книги из ГПНТБ / Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана

или с учетом выражений (1.12)

Fh (0) = - £ 0 + £ I 4\iEhe * Р' dZ + а, J Ее ^ ^ Pidz' ) . (1.14)

Полагая в формуле (1.14) для Е стандартное выражение в виде (1.7), приходим к выражению

Переходим далее к расчету климатических характеристик пол­ ного потока радиации на поверхности океана. Поскольку облачность весьма изменчива, то при расчете климатического поля потока радиа­ ции необходимо раздельно оценивать количество дней с облачным покровом и количество ясных дней для данного пункта из всей сово­ купности, по которой вычисляется климат.

Пусть из заданной совокупности для данного пункта было п яс­ ных и т облачных дней. Тогда климатическое поле полного потока радиации на поверхности океана найдем по следующей формуле:

получено, теперь остается найти отклонения фактического радиа­ ционного поля от климата. Именно они и ответственны за аномалии

и облака являются «абсолютно черными» для радиации. Это упроще­ ние можно было бы не делать, однако тот факт, что мы вычисляем не сам поток радиации, а лишь его отклонения, позволяет идти на такое упрощение, ибо в этом случае ошибка в альбедо будет соот­ ветствовать той же ошибке в вариациях потока, что является допу­ стимым.

где Т — отклонение температуры частиц воздуха и воды от некото­ рой температуры Т, которую принимаем за «среднюю» температуру

тропосферы (заметим, что Т = const, поэтому ее величина несущест­ венна для решения уравнения (2.1)); F — полный поток радиации на поверхности океана и континента, функция координат х, у и вре­ мени t;

V = CpV],р; р = Cpfijp; ѵх и р х — коэффициенты вертикального и горизон­ тального турбулентного обмена. Если р = const для атмосферы и

212

И = Ps — const для океана являются хорошим приближением, то V является более сложной функцией, которую можно выбрать следующей:

если область определения —hT <; z < Н твключает в себя атмосферу с «верхней границей» Н ти океан эффективной глубины (равной слою термоклина) hT. Здесь Н и —h — соответственно верхняя граница

Рис. 2

планетарного пограничного слоя Земли и граница слоя трения в оке­ ане. Величины а, Ь, с и — константы, которые находятся на ос­ нове обработки экспериментальных данных. Следует лишь заметить, что величина с существенно зависит от квадрата модуля скорости ветра в планетарном пограничном слое. Остальные величины для целей долгосрочного прогноза погоды могут быть выбраны констан­ тами.

В случае когда атмосфера граничит с континентом, для v (z) можно использовать такую аппроксимацию:

Необходимо также подчеркнуть, что в почве горизонтальный обмен теплом несуществен, поэтому следует положить

(Х= 0 при z<( 0.

Эти функции изображены на рис. 1 и 2.

21 5

К уравнению (2.1) присоединим граничные условия: в случае системы атмосфера — океан

вслучае системы атмосфера — континент

—ят

Следует отметить, что соответствующим выбором функции Е можно учесть также и ледовитость в Арктике и Антарктиде.

Начальными условиями для уравнения (2.1) примем следующие:

где Т0 — заданная функция координат.

используя фактическую информацию о F в течение 2—3 месяцев и решая полную задачу взаимодействия атмосферы и океана, в ре­ зультате получим требуемые начальные поля. Но на этом более подробно остановимся в дальнейшем.

Итак, задача (2.1)—(2.4) поставлена с точностью до граничных условий на «боковых» поверхностях, которые ввести в рассмотрение не представляет труда.

Теперь переходим к очень важному вопросу построения разност­ ных схем, соответствующих физическим особенностям задачи, к чи­ слу которых можно отнести следующие: разрывный характер коэф­ фициента турбулентного обмена, наличие б-образного источника

Совокупность всех точек {zh+i/2} назовем вспомогательной системой точек сетки.

214

Проинтегрируем теперь уравнение (2.1) в пределах интервала Zk-ч, z sg; Zk+ч,. Тогда получим

для внутренних слоев атмосферы, либо для внутренних слоев океана или континента. В этом случае подынтегральные функции в (2.5) являются непрерывными, поэтому для реализации интегралов вос­ пользуемся простейшей квадратурной формулой. Тогда соотноше­ ние (2.5) приближенно перепишется в виде

ч

Поскольку в указанных пределах интегрирования поток J(z) является) непрерывной функцией, то приближенно можно вынести поток J из-под знака интеграла при z = z*+i/2, т. е.

215.

dz

V

С учетом (2.11) разностные граничные условия задачи можно запи­ сать в форме

Подставляя соотношение для потоков (2.11) в (2.6), приходим к раз­ ностным уравнениям

Рассмотрим теперь вывод соответствующего разностного уравне­ ния для А: = 0. С этой целью снова воспользуемся интегральным со­ отношением (2.5). Имеем

и дважды дифференцируема по х и у, можно приближенно положить

216

Система уравнений (2.18) обладает рядом важных качеств. Вопервых, она балансна. Чтобы в этом убедиться, достаточно про­ суммировать все уравнения (2.18) по к и проинтегрировать по (х, у). В результате приходим к соотношению полного баланса

217

Слева в формуле (2.19) стоит выражение, являющееся производной по времени от общего запаса тепла Q, т. е. поскольку

Q {і) =2 Аzk JI cppkT dxdy,

то (2.19) перепишется в виде

t t W J f

Итак, полное повышение тепла в системе атмосфера — океан — континент зависит от полного потока радиации F,

7.3. РАЗНОСТНЫ Й А НАЛОГ У РА ВН ЕН И Й Д И Ф Ф У ЗИ И КО ЛИ ЧЕСТВА Д В И Ж ЕН И Я

Здесь будем рассматривать метод построения разностных аналогов ■следующих уравнений:

используя те же обозначения для коэффициентов турбулентного обмена, что и в случае уравнения притока тепла. Однако следует

помнить, что здесь ѵ = ѵр, а (і = pp.

Поскольку построение разностных схем для уравнений (3.1) идентично, то в дальнейшем рассмотрим одно уравнение вида

на поверхности континентов и на ледовом покрове.

218

Важно отметить, что свойства решений рассматриваемой задачи существенно отличаются от свойств задачи диффузии тепла. В самом деле, решение нашей задачи непрерывно во всех точках области определения — hT ^ z Нт(в случае взаимодействия с океаном) у за исключением уровня z = 0, где функция ф может допускать

разрыв первого рода. Что касается потока то он непрерывен

всюду, включая z = 0. Если атмосфера снизу граничит с конти­ нентом или арктическим льдом, то решение ф будет непрерывно-

вместе с потоком V в области 0 sg z Нт. Таковы исходные

требования к решению задачи, и мы их используем для построения разностных схем.

С этой целью уравнение (3.2) проинтегрируем по г в пределах zk- г ^ 2 Ч • Получим

Используя свойства непрерывности подынтегральных в (3.6) функций внутри интервалов интегрирования, с помощью простейших квадра­ турных формул приходим к соотношению

Поделим это выражение на v (z) и проинтегрируем результат в ин­ тервале Zk-1/, *£ z Zé+i/,. Тогда будем иметь

гА- Ч г

Поскольку по предположению / (z) всюду непрерывная функция,, то приближенно можно положить

219»

В результате приходим к формуле, связывающей поток J k и реше­ ние

Тогда для системы атмосфера — океан получим следующую систему разностных уравнений:

(3.14)

Система разностных уравнений (3.14) балансна. В самом деле, просуммируем все уравнения (3.14) по к и проинтегрируем по всем X, у , предполагая, что континент отсутствует. Тогда приходим к соотношению

Если под ф подразумевать и и ѵ, то соотношение (3.15) есть закон сохранения количества движения в системе атмосфера — океан.

220