книги из ГПНТБ / Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана

Первый интеграл в правой части (1.36) обращается в нуль вследствие условия на твердой части контура

dp dt ’

то последний интеграл приводится к виду

Поскольку под знаком интеграла стоят квадратичные функции, задача при однородных начальных данных будет иметь только три­ виальное решение. Таким образом, единственность такой поста­

новки задачи также доказана.

Следует отметить, что впервые теорема единственности для си­ стемы уравнений динамики океана, линеаризованной относительно состояния покоя, была доказана Л. В. Овсянниковым. 1

1 См. О всянников Л . В . «Теорема единственности для линеаризованной си­ стемы уравнений динамики океана».

61

В заключение отметим одно важное обстоятельство, связанное с решением указанных задач. А именно, если не производить лине­ аризацию исходной системы и в качестве граничных условий выбрать

При этом константа определяется начальными данными задачи. Аналогичным образом могут быть доказаны теоремы единствен­

ности и в случае, когда в уравнениях динамики присутствуют силы турбулентной вязкости.

3.2. ОПЕРАТО РНА Я ЗАПИСЬ ЗА Д А Ч

И ОСНОВНОЙ А ЛГОРИТМ РА СЩ ЕП Л ЕН И Я

Рассмотрим одну из постановок задач на базе системы уравне­ ний (1.12). В качестве граничных условий примем равенство нулю нормального компонента вектора скорости на всей поверхности, охватывающей область определения решения D. В начальный момент времени считаются заданными величины и, ѵ, Т и S.

Итак, в окончательной формулировке имеем следующую задачу:

Здесь штрихи при функциях р, S и Т ради простоты опущены и ис­ ключено из рассмотрения р. Предположим, что в этой системе вектор скорости и1 задан. В конце настоящего параграфа при обсуждении вопроса об организации вычислительного процесса этот вопрос обсужден весьма детально.

К системе (2.1) присоединим граничные условиям

w = 0 при z = 0,

ия = 0 на о,

62

где а — береговая цилиндрическая поверхность, которую будем «читать состоящей из кусков координатных плоскостей.

В качестве начальных данных примем

Будем предполагать, что входные данные задачи обладают доста­ точной гладкостью, обеспечивающей единственность решения задачи.

Для записи системы уравнений (2.1) в форме (2.4) мы предвари­ тельно изменили вид уравнений (2.1), умножив их соответственно

gaT gas

на р, р, 1, 1 —- и —- .

Ут Уs

63

Умножим теперь (2.4) скалярно на <р. Тогда получим

Нетрудно проверить, что с учетом условий (2.2) имеет место следующее соотношение:

—функция, ранее определенная формулой (1.15). Введем далее в рассмотрение матрицы

64

Матрица А связана с А х и А 2 соотношением

А = Аг-|- А 2.

Нетрудно проверить, что при удовлетворении компонентами ре­ шения условий (2.2) имеют место следующие соотношения:

Условия (2.10) являются необходимыми для построения устой­ чивых разностных схем расщепления, обладающих вторым поряд­ ком точности по т. Такие схемы построим на основе двухциклического

ции двухциклического метода расщепления рассмотрим более ши­ рокий интервал tJ-_1 ^ t ^ tj+1, состоящий из двух интервалов.

Далее важно подчеркнуть, что в уравнениях (2.1) вектор-функ­ ция u ' берется одной и той же для всего интервала tt _ x t ^ t]+1. Только в этом случае двухциклический метод приводит к решению

Заметим, кстати, что второе уравнение из системы (2.11) и первое Уравнение из системы (2.12) совпадают, поэтому их можно решать в едином цикле сразу на интервале iy .j ^ і ^ tj+1. Тогда схема расщепления (2.12) может быть представлена всего из трех урав­ нений:

66

+div и!щ = О,

^f - + di\ulv3 = 0,

-jf - + div u' Г3 = О,

Заметим, что сами функции сра не имеют определенного физиче­ ского смысла, они являются вспомогательными величинами, с по­ мощью которых находится приближенное решение задачи

= ф(*у + і)-

Переходим теперь к анализу аппроксимации задачи (2.1) — (2.3) с помощью расщепленных систем (2.11), (2.12). Следует отметить, что если бы исходная задача (2.1) — (2.3) являлась эволюционной, то вопрос об аппроксимации по времени этой задачи системой рас­ щепленных уравнений решался бы тривиально на основе общей теории, изложенной в § 2.3.

Однако наша задача, к сожалению, не является эволюционной, поскольку она не разрешена относительно первых производных по времени от всех компонентов решения. В самом деле, мы не можем

некоторые дополнительные исследования, к которым и приступаем.

3.3.ЭВОЛЮЦИОННАЯ ФОРМУЛИРОВКА

ЗАДАЧИ

Покажем, что исходная задача (2.1) — (2.3) может быть сведена к эволюционной. С этой целью сначала рассмотрим задачу (2.1)' —

i f + divu/o + Zn+ 4 - ^ - 0 ,

-£; — g (а т Т + a sS),

при граничных условиях

||- + gpw = 0 при 2 = 0,

IV —0 при z = H,

Рассмотрим первое из условий (3.2) более подробно. Можно по­ казать, что это условие является следствием того, что поверхность океана представляет собой свободную поверхность, уравнение ко­ торой запишем в виде

z = l(z, у, t).

Продифференцируем далее это уравнение по t. Тогда будем иметь

соотношением

ось 2 ориентирована вертикально вниз. Из последнего равенства величину \ можно выразить через р. Тогда, считая возмущения Е

68

В граничном условии положим z — 0 и перепишем его в виде

[öpo

dt ë9wo = О,

где индексом «нуль» отмечен тот факт, что величины р и w берутся при z — 0.

Из уравнения статики имеем

Проинтегрируем далее уравнение неразрывности при условии

w = 0 при z = H,

тогда получим

-К£+£)* (3.5)

Z

И, следовательно,

(3.6)

С учетом соотношения (3.6) первое из выражения (3.2) примет вид

о

Исключим теперь из системы (3.1) функции р и w с помощью соотношений (3.4) и (3.5). В результате приходим к эволюционной задаче

69

Задача (3.8) — (3.10) является эквивалентной задаче (3.1) — (3.3). Поскольку для эволюционной задачи метод расщепления обо­ сновывается весьма просто, проведем двухциклическое расщепление задачи (3.8) — (3.10) на интервале t}_x ^ t sg tj +1. Тогда на пер­ вом шаге (tj-i sg t sg tj) будем иметь задачу переноса субстанций:

+ div u>u1= 0,

-^j- + divu/t»1 = 0,

70