книги из ГПНТБ / Попов, М. Т. Основы теории функций комплексного переменного учеб. пособие

Окончательно получим:

z2 - zi = (x2 + iy2) - (X, -f iy,) = (x2 — xi) + 1(y2- y i) . (6)

Разность двух комплексных чисел z2 и z\ есть комплексное число z, действительная и мнимая части которого равны раз­ ностям соответствующих частей уменьшаемого и вычита­ емого.

Вычитание комплексных чисел аналитически выражает геометрическое вычитание векторов. Известно, что разностью двух векторов является вектор, соединяющий концы вычита­ емого и уменьшаемого векторов. Соединив концы векторов Z] и z2, получим величину и направление вектора разности z = z2—Zi (см. рис. 2). Так как векторы, соответствующие ком­ плексным числам, принято откладывать от начала координат, то, перенеся полученный вектор в начало координат, найдем вектор, соответствующий числу z. Из треугольника 0ZiZ2, на основании теоремы о разности сторон треугольника, следует:

I Z2 — Zi 1 > I z, I — I z, I .

Это есть аналитическая запись теоремы о модуле разности. Модуль разности больше или равен разности модулей

уменьшаемого и вычитаемого. Равенство в этом случае бу­ дет при условии равенства аргументов уменьшаемого и вы­ читаемого.

Модуль разности комплексных чисел z2 и Zi есть длина вектора, соединяющего эти точки,, то есть модуль разности Z2—zi двух комплексных чисел равен расстоянию между точ­ ками, изображающими эти числа. Следовательно, если zx— данное комплексное число (данная точка), р — данное дейст­ вительное положительное число, то совокупность точек z, удо­ влетворяющая равенству |z —Zi|=p, образует окружность с центром в точке г\ радиуса р.. Неравенство (z—zi) < р опре­ деляет множество точек, лежащих внутри этой окружности

10

Умножение комплексных чисел производится по правилам ум­ ножения алгебраических многочленов, при этом произведение двух комплексных, взаимно сопряженных чисел есть действи­ тельное число:

z -~z = (х + іу) • (х — іу) = (х2 + у2) + 1(ху — ху), Z Z == Xs + у2.

Отсюда следует, что сумма квадратов двух действительных чисел разлагается на множители в области комплексных чи­ сел. Проверим*в этой области справедливость законов умно­ жения:

Правые части этих равенств равны, ибо переместительные за­ коны умножения и сложения для действительных чисел спра­ ведливы, поэтому же равны и левые части, то есть

Ъ\ ' Z2' — Z2 * Z| .

Аналогично доказывается справедливость остальных законов умножения.

Выведем правило умножения комплексных чисел, если они заданы в тригонометрической форме. Пусть известны два комплексных числа:

Z, = Гі (COS ф! + I sin <рі) и z , = г2 (cos <р2 -}- I sin ф2)-

Пользуясь определением произведения двух комплексных чи­ сел, получим:

\

При умножении комплексных чисел их модули перемножают, а аргументы складывают.

Из формулы (8) следует теорема о модуле и аргументе произведения.

Модуль произведения равен произведению модулей сом­ ножителей, а аргумент произведения — сумме аргументов со­

одному из правил умножения векторной алгебры. Но, пользу­ ясь правилом умножения комплексных чисел, заданных в три­ гонометрической форме, можно указать метод чисто геомет­ рического построения вектора, соответствующего произведе­ нию двух комплексных чисел.

Построим векторы zi, Z2 и z — z\z<i (см. рис. 3). Возьмем до­ полнительный вектор, соответствующий числу a=l-f-i-0. Сое­

диним конец дополнительного вектора с концом вектора zb а

конец вектора z2 — с концом вектора z = z rz 2. В результате получим два подобных треугольника oazi и oz2z. Действитель­ но, так как

12

Теперь найдем отношение сходственных сторон этих тре­ угольников:

Из этих равенств следует, что

Oz _ Ozi

Oz2 Оо

Следовательно, треугольник Oaz подобен треугольнику Oz2z. Произведенный выше анализ позволяет наметить следу­ ющий способ построения вектора z, соответствующего произ ведению двух комплексных чисел г\ и z2. Для этого необхо­

димо:

1) построить векторы zb z2 и a =l ;

2) соединить концы векторов а —1 и г\,

3) на векторе z2 построить треугольник Oz2z, подобный треугольнику Oazi (при этом следует строго соблюдать после-

13

ч

довательность в расположении вершин треугольников). Ком­

плексное число z, соответствующее вектору Oz, будет произ­ ведением чисел zi и z2.

Деление — действие, обратное умножению. Разделить чис­

Решив полученную систему относительно неизвестных х и у, будем иметь:

Таким образом, частное двух комплексных чисел, если знаме­ натель не равен нулю, определяется формулой:

К этому результату придем, если числитель и знаменатель частного умножим на число, сопряженное знаменателю:

Практически при делении комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, умножают числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю, а затем выделяют действительную и мнимую части частного.

Найдем частное двух комплексных чисел

Zi = Гі (cos фі -f- і sin ф,) и z2 = r2 (cos ф2 + i sin ф2) ,

14

записанных в тригонометрической форме. Применяя вышезаписанное правило, будем иметь:

При делении комплексных чисел, записанных в тригоно­ метрической форме, их модули делят, а аргументы вычитают. На основании формулы (11) сформулируем теорему о модуле и аргументе частного. Модуль частного двух комплексных чи­ сел равен частному их модулей, аргумент частного двух ком­ плексных чисел равен разности их аргументов, то есть

Arg ( 17) = ^ArgZl _ Afg 22'

Используя анализ геометрического построения произведе­ ния двух комплексных чисел, наметим план геометрического построения частного комплексных чисел Zi и Z2.

Для этого:

1) построим вектор ъ\ и дополнительный вектор а = 1;

2)соединим конец дополнительного вектора а=1 с кон­ цом вектора, соответствующего делителю z2;

3)на векторе г\ построим треугольник Ozzi, подобный тре­

угольнику Oaz2, внимательно следя за расположением их вер­ шин.

В о з в ы ш е н и е в ц е л у ю п о л о ж и т е л ь н у ю с т е п е н ь

Возвысить число z в' целую положительную степень п — значит взять его сомножителем п раз. Записав число z в три­

15

гонометрической форме и использовав формулу (9), получим:

z = r(cos(p + i sin<p), w = p (cos Ѳ -j- 1sin Ѳ ).

Учитывая, что аргумент комплексного числа содержит не­ определенное слагаемое, кратное числу 2я, получим:

рп = г ; пѲ = <р-}-2тск (к = 0, ± 1 , + 2 ...).

16

Так как г и р — положительные числа, то первое из этих ра­ венств дает единственное значение числа р, определяемое вы­ ражением:

причем здесьберут арифметическое, действительное положи­ тельное значение корня.

Из второго значения

Окончательно поручим формулу, при помощи которой извле­ кают корень целой положительной степени из любого ком­ плексного числа:

Формула (13) дает бесконечное множество значений корня, зависящих от числа к. В действительности же имеем только п различных значений, полученных при k=0, 1, 2, ... (п—1). Возьмем два различных значения числа к—кі и к2, отличаю­ щихся друг от друга на п или на число, кратное п. Подстанов­ ка этих чисел в формулу (13) дает один результат. Если кг—кі = п, то

Так как корни отличаются только значениями косинуса и си­ нуса, то при к] и к2, отличающихся на число п, получаем од­ но и то же значение корня. Таким образом, при k= 0, 1, 2, ...

(n—1) получают различные корни: при k= n — значение кор­ ня то же, что и при к—0. При к = п+1 корни те же, что и при к—1, и т. д.

Значит, аргументы двух соседних значений корня отличаются

„ 2тс на угол, равный —- — -

Следовательно, все точки, соответствующие различным

значениям У г .являются вершинами правильного п-угольни- ка, вписанного в окружность с центром в начале координат и

радиусом R =y/ |z|. Чтобы построить точки, соответствующие

различным значениям у ъ , поступают следующим образом:

1. Из начала координат как из центра описывают окруж­

ность, имеющую радиус R = y |z|.

Ф

2. Проводят из начала координат луч под углом-^-к дей­

ствительной оси. Пересечение этого луча с окружностью даст первую точку, соответствующую значению корня, полу­ ченному при к=0.

3. Последовательно поворачивая этот луч на угол, равный

2тс

, находят на окружности точки, соответствующие осталь-

18

19