книги из ГПНТБ / Попов, М. Т. Основы теории функций комплексного переменного учеб. пособие

изменяют направление отсчета на противоположное, называ­ ют конформным отображением второго рода.

ским, а следовательно, не является конформным. Можно по­ казать, что w = z является конформным второго рада.

Действительно, если значения z и .w изображать точками одной и той же плоскости, то ввиду того, что точки z и z вза­

но действительной оси, при этом не происходит никакого ис­ кажения масштаба (коэффициент растяжения в каждой точ­ ке равен 1 ), а все углы сохраняются по абсолютной величи­ не, но изменяют направление отсчета на противоположное. Вообще, если отображение w=;f(z) конформно, то .отображечше w=f(z) будет конформным второго рода. Последнее ото­

80

бражение можно представить как суперпозицию отображе­

втором — направление отсчета углов меняется на противопо­ ложное. В результате обоих отображений углы сохраняются но абсолютной величине, а направление их отсчета изменяет­

ГЛАВА СЕДЬМАЯ

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

§ 1. Первообразная и неопределенный интеграл

Если в области D определены функции F(z) и f(z), кото­ рые в каждой точке этой области связаны между собой соот­ ношением

F'(z) = f(z).

то функция F(z) называется первообразной по отношению к f(z). Задача разыскания по данной функции f(z) ее перво­ образной называется интегрированием функции f(z). Она яв­ ляется обратной операцией по отношению к дифференциро­ ванию. Следующие теоремы помогут выяснить особенности операции интегрирования функции.

ласти является постоянной.

Пусть в области D дана дифференцируемая функция F(z) такой, что F '(z )= 0 . Выделим действительную и мнимую час­ ти этой функции: F(z)=u(x, у)+іѵ(х, у). Производную от функции можно выразить через частные производные ее дей­ ствительной и мнимой частей следующими способами:

Из равенства нулю комплексных чисел следует, что

Последние равенства возможны только тогда, когда

и = А =■ const и V = В = const.

Следовательно,

F (z) — А -j- Ві = const.

Т е о р е м а . Если функции Fi(z) и F2(z) являются перво­ образными одной и той же функции f(z), то они отличаются на произвольное постоянное число.

Пусть в области D даны функции F^z) и F2(z), которые являются первообразными в этой области одной и той же функции f(z), то есть

функция F(z)+ c, в которой с есть некоторое постоянное чис­ ло, будет первообразной для f(z), ибо [F (z)+ c]' = f(z).

2. Если Fo(z) есть какая-либо первообразная для данной функции f(z), то все первообразные этой функции определят­ ся формулой:

F(z) = F0(z) + с ,

где с — произвольное постоянное число.

82

Таким образом, задача интегрирования функции является неопределенной, потому что первообразная определяется с точностью до постоянного слагаемого. То, что F(z)+c яв­ ляется первообразной для f(z), записывается следующим об­ разом:

F (z) + с = j f(z)z,

Вычисление неопределенных интегралов функций комп­ лексного переменного производится методами, применяемы­ ми при интегрировании функций действительного переменно­ го. Таблица основных интегралов в обоих случаях одинако­ ва. Выясним некоторые особенности интеграла комплексной

ческой, а следовательно, непрерывной и однозначной. Это приводит к необходимости ограничивать область, в которой

аналитическая во всей области, поэтому во всей комплексной области она может рассматриваться как первообразная.

сматривается первообразная, изъять начало, потому что в точ­ ке z = 0 логарифмическая функция не определена (не суще­ ствует). Любое кольцо Ri< | z | <R 2 [Ri>0] также не может служить областью для первообразной. В этом кольце функция Ln z-(-c не является однозначной. Например, если точка z пе­ ремещается по окружности I z I = R2, то после полного оборота

она вернется в исходное положение, а первообразная, непре­ рывно изменяясь, увеличится на 2яі. Таким образом, в одной и той же точке первообразная принимает различные значения, то есть не является однозначной и дифференцируемой. Сле­ довательно, она не может в этой области рассматриваться как первообразная. Это обстоятельство вызывает необходи­ мость ограничить область рассмотрения первообразной так, чтобы обеспечить ее однозначность. Последнее достигается довольйо просто. Нужно сделать так, чтобы аргумент z, не­ прерывно изменяясь, не мог принимать одного и того же значения путем обхода вокруг начала координат по замкну­ той кривой. Для этого достаточно взять в качестве области D все точки плоскости, за исключением точек действитель ной оси, или точек какой-либо прямой, или, наконец, точек любой незамкнутой кривой, выходящих из начала коорди­ нат. На рис. 22 выделены линии, точки которых нужно ис­ ключить из точек плоскости, чтобы получить область суще­ ствования первообразной для функции третьего примера.

§ 2. Свойство функции, имеющей первообразную

Здесь мы рассмотрим необходимые условия, которым должна удовлетворять функция f(z), чтобы для нее сущест­ вовала первообразная F(z). Эти условия устанавливаются

84

теоремой: если у заданной в области D комплексной функ­ ции

этой области непрерывные частные производные первого по­ рядка, а сама функция имеет в области D первообразную F(z), то она удовлетворяет в той же области условиям Ко­

является ее первообразной, то есть F'(z)=f(z). Значит, F(z) дифференцируема в D, и ее производная определяется через частные производные следующим образом:

Так как функции и(х, у) и ѵ(х, у) дифференцируемы и име­ ют непрерывные частные производные, то дифференцируемы

и правые части равенства (91), при этом их частные производ­ ные также непрерывны. Дифференцируя (91) по переменным X и у, найдем:

Получим частные производные второго порядка, которые, в силу их непрерывности, не зависят от порядка дифференци­ рования. Поэтому можно записать:

85

Следовательно, функция f(z) удовлетворяет в области D ус­ ловиям Коши-Римана.

Из доказанной теоремы, в частности, следует, что класс функций комплексного переменного, имеющих первообраз­ ную, является довольно ограниченным.

§ 3. Определение комплексного интеграла как предела интегральной суммы

Пусть в о-бласти D задана непрерывная функция f(z). Возьмем в этой области кусочно-гладкую линию L, которая ориентирована своими началом и концом. Ориентация кривой понимается в том смысле, ’ что она начинается в точке А

{г —а) и кончается в точке В (z = b). Так как кривая цели­ ком лежит в области D (рис. 23), то функция f(z) будет оп­ ределена в каждой точке этой кривой. В этом случае обыч­ но говорят, что функция f (z) задана на кривой L.

Разобьем кривую L на п произвольных дуг точками:

о, — Zq, z 1, z2i ■.•, Zk, Zk—u ••• 1 zn_ I, Zn = b . Положим Zk=Xk+iyk (k=0, 1, 2, ..., n) и введем обозначе­ ние Zk—Zk-i = Azk=Axk+iAyk (рис. 23). Azt — изобра­ жается вектором, идущим из точки Zk-i в точку zj{.

|Azk| — длина этого вектора, то есть длина хорды, стяги­ вающей к-ую элементарную дугу. Внутри каждой элементар­

86

Из существования конечного предела в правой части равен­ ства (93) при шах |Azk|->0 следует существование конечного

87

от выбора промежуточных точек ок и называется комплекс­ ным интегралом от функции f(z) вдоль контура L. В даль­ нейшем такие интегралы будем называть контурными. Обоз­ начается контурный интеграл, как и обычный криволинейный интеграл:

Или, используя (94), окончательно можно записать:

Из равенств (94) и (95) следует, что контурные интегралы имеют те же основные свойства, что и обычные криволиней­ ные интегралы. Рассмотрим основные из них:

где интеграл, стоящий справа, вычисляется по той же кри­ вой L, но направление обхода меняется на противоположт мое.

4. Если дуга L разбита на несколько дуг, например на 3 дуги — Іи /2, [э, так что Ь = /і+ /2-Кз, то

{свойство аддитивности).

88

равенства нетрудно показать. Достаточно положить в равен-

стве (95) f(z) 3= 1 . Тогда.

89