книги из ГПНТБ / Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана

К этой системе уравнений присоединим граничные условия

Теперь запишем систему уравнений адаптации для отклонений

Т Г - ^ + І -fcj(«rr + ass*)* = 0,

кО

г

~0І~+ lu ’ -j- -i- J (атГ' -f- аа5*) dz — О,

в форме (2.14) — (2.23) с учетом условий (2.10) теоретически обо­ снован.

Опираясь на общие результаты § 2.3, можно утверждать, что если каждая из трех задач (2.14) — (2.16), (2.17) — (2.20) и (2.21) — (2.23) будет решена с помощью разностных методов по времени со вторым порядком точности, то метод расщепления приводит к резуль­ тирующей схеме также второго порядка точности. Абсолютная устойчивость схем расщепления следует из условий определенности операторов А а.

Сделанное выше предположение о целесообразности отфильтровывания звуковых волн не является принципиальным. Все последу­ ющие алгоритмы решения задач динамики океана очевидным обра­ зом обобщаются и на этот случай. Однако этот вопрос мы оставим для упражнений читателю.

Приступим теперь к численному решению расщепленных «эле­ ментарных» задач.

72

3 .4 . РА ЗНО СТН Ы Е СХЕМ Д Л Я У РА В Н ЕН И Й Д В И Ж Е Н И Я

Прежде чем переходить к построению разностных аппроксимаций для задач (2.14)—(2.23), введем в рассмотрение сетку. Поскольку граница области/) по предположению состоит из кусков координатных плоскостей, то при пересечении координатных плоскостей х = х к , У = уі и z = zm получаем набор основных узловых точек. Пред­ положим, что индексы к, I и та изменяются в Dh в пределах:

k°(l, т) s^k ^№ (1, т),

1° (к, т) sg I l1 (к, т),

т° (к, I) ^ m ^ m 1 {к, I).

При этом считается, что граничные точки, нумерация которых видна из неравенств для индексов, совпадают с границей dD области D . Совокупность таких точек обозначим dDh.

Введем в рассмотрение основные точки xk, yt, zm и вспомогатель­ ные хк+і/г, уі+і/г, zm+1/„ которые являются серединами основных интервалов, и обозначим

Далее переходим к рассмотрению задач (2.14)—(2.16). (Задача (2.21)—(2.23) может быть рассмотрена аналогично.) Поскольку все уравнения этих систем однотипны, то рассмотрим, например, такое уравнение 1

никаких требований, кроме условий необходимой гладкости, не накладывается, зато, как видно из (4.2), требуется выполнение неко­ торых условий для коэффициентов уравнения — компонентов век­ тора и1.

Уравнение (4.1) аппроксимируем по пространственным перемен­

73

а ф ■-вектор-функция с компонентами {ф*, і,т}> определенными в Dh, \ а — матрицы такие, что компонентами векторов Лаф явля-

каждого интервала, непосредственно примыкающего изнутри к гра­ нице области. Совокупность этих точек обозначим дЦЦ«. Тогда имеем

где суммирование проводится по всем внутренним точкам области Dh.

Если теперь разностные аналоги уравнений (2.14) и (2.21), по­ строенные с помощью изложенного выше алгоритма, умножить соот-

вать с элементами объемов Axk, Ayt, Azm по всем внутренним точкам

74

и вследствие условия (4.6) подготовлена к расщеплению на эле­ ментарные. Поскольку матрицы Ла некоммутативны, для расщепле­ ния применим двухциклический метод покомпонентного расще­ пления.

Тогда имеем первый цикл

Следует отметить, что вычислительную работу можно несколько уменьшить, если последнее уравнение из (4.9).объединить с первым Уравнением из (4.10), записав эти две задачи в виде одной

Последовательное решение уравнений (4.9), (4.10) позволяет нолучить решение задачи (4.3) со вторым порядком точности по от­ ношению к % (см. 2.3). В результате мы приходим к разностной схеме, аппроксимирующей уравнения движения со вторым по­ рядком точности по т, абсолютно устойчивым на интервале £;-_!

к; t sr tj\

(ßcpl, фі) — (Всрі-'І1, ф1~‘/«) = . . . = (5ф/_,/‘, «pl-5''*) = (ßcp,_1, ф'-1).

Если пространственная сетка равномерна, то мы приходим к схеме второго порядка точности и по Ах, Ау и Az.

ПО ПРОСТРАНСТВЕННЫ М П ЕРЕМ ЕН Н Ы М

Переходим к разностной аппроксимации задачи адаптации физи­ ческих полей, несколько рассогласованных после решения уравнений переноса субстанций вдоль траекторий на первом этапе расщепления.

75

Для решения задачи (2.17)—(2.20) сначала проведем аппрокси­ мацию по пространственным переменным. С этой целью область D

где хр — любая из координат {xk, yt, zm}. Эти операторы связаны зависимостью

ѴрФ = Ѵр-іФ-

Рассмотрим теперь следующую аппроксимацию задачи (2.17)—

(2.20):

— Plv + vtp= °*

P-jr + Plu + ViP = 0’

VmP — g (а тТ + asS) = 0,

Vft“ + ѴГу + VmW = 0,

при условии, что нормальные к границе dD компоненты вектора скорости в точках дDh обращаются в нуль, т. е.

Здесь и в дальнейшем индекс «2» при компонентах решения будем опускать.

Изучим теперь свойства решений задачи (5.1), (5.2). С этой целью прежде всего умножим уравнения системы (5.1) соответственно на u8D +, v8D +, w8D +, p8D~, T8D +, S8D +, где

6£>+ = Aaifi/, AyM//Az*+,/s,

[6Z?- = AaU/JAp,../, A4_./„

результат сложим и просуммируем по всем индексам из Dh с учетом условий (5.2). Тогда нетрудно получить

76

Здесь вектор-функция ф — решение задачи (5.1), (5.2), с компо­ нентами {и, V, w, р, Т, 5} в точках Dh, а В — матрица, определен­ ная в (2.4). К сожалению, скалярное произведение в (5.3) определено несколько иначе, чем при изучении разностных уравнений в (4.6), а именно в настоящем случае имеем

Если область D покрыта равномерной сеткой по Дж, Ay и Az, то определения скалярных произведений (4.5) и (5.4) совпадают друг с другом. И в этом случае мы имеем дело с согласованными скалярными произведениями для всех этапов расщепления задачи. Однако на неравномерных сетках эти скалярные произведения оста­ ются слегка несогласованными. Но в этом случае различие между значениями скалярных произведений при уменьшении шагов сетки стирается. И именно в смысле такого асимптотического подхода мы будем понимать согласование двух таких определений.

Переходим теперь к методу решения задачи (5.1). (5.2), при соот­ ветствующих начальных условиях.

С этой целью, прежде всего из задачи (5.1), (5.2), выделим баротропную составляющую решения. В соответствии с анализом, про­ веденным выше, положим

и— и + и',

ѵ= ѵ-\-ѵ\ w = w\

Р= Р + Р \

Т= Г ,

77

и бароклинной

восновном продиктовано физическими соображениями. Известно, например, что при изучении крупномасштабных процессов в океане

вбаротропной составляющей сила Кориолиса уравновешивается силой барического градиента, т. е. приближенно вдали от экватора имеет место

р дУ

Далее, в достаточно большой области океана параметр Корио­ лиса можно считать величиной постоянной. Тогда легко убедиться,

что компоненты и и у из (5.10) удовлетворяют уравнению нераз­ рывности

А это значит, что процессы, описывающие баротропную составляющую поля, настолько хорошо сбалансированы, что их невозможно разор­ вать (расщепить). Следовательно, здесь мы уже пришли к такой элементарной задаче, дальнейшее расщепление которой уже нецеле­ сообразно. Рассмотрим теперь определения бароклинной составля­ ющей динамики, описываемой задачей (5.8), (5.9). После выделения баротропной компоненты связь между отдельными компонентами процесса проявляется не так жестко, как в рассмотренном случае. Например, в уравнении неразрывности компоненты и уГн пере­ стают играть исключительную ролъ. Оказывается, что каждый из этих членов теперь имеет такой же порядок, что и у^ш. Это обстоя­ тельство открывает новые возможности к дальнейшему расщеплению нашей задачи.

78

Однако сначала покажем, что при точном разделении задачи на две энергетическое уравнение (5.3) не нарушается. В самом деле, введем в рассмотрение векторы

Составим далее выражение для функционала

(£<р, ф) = (Вц>, ф) + (Яф, ф*) + (5ф', ф) + (5ф', ф*).

Поскольку

(Дф,ф') = 0, (ЯФ\ ф) = 0,

то

79

Тогда сформулированные выше задачи, являющиеся компонен­ тами расщепленной задачи адаптации, формально запишутся в сле­ дующем виде.

К сожалению, операторы А 2>1, А 2<2 и A 2t3 некоммутативны, поэтому для решения задачи (5.13) мы введем в рассмотрение двух­ циклический метод покомпонентного расщепления.

На интервале £/_і ^ t ^ tj

80