книги из ГПНТБ / Попов, М. Т. Основы теории функций комплексного переменного учеб. пособие

Перейдем в область комплексного переменного. Возьмем такую последовательность значений аргумента

сходящуюся к нулю. Очевидно, что

l l m f ( z „ « . - j - ) = 0.

Возьмем теперь вторую последовательность значений аргу­ мента

также сходящуюся к нулю. В этом случае

Hmf ( z n - l b ) = 1,

Следовательно, если рассматривать эту функцию в области комплексных чисел, то она в точке z= 0 не имеет предела. Приведенный пример показывает, что требования существо­ вания предела Для комплексной функции являются более жесткими, чем для функции действительного переменного.

Введем принятые обозначения: z = x + iy , Zo=x0+iyo, w = u+iv и А= В+іС. Тогда функцию f(z) можно записать в виде:

f(z) = w = и (х, у) + іѵ (х, у ) .

Пусть lim (z)=A . По определению предела функции ут- z - z 0

верждаем, что для любой последовательности

2h ^2........•••

значений аргумента, сходящейся к Zo = Xo+iyo, последователь­ ность

W, = и(хь у,) + іѵ(х,, у,-) ; W2 = ц(х2, у2) + іѵ(х2, у2); ...

W„ = U (хп, уп) + іѵ (хп, Уп). •••

соответствующих значений функции сходится к числу

А = В-(-іС. Но равенство lim zn=Zo эквивалентно двум ра-

П - * о о

венствам lim xu= x 0 и lim уп = уо действительного перемен­

40

равносильно существованию пределов двух функций от двух

делах функции действительного переменного могут быть пере­ несены без всяких изменений на пределы функции комплекс­ ного переменного.

определяются в соответствии с тем, как это было дано для предела последовательности. Дадим определение первому из этих равенств.

Число А называется пределом функции f(z) при z, стре­ мящемся к бесконечности, если для любого е>0 существует такое число М(е), что для всех значений аргумента z, удов­ летворяющих неравенству |z |> M , выполняется неравенство:

1{(z) — А 1< е .

41

§ 4. Непрерывность функции

можно сформулировать, используя второе и третье определе­ ния предела функции.

Функция w —.f(-Z), непрерывная в'каждой точкеѳбласти D, называется непрерывной в этой области. Свойства непрерыв­ ной функции комплексного переменного следуют из теоремы: для того чтобы функция w = f(z) была непрерывной в точке zo, необходимо и достаточно, чтобы ее действительная и мни­ мая части, рассматриваемые как функции действительных пе­ ременных X и у, были непрерывными в той же точке.

Н е о б х о д и м о с т ь

Пусть функция f(z) =ц(х, у)+іѵ(х, у) является непрерыв­ ной в точке г0=х<гИу0..Это означает, что

Hraf (z) = f (г»)...

z -‘■Z.I

Но последнее равенство эквивалентно двум следующим ра­ венствам:

42

Записанные два равенства равносильны равенству:

Ilm f (z) = f Z-Z0

Следовательно, функция f(z) непрерывна в точке z0. Доказанная теорема позволяет многие свойства непрерыв­

ных функций двух действительных переменных непосредствен­ но перенести на непрерывные функции комплексного перемен­ ного. Перечислим некоторые из них.

1. Сумма, разность, произведение и частное двух непре­ рывных функций в точке z0 есть функции, непрерывные в той же точке. Для частного исключаются те точки, в которых зна­ менатель обращается в нуль.

б) модуль функции f(z) достигает в области D своей ниж­ ней и верхней границы;

в) f(z) равномерно непрерывна в области D. Равномерная непрерывность функции комплексного пере­

менного определяется так же, как и для функции действитель­ ного переменного. Именно; функция f(z) называется равно­ мерно непрерывной в области D, если для любого е существу­ ет такое 8 (е)> 0 , что для любых двух точек Ъ\ и Z2 области D, удовлетворяющих неравенству

■ ['Zi — z2 I С 8,

выполняется неравенство:

I f (zi) - f (z2) I < £ .

В заключение дадим понятие обобщенно-непрерывной функции. Определяя непрерывность функций в точке z<>, мы

предполагали, что Ц го)^«». Но при изучении отображений, даваемых комплексными функциями, рассматривают случаи, когда функция в некоторой точке обращается в бесконеч­ ность. Поэтому целесообразно снять сделанное ограничение и

43

дополнительно определить непрерывность функции в точках, в которых она обращается в бесконечность.

то рассматриваемая функция будет обобщенно-непрерывной во всей плоскости.

ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

§1. Определение рациональной функции

В§ 1 главы второй дано теоретико-множественное опреде­ ление функции комплексного переменного. В теории функций комплексного переменного используется оперативное опре­ деление понятия функции. Сущность оперативного определе­ ния функции заключается в следующем.

Функция w =f(z) считается заданной на множестве Ez, ес­ ли указано, какие математические операции и в каком поряд­ ке нужно произвести над числовыми значениями независимого переменного z из множества Ег, чтобы получить соответству­ ющие им значения зависимого переменного w. Такое опера­ тивное определение функции впервые было дано Эйлером. Оно не противоречит теоретико-множественному определению функции. Оперативное определение функции является частным случаем теоретико-множественного определения. При теоре­ тико-множественном определении функции закон соответствия

44

между значениями аргумента и соответствующими нм значе» пнями функции рассматривается более широко. Он выражает любой способ, по которому каждому значению аргумента со­ ответствует определенное значение функции. В оперативном толковании функции закон соответствия суживается, сводится к перечислению математических операций, которые необхо­ димо произвести над аргументом, чтобы получить соответст­ вующее значение функции. Оперативное определение функ­ ции ограничивает ее теоретико-множественное толкование. Поэтому первое из этих определений является частным случа­ ем второго (теоретико-множественного).

Положив в основу оперативное толкование функции, ра­ циональную функцию комплексного переменного определяют следующим образом

Функция, которая может быть оперативно определена при помощи конечного числа четырех основных действий — сложения, вычитания, умножения и деления, производимых

в'установленном порядке (сначала выполняются умножение

иделение, а затем сложение и вычитание) над независимым переменным z и постоянными числами аи, называется рацио­ нальной функцией.

Примеры рациональных функций:

R , (z) = 8 - Зі + 5z - (6 + О z2 - 5iz‘ ;

Из класса рациональных функций выделяют целые рацио­ нальные функции, называемые многочленами, или полино­ мами.

Многочленом называется функция, которая может быть определена при помощи конечного числа действий — сложе­ ния, вычитания и умножения, производимых в установленном порядке над независимым переменным г и постоянными чис­ лами.

Примеры многочленов:

p,(z) = 8 - (3 + i)z3+(5 + 2i) (z2 - 21)-12(3 - 1+ z)1,

P2(z) = z3 —(4 — 3i) z .

Многочлены принято записывать в определенном порядке, располагая его члены по возрастающим степеням независимо­ го переменного z:

P(z) = «о + ахг + агz2 + ... + апгп .

45

Высшую степень переменного z, входящую в данный мно­ гочлен, называют степенью многочлена. Действия с многочле­ нами выполняются по правилам алгебры, причем степень суммы многочленов не превышает наибольшую из степеней слагаемых, а степень произведения равна сумме степеней пе­ ремножаемых многочленов.

§ 2. Свойства многочленов

1. Всякий многочлен P(z) = ö0+ö'iZ+fl2Z2+.-.+önZn есть функция, определенная и непрерывная в каждой точке плос­ кости. Действительно, полагая z = x+iy и выделяя действи­ тельную и мнимую части многочлена, получим:

P(z) = А(х, у) + іВ(х, у),

где А (х, у) и В (х, у) — многочлены степени п от двух дей­ ствительных независимых переменных х и у. Как всякий мно­ гочлен от двух действительных независимых переменных, многочлен P(z) есть функция, определенная и непрерывная в- каждой точке z плоскости.

2. Всякий многочлен P(z) = a 0+ a iz+ a2Z2-j-.. + flnZn,an О

неограниченно возрастает при неограниченном возрастании переменного z, то есть

lim P(z)=oo или P(z)->-oo, когда z->oo.

Z —► со

Действительно, вынося за скобку z11, получим:

Переходя к пределу при z-voo, будем иметь: lim P(z) = со;

Z —> оо

3. Свойство единственности.

Ни один многочлен, кроме нулевого, не равен нулю тож­ дественно. Другими словами, если многочлен P(z) тождест­ венно равен нулю, то все его коэффициенты равны нулю, то есть из тождества

P(z) = а0 + ахг + a2z2 + '... -j- ßnzn — О

следует, что а0 = аі = а2 = ... = ап= 0 .

Действительно, пусть P (z )= 0 , но среди его коэффициен­

46

тов найдется ахфО>. Тогда в силу свойства (2) будем иметь: lim P(z) = со ,

P2(z) тождественно равны, то их коэффициенты при одинако­ вых степенях переменного z также равны.

По условию имеем тождество:

а0 -f а ,г + а2z2 -f + anzn = а х + а^ъ -f- ajz* + ...-|-an1zn.

Перенесем^второй многочлен в левую часть равенства:

(а0 — й,,1) ~Ь (а і ~ a i')»z Т- іа>~ a21)z2 Ч" ••• + (ап—ап ) гП = О-

Так как полученный многочлен тождественно равен нулю, то, приравнивая нулю все его коэффициенты, найдем:

«о = ao 'i —в-\ 1 = •••> = йп*.

Р а з л о ж е н и е м н о г о ч л е н а по с т е п е н я м р а з н о с т и z—Zq

Каковы бы ни были многочлен Р (z) степени п и комплекс­ ное число z0, многочлен P(z) можно разложить по степеням разности z—zo, то есть подобрать коэффициенты ао1, аД ...

ßn1 такими, что будет иметь место тождество:

Если в многочлене (23) раскрыть скобки и привести подоб­ ные члены, то получим новый многочлен п-ой степени относи­ тельно переменного z1. Коэффициенты нового многочлена, за исключением коэффициента старшего члена, отличаются от коэффициентов данного многочлена. Обозначим их через «о1,

47

Возвращаясь к прежнему переменному z, то есть в многочле­ не (24) заменяя z' на z—z0, получим:

p(z) = ао' + ai'(z — 0 + V ( z - z0)2 + ••• att'{z - z0).n (25)

Докажем единственность разложения (25). Допустим, что, кроме разложения (25), многочлен имеет еще одно разложе­ ние по степеням той же разности z—Zo'.

P(z) = а " + а.\ (z — z0) + a2" (z —z0)2 + ••• + ßn" (z - z 0)n- (26)

Выражения (25) и (26) — разложения одного и того же мно­ гочлена P(z). Поэтому они тождественно равны:

Итак, разложения (25) И (26) имеют одинаковые коэффици­ енты. Следовательно, многочлен P(z) может быть разложен по степеням разности z—z0 единственным способом.

Если многочлен Р (г) разделить на разность г—г0, то оста­ ток будет равен значению этого многочлена, вычисленному в точке z= z0.

Оо = Р (z3) •

48

Тогда многочлен (22) представим в виде

P(z) = P(z0) + (z - гц)\а{ 4-aJ(z - z0) + ... + V (z - z ^ " -1]. (29)

Обозначим многочлен степени n—1, содержащийся в квадрат­ ных скобках, через P](z). Выражение (29) сократим:

Равенство (30) выражает свойство многочлена, сформулиро­ ванное в теореме Безу. Из теоремы Безу следует еще одно свойство многочлена: многочлен P(z) делится на разность г—z0 только в том случае, если P(z0) =0, то есть если zo яв­ ляется корнем уравнения: P (z)= 0 .

§3. Нули многочлена. Основная теорема алгебры

Вэлементарной математике и высшей алгебре числа, удов­ летворяющие уравнению

Р(z) = 0,

называются корнями этого уравнения. В теории функций ком­ плексного переменного эти числа принято называть нулями многочлена или нулями функции.

Число Zo называется нулем многочлена P(z), если в точке z0 имеем равенство P(z0)= 0 .

Нули многочлена разделяют по кратностям. Кратность ну­

где P] (z) — многочлен степени n—а и Zo не является его кор­ нем.

Кратность нуля многочлена не может превышать его сте­ пени. Простыми нулями многочлена называются такие, у кото­ рых кратность равна единице.

Опираясь на понятие нуля многочлена, сформулируем ос-

\новную теорему алгебры.

Всякий многочлен P(z) степени п ^ І с какими угодно ком­ плексными коэффициентами имеет, по крайней мере, один комплексный нуль.

Если многочлен P(z) степени п имеет один нуль, то он име­

ет и п нулей. Последнее утверждение непосредственно следу­ ет из тождества (31).

Сформулированная выше теорема является фундаменталь­ ной теоремой алгебры.

>