книги из ГПНТБ / Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана

в точке х0, где она равна ф0 = а. Тогда естественной аппроксимацией производной будет

априорной информации о граничных условиях, которым удовлетво­

111

где

Если на одном конце интервала а; = жо задано условие Дирихле

ф (хо) = а, а на другом — условие Неймана ^2 = Ь при х =

— x’k*, то разностная аппроксимация второй производной примет вид

и при других комбинациях граничных условий. Поясним здесь лишь некоторые принципы и обозначения, связанные с такими аппроксимациями. Нижний индекс к указывает на аппроксимацию по координате х на сетке {xk}. Аналогичные аппроксимации узло­ вых производных по у и г будут отмечаться индексами I и т соот­ ветственно. Верхние индексы обозначают тип краевой задачи в по­ рядке возрастания индекса. Так, индексом 1 отмечается граничное условие Дирихле (условие первого рода), а индексом 2 — условие Неймана (условие второго рода). Отметим, что если разностная

В заключение важно условиться о том, что неоднородные гра­ ничные условия при переходе от дифференциальных выражений к раз­ ностным приводят к появлению дополнительных источников в со­ ответствующих разностных уравнениях. Не будем их описывать

№

детально, а все такие источники вместе с другими объемными источ­ никами, входящими в исходные дифференциальные уравнения, объ­ единим в виде единых для каждого уравнения сеточных функций. Это упростит наши рассмотрения и позволит сосредоточить внима­ ние на существе дела.

С учетом введенных выше обозначений задача (2.4), (2.5) в раз­ ностной форме примет вид:

Р Aft’,1;и + lv = — yip,

Р

Р A\\\iv — Zu = 4ytp,

Р

SP — VmPi

УІи + y7v + УmW= О,

где С — сеточная функция, порожденная источником у в гранич­ ных условиях. Индексы к, I и т при неизвестных для простоты опущены. Здесь и всюду в дальнейшем мы будем пользоваться сле­ дующим обозначением:

Это позволяет задачу (4.1), (4.2) упростить, исключив из рассмот­ рения величины р и w с помощью соотношений

В (4.3) и (4.4) индексом т обозначен уровень океана, для кото­ рого записана система уравнений.

Можно показать, что как задача (4.1), (4.2), так и задача (4.4) допускают единственное решение. Метод доказательства теоремы единственности принципиально ничем не отличается от рассмотрен­ ных ранее задач в дифференциальной постановке.

Рассмотрим теперь более полную модель (3.1), (3.2). Тогда для баротропной составляющей будем иметь разностный аналог задачи

(3.7), (3.7').

М+ Іѵ= — ytp -г а,

Р

ц А{ ’\ ѵ — lu — ~ y f p -j- Ъ,

где а и b — заданные сеточные функции, порождаемые источниками в уравнениях системы (3.7).

Для бароклинной составляющей получим аналог задачи (2.16), (2.17) в виде

Здесь a, 6 и с — источники, порождаемые неоднородностями в гра­ ничных условиях и уравнениях.

Сучетом выражений (4.3) систему уравнений (4.6) преобразуем

квиду

Так же как и в простейшей модели, аппроксимация в форме (4.6) или (4.7) не нарушает определенности соответствующих операторов и гарантирует единственность решения задачи.

114

4.5. И ТЕРА Ц И О Н Н Ы Е ПРОЦЕССЫ РЕШ Е Н И Я РА ЗНО СТН Ы Х У РА В Н ЕН И Й Д И Н А М И КИ Д Л Я БАРОТРОПНОЙ СОСТАВЛЯЮ Щ ЕЙ

Поскольку задача (4.1) является частным случаем задачи (4.5), (4.6), то сосредоточим внимание на решении этой более общей за­ дачи. Сначала рассмотрим задачу (4.5) и запишем ее в векторно­ матричной форме. С этой целью введем в рассмотрение матрицу и векторы

Тогда приходим к системе уравнений

Следует помнить, что ф и / зависят от к и I и операторное уравне­ ние (5.1) является на самом деле совокупностью систем линейных Уравнений для всех к и I. Введем в рассмотрение пространство элементов ф со скалярным произведением

где а, Ъ— некоторые два элемента, принадлежащие множеству {ф}. Нетрудно проверить, что в данной матрице имеет место положитель­ ность оператора А, т. е.

Это значит, что для решения уравнения (5.1) можно воспользоваться различными итерационными методами. Поскольку спектр опе­ ратора А в присутствии силы Кориолиса оказывается комплексным, то для решения уравнения (5.1) неприменим ни метод чебышевского ускорения, ни метод верхней релаксации. Наиболее естественно воспользоваться методом минимальных невязок в форііе

Здесь I/ — невязка итерационного процесса, определяемая соот­ ношением

Необходимо, однако, помнить, что задача (5.1) дает решение

единственное с точностью до р = const. Это значит, что после каж­ дой итерации по схеме (5.3) необходимо производить ортогонали-

Следует, однако, отметить, что сходимость итерационного про­ цесса (5.3) оказывается медленной, поэтому мы рассмотрим другой процесс, который является значительно более эффективным. Для того чтобы сформулировать этот процесс, необходимо несколько пре­ образовать исходные уравнения. С этой целью с помощью третьего

Далее, на первое из уравнений системы (5.1) подействуем оператором At, на второе — оператором At, вычтем одно выражение из дру­ гого и воспользуемся соотношением (5.6). Тогда приходим к урав­ нению для разностной функции тока

При такой редукции, кроме того, использовались два факта. Во-пер­ вых, предполагалось, что имеет место условие

являющееся следствием условий «прилипания» и (5.6). Во-вторых, при написании уравнения (5.7) было предложено, что выражения Акит и А;г; определены не только во всех внутренних точках области Dnr но и во всех граничных. Это^ оказывается, сделать возможно при условии нечетного продолжения функций и и ѵ на один шаг вне области Dh.

Уравнение (5.7) запишем в операторной форме

116

Если элементы а и &удовлетворяют условию (5.9), то имеют место’ легкопроверяемые соотношения

из которого непосредственно следует положительность разностногооператора А , т. е.

(Лф, tJ?)> 0.

Для решения уравнения (5.10) итерационный процесс метода

сходится уже гораздо быстрее, чем процесс (5.3), (5.4)

Для ускорения сходимости метода (5.17) целесообразно исполь­ зовать метод универсального алгоритма в следующей форме. Рас­ смотрим спектральную задачу

11Т

С помощью итерационного метода Люстерника найдем максималь­ ное ß и минимальное а (—AJ;1*) собственные числа задачи (5.20). После этого предложим следующую конструкцию итерационного процесса:

где

В = (Е -оА Ъ 1) ( Е - о А \’1),

Относительно а можно сделать следующее замечание. Итера­ ционная схема (5.21) слабо чувствительна к а, поэтому вместо точ­ ных значений границ спектра а и ß спектральной задачи (5.20) мы рассмотрим приближенные значения, полученные следующим об­ разом. Область определения решения вписывается в прямоуголь­ ник со сторонами о и б и вместо задачи (5.20) с реальной областью определения рассмотрим спектральную задачу, но уже с областью определения в форме прямоугольника. Тогда вместо а и ß найдем со­

ответствующие границы спектра а и ß для прямоугольника. Они находятся просто

8

ß= Л2 *

иэти значения можно принять для приближенного определения о

а = — ~- “Ь _

2п■V2 (o2-j- &2)

После этого задача подготовлена к решению на каждом итера ционном шаге с помощью метода быстрого преобразования Фурье2.

118

4 .6 . РЕШ ЕН И Е РА ЗНО СТН Ы Х У РА В Н ЕН И Й Д Л Я БА РО К Л И Н Н О Й СОСТАВЛЯЮ Щ ЕЙ ДИ Н А М И КИ ОКЕА НА

Перейдем теперь к рассмотрению бароклинной составляющей,, определяемой системой разностных уравнений (4.7), для чего введем в рассмотрение разностный оператор матричного вида и векторы

Тогда задача (4.7) запишется в операторной форме

Скалярное произведение определим следующим образом:

Вследствие положительной определенности оператора А решение задачи (6.1) будем находить с помощью метода минимальных невязок в форме (5.3), (5.4), сходимость которого обеспечена. Однако метод последовательных приближений можно ускорить, если рассмотреть более общий итерационный процесс. С этой целью сначала рас­ смотрим три спектральные задачи:

119>

и для каждой задачи найдем границы спектра. Пусть это будут а ь

При реализации алгоритма, как и в (5.22), параметр о можно находить с помощью более простой формулы

Ji = —/===^»

V щ • ß<

где а ; и ßt- — границы спектра соответствующих спектральных задач с областью определения параллелепипедом, описывающим D. При этом если минимальное собственное значение спектральной

задачи равно нулю, то в качестве а, следует выбрать наименьшее собственное число. Смысл введенных выше операторов С и R стано­ вится понятным из следующих рассмотрений. Наиболее существен­ ным в задаче (6.1) являются разностные аналоги операторов Лап­ ласа на классе функций, удовлетворяющих тем или иным граничным условиям. Поэтому если на соответствующий компонент решения действовать сглаживающим оператором (например, обратным к опе­ ратору Лапласа), то невязка итерационного процесса будет подав­ ляться по всей области сразу с учетом естественной для той или иной задачи области влияния.

4.7. М О ДИ Ф ИЦ И РОВАН НЫ Й И ТЕРА Ц И О Н Н Ы Й ПРОЦЕСС

Стремление к построению быстросходящихся итерационных ме­ тодов решения уравнений стимулировало появление других эффектив­ ных методов решения разностных уравнений динамики океана. В настоящем параграфе мы рассмотрим один из таких методов.

Рассмотрим сначала простейшую задачу динамики океана в форме (4.4) и ее решение будем искать с помощью следующего метода по-

120