1), чтобы выполнялось соотношение (4.8). Анализ соотношения (4.7) показывает, что критерий устойчивости (4.8) будет выполнен, если на параметр гп наложить ограничение

кя | <51, (га = 1, 2, . . .).

Предположим, что спектр оператора Л расположен в интервале

Соотношение (4.9) и будет конструктивным условием устойчивости разностной схемы (4.1).

Заметим, что условие (4.9) является достаточным условием устой­ чивости, причем схема остается устойчивой и при

2

ТР (Л) •

Вэтом случае, очевидно, соотношение (4.5) перейдет в следующее:

Но /т ^ Т, где Т фиксировано. Это значит, что при малом т рас­ сматривается большое число шагов / и при т 0, / -*■ оо, но так, чтобы верхняя граница временного интервала Т оставалась фикси­ рованной. Тогда при таком подходе снова приходим к схемам, устой­ чивым по Нейману.

Рассмотрим теперь другие разностные схемы, основанные на неявных разностных аппроксимациях. В случае неявной схемы

15

получим выражение, аналогичное (4.7)

”1 + тА„ (Л)

Очевидно, что для данной разностной схемы при Кп (Л) > 0 имеет место устойчивость при любом значении т >• 0, поскольку

ІО*| < 1 (п = 1, 2, .. .)•

Устойчивость в этом случае будем называть абсолютной устойчи­ востью.

Аналогичным образом можно установить абсолютную устойчи­ вость по Нейману схемы Кранка — Николсона

фМ-і— ф/ ^ А Ф/+1+ Ф ' = р

(4.13)

где

Р= І (^Z+'/J'

Вэтом случае оценка для коэффициентов Фурье решения имеет

вид

при любых т > 0, если Л„ (Л) > 0.

Следует подчеркнуть два важных обстоятельства. Во-первых, необходимо отметить, что устойчивость по Нейману основана на анализе спектра оператора задачи. Это значит, что при таком подходе вычисление максимального собственного числа задачи или его оценка сверху является необходимым элементом алгоритма. Во-вторых, спектральный критерий устойчивости устанавливает устойчивость решения по отношению к каждой гармонике ряда Фурье, но иногда ничего не говорит об устойчивости решения в энергетической норме. А между тем норма решения <р' зачастую оказывается единственной характеристикой решения задачи. Все это побудило исследователей дать иные определения устойчивости, связанные с нормами опера­ торов задачи. Вместе с этим следует подчеркнуть, что до сих пор анализ устойчивости по Нейману играет исключительную роль в приложениях.

16

Переходим теперь к более общему определению понятия счетной устойчивости. С этой целью рассмотрим эволюционную задачу (3.4), которая аппроксимируется разностной задачей

Будем говорить, что разностная схема (4.16) устойчива, если

зависят от т, h, g и /.

Определение счетной устойчивости тесно связано с понятием корректности задач с непрерывным аргументом. Можно сказать, что счетная устойчивость устанавливает непрерывную зависимость реше­ ния от входных данных в случае задач дискретного аргумента.

В самом деле, пусть в качестве входных данных задачи (4.16) выбраны

/ “ /*. g = g*-

Получим некоторое решение (4.16), которое обозначим ф*. Далее, в качестве входных данных выберем

/ = /* + £» £ = £* + б.

Новое решение обозначим ф ^ , тогда для разности решений

в ~ ф* Ф**

будем иметь следующую задачу:

е/и = 7Ѵ + т56/,

е° = б.

При этом условие устойчивости примет вид

||е/+ЧІФ*^С1||б ||0д + С ,||5 /||,д.

Отсюда следует, что малым вариациям входных данных / и g соответ­ ствуют малые вариации решения ф.

Легко видеть, что определение устойчивости в форме (4.17) уже связывает само решение с априорными сведениями о входных данных задачи. Такое определение более удобно для анализа устойчивости многих задач, чем определение устойчивости по Нейману, хотя и ме­ нее информативно. С этой точки зрения рассмотрим устойчивость схемы (4.1). Для этого перепишем это уравнение в форме

ф/+1 = Уф/ -j_ x f, Ф° = £ ,

где

Т = Е — тА.

2 Заказ 674

Г л а в а 2

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ

В настоящей главе будут рассмотрены методы решения неста­ ционарных задач математической физики. Основное внимание будет уделено решению сложных задач и редукции их к более простым на основе метода конечных разностей. В качестве основного объекта исследования будет рассматриваться эволюционная задача матема­ тической физики

■Ц--Мф = /,

где А ^ 0, а решение ф, функции / и g обладают необходимой глад­ костью. Будем предполагать, что на границе области решение задачи удовлетворяет некоторым однородным граничным условиям.

Нетрудно проверить, что при достаточной гладкости решения задача (1.1) аппроксимируется приближенной задачей (1.2) со вторым поряд­ ком точности по т. Любопытно отметить, что схема (1.2) является результатом попеременного применения схем первого порядка точ­ ности, явной и неявной, записанных для интервалов t, ^ t £/+»/,

приходим к схеме Кранка — Николсона.

Предположим теперь, что оператор А зависит от времени и в за­ даче (1.1) аппроксимирован разностным. В этом случае под решением задачи ф будем понимать вектор-функцию, компонентами которой являются приближенные решения в узловых точках пространства,

где

(1. 8)

— оператор шага.

Для доказательства счетной устойчивости можно и не оценивать норму оператора шага Т1. В самом деле, воспользуемся уравнением

т. е. устойчивость схемы обеспечена. Одновременно с (1.10) рас­ смотрим оценку по норме, непосредственно вытекающую из равен­

20