книги из ГПНТБ / Попов, М. Т. Основы теории функций комплексного переменного учеб. пособие

ГЛАВА ТРЕТЬЯ

ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ

§ 1. Последовательность комплексных чисел и ее предел

Если каждому натуральному числу п поставлено в соот­ ветствие определенное ікомплѳксное число zn, то образуется последовательность комплексных чисел

которую кратко обозначают {zn}.

Число z0 называется пределом последовательности ком­ плексных чисел {zn}, если для любого положительного числа е существует такое натуральное число N (е), что для всех чле­ нов последовательности с номерами n>N(e) выполняется не­ равенство:

Тогда число z0 является пределом последовательности {zn}

lim zn = z0.

П ->оо

Каждое число последовательности (18) на плоскости изобра­ жают определенной точкой. Неравенство (19) показывает, что если Zo является пределом последовательности {zn}, то все точки этой последовательности, начиная с некоторой точки zn (ф содержатся в круге с центром в точке г0 и радиусом, равным е. Значит, если

30

была сходящейся и имела своим пределом число Zo=x0+iyoi необходимо и достаточно, чтобы последовательности дейст­ вительных чисел

были сходящимися, имели своими пределами соответственно числа хо и у0.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Предварительно выясним свойства модуля комплексного числа z= x+ iy . Этому числу соответст­

| z | ^ | x | - f | y | ;

1 ) абсолютные величины действительной и'мнимой частей комплексного числа не больше модуля этого комплексного числа;

2 ) модуль комплексного числа 'равен или меньше сум­ мы абсолютных величин его действительной и мнимой частей.

Знак равенства имеет место для действительного или чи­ сто мнимого числа.

Н е о б х о д и м о с т ь

Пусть последовательность ( 1 ) будет сходящейся и имеет своим пределом число Zo, то есть

lim zn = z0.

П-* оз

32

Тогда по определению 'предела утверждаем, что для любого е> 0 найдется такое натуральное число N(e), что для всех rC>N(e) будет выполняться неравенство:

I Z„ — J = I хп — Х0) + іГуп - Уо) I < е .

Опираясь на свойства модуля комплексного числа, можно записать:

I ХП— Х0-1 ^ £ >

I Уп ~ Уо I < г ■

Из последних неравенств следует, что

Ііш *п = х0; lim уп = у0.

Д о с т а т о ч н о с т ь

Пусть последовательности (20) ,и (21) сходящиеся и име­ ют пределы х0 и у0, то есть

тельности комплексных чисел необходимо и достаточно, что­ бы сходились последовательности, составленные из их дейст­ вительных и мнимых частей. Из доказанной теоремы следу­

ет, что одно предельное соотношение в области комплексных чисел

Значит, исследование сходимости последовательности {zn=xn-f-iyn} комплексных чисел сводится к исследованию сходимости двух последовательностей {хп} и {уп} действи­ тельных чисел. Это позволяет перенести всю теорию пределов последовательностей действительных чисел на последователь­ ности комплексных чисел. В частности, для последовательно­ стей комплексных чисел справедливы следующие теоремы:

1. К р и т е р и й Кош и. Для того чтобы последователь­ ность {zn} комплексных чисел была сходящейся, необходимо и достаточно для любого е>0 и любого натурального числа Р указать такой номер N(e), что при n>N (e) будет выполнять­ ся неравенство

lim arg zn = arg z0.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть lim zn = z0. Тогда для любого

34

е>0 существует такой номер N(e), что для 'всех n>N (e) вы: полняется неравенство:

Для модуля [разности двух комплексных чисел имеет место неравенство:

I zn — Z0 I > J I zn I - I Z0 I I . .

Из него следует, что | I zn I — t z0 | j < £, значит,

lim I zn I = I zu I .

n~*>

Докажем вторую часть теоремы. Так как lim zn= z0, то,

П —►оо

записывая числа zn и z0 в тригонометрической форме, Полу­ чим:

i zn I cos (arg zn) —> I z0 t cos (arg z0) ; I zn I sin (arg zn) —^ 1 z0 [ sin (arg z0) .

Учитывая, что |zn| —>-|zo|, имеем:

cos (arg zn) -> cos (arg z0) ;

sin (arg zn) -> sin (arg z0) ■

Отсюда:

arg zn -> arg z0 или lim arg zn = arg z0. П-*• eo

§2. Понятие бесконечного предела

вкомплексной области

Последовательность' {zn} комплексных чисел называется неограниченной, если для любого, как угодно большого числа

М > 0 существует такое натуральное число М(М), что при всех n>N(M ) имеет место неравенство |zn|> M .

Такие .последовательности 'предела не имеют. Однако в подобном случае принято считать, что последовательность имеет бесконечный предел, обозначаемый символом оо. За­ писывают это так:

limzn = со или zn -> со при п -> со .

П~* оо

Вкомплексной области условие lim zn=oo эквивалентно

условию lim |z„] = oo. Это означает, что в комплексной обла-

cm имеется только одно несобственное число оо, тогда .как

вдействительную область »водят два несобственных числа:

оои —оо. Значит, понятие бесконечного предела в комплекс­

ной области отличается от понятия бесконечного предела для действительных чисел. Это различие проявляется при ис­ следовании пределов последовательности.

П р и м ер . Рассмотрим последовательность чисел

{(—-1)п-*п} - 1, ( - 2 ) , 3, (—4)....

Эта .последовательность ів области действительных чисел .пре­ дела не имеет, (поскольку одни ее числа стремятся к -)-оо, а другие — к —оо. В области комплексных чисел она имеет бесконечный предел.

Заметим еще, что в случае, когда zn=^=0 (п = 1 , 2 , 3, ...),

условие limzn=oo эквивалентно условию \lm~r~ ~

Для несобственного комплексного числа понятия действи­ тельной и мнимой частей, а также понятие аргумента не вво­ дят. Что касается модуля .несобственного числа оо, то для него используют символ +оо.

По аналогии іс действительным анализом устанавливают смысл следующих операций, в которых участвуют .несобствен­ ное число оо и собственные комплексные числа а и b (Ь^=0) :

Несобственному числу оо на плоскости ставят в соответствие одну бесконечно удаленную точку. Плоскость, в которой рас­ сматривается бесконечно удаленная точка, называется расши­

Окрестность бесконечно удаленной точки (представляем се-

36

бе ,как міножество точек плоскости, лежащих вне круга с центром в «ачале и как угодно большого радиуса.

Равноправность бесконечно удаленной точки но отноше­ нию к другим точкам, а также то, что на плоскости .рассмат­ риваем только одну бесконечно удаленную точку, .можно сде­ лать наглядной, если воспользоваться такой геометрической интерпретацией комплексных чисел. Возьмем 'плоскость z, точки которой изображают комплексные числа. Построим сферу (рис. 18), касающуюся плоскости г в точке О. Диаметр

ОР 'перпендикулярен плоскости г. Точку Р назовем полюсом сферы. Соединив прямой линией любую точку плоскости с (полюсом сферы, получим единственную точку пересечения этой (прямой со сферой. Имеет место и обратное явление. Ес­ ли провести прямую через любую точку сферы и ее полюс, то она пересечет плоскость z только в одной точке. Таким обра­ зом, если исключить полюс Р, то между точками сферы и точ­ ками (плоскости устанавливается взаимнооднозначное и вза­ имно-непрерывное (это можно строго доказать) соответствие,

П-*- оо

точки на сфере будут неограниченно 'приближаться к точке Р. Поэтому естественно принять точку Р в качестве изображе­ ния несобственного комплексного числа оо.

Чтобы сохранить взаимно-однозначное и взаимно-непре­ рывное соответствие между всеми точками сферы, не исклю­

37

Ч

чая полюса, и точками ‘Плоскости, нужно точке Р поставить в соответствие только одну точку плоскости. В то жё время этой точке будет соответствовать несобственное число оо. По­ этому принимаем, что на плоскости имеется только одна бесконечно удаленная точка, соответствующая несобственно­ му'числу оо.

§ 3. Предел функции комплексного переменного

Пусть функция W =f(z) определена в некоторой области D и точка z0 -принадлежит ей или является для нее границей.

ва бы ни была последовательность {zn}, сходящаяся к z0, по­

плексного переменного, эквивалентные данному определению.

. Или, пользуясь геометрической интерпретацией комплекс­ ных чисел г и w, определение предела функции можно дать в

6 (e) —-окрестность точки z0, что для всех точек z этой окрест­

38

менного формально не отличается от определения предела функции действительного переменного. Фактически же в этих определениях имеется существенное различие. Для функ­ ций действительного переменного выбор последовательности значений аргумента довольно ограничен. Значения аргумента могут быть правее либо левее точки, в которой рассматрива­ ется предел, функции.. Для предела функции действительного переменного достаточно равенства левостороннего и право­ стороннего пределов этой функции. ^

Для функций комплексного переменного рассматриваются точки плоскости. Поэтому^ выбор последовательностей точек, сходящихся к точке, в которой рассматривается предел функ­ ции, может быть более разнообразным. Здесь имеется бесчис­ ленное множество путей, по которым значения аргумента мо­ гут приближаться к своему предельному числу. И во всех воз­ можных случаях последовательности соответствующих значе­ ний функций должны сходиться к одному и тому же преде­ лу, поэтому определение предела функции комплексного пе­ ременного является более ограничивающим, чем определение предела функции действительного переменного.

Поясним вышеизложенное на примере. Пусть функция оп­ ределена на всей плоскости при помощи выражения:

Рассмотрим предел этой функции в точке z^O . Если orpaL ничиться областью действительных чисел, то она имеет пре­ дел, равный нулю, то есть

l.imf(z) = 0 . z 0

39