книги из ГПНТБ / Попов, М. Т. Основы теории функций комплексного переменного учеб. пособие
.pdfи представим ее в виде суперпозиции отображений.
1 |
|
1C |
— это однолистное и конформное отображение. |
. w2= z —75-1 |
|||
2 |
. w3 = ew2 |
— конформное во всей плоскости и однолистное |
|
|
|
для областей, . |
|
где |
|
w2(i)— w2(2) Ф 2icki, |
|
|
|
|
k = + 1 ; + 2 ; . . . |
или |
|
Z\ — z2 Ф 2icki. |
|
3. Wi = — ( |
4- — ^ — однолистное в области, где |
||
|
2 |
\ |
w3 / |
w3(i) w3(2) Ф 1; w2(j) + w2(2) Ф 2тскі;
190
|
|
Zi + |
z2 |
2ickl 4- тсі |
(k |
= ± 1; |
± |
2; . |
. .)• |
|
|
|
Конформность нарушается при |
w3 = |
± |
,1; |
w2 = |
«nl; |
|||||
|
|
|
|
|
* |
I |
ТШ1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
z “ T |
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. |
w = |
Wj e |
— это всюду |
однолистное '* и |
конформное |
||||||
отображение. |
Оно осуществляет |
поворот |
|
i |
|
wj на |
|||||
|
плоскости |
||||||||||
угол — |
около точки Wi = ü. |
|
|
|
|
|
|
||||
Условиям |
|
zj |
— z2 =4=2itki, |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Zi + z2 =4=2 rcki -f- я}, |
|
|
|
|
|||
где |
k= ± |
l; ± 2 ; ..., |
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
удовлетворяет любая горизонтальная полоса вида . |
|
||||||||||
|
|
|
— |
— |
< Iniz < — 4- rn, |
|
|
|
|||
где |
n = 0; |
± 1 ; |
± 2 ; |
... . |
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим полосу — < Imz < —- .
тс
1. W o == Z ----— І .
Это отображение сдвигает полосу на — і .
W o |
ew2 |
отображает полосу на нижнюю полуплоскость lmw3< 0.
3.» - = 4 ( » . + ф а ) - '
Отображает полуплоскость lmw2<0 на плоскость мм с разре зами [—оо; —I], [ 1, оо].
т".
4л . w = w, еТ >
191
Поворот около Wi = 0 на угол
|
Ту |
Тс |
|
Итак, п о л о са ---- < Imz < |
отображается функцией |
||
ihz на плоскость ѵѵ с разрезами |
|
|
|
|
1 < Im w < со , — оо < Іш w < — 1 , Re w = 0 . |
||
б) |
Функция w = chz = - 7- |
(e z |
---- \ |
|
2 |
1 |
в |
Представим эту функцию в виде суперпозиции двух отоб |
|||
ражений: |
|
|
|
1 . |
W! = ez. |
|
|
Это конформное отображение, однолистное для областей, где
zi—z2^2nki |
( k = ± l ; ±2; ...). |
|||
2 . ѵѵ |
1 |
/ |
, 1 |
|
2 |
' W* |
w, |
||
|
||||
192
Это конформное отображение, |
если \Ѵ] ^ ± 1 или z ^ n n i. Оно |
|||
однолистное, |
если |
Wi(i)-Wj(2) ^ |
1 |
или 2 і-$-г2¥=2 лк'., где |
|
|
k= |
± 1 ; ± 2 , ... |
|
Условиям |
Z] — z2 = 2 іскі , |
|
|
|
|
Zi + |
z 2 ф 2 Tckl |
|
|
удовлетворяет любая горизонтальная полоса шириной я. Выберем полосу, где нет хочек япі:
О < Imz < іс.
1.Wi = е**
Отображает полосу на верхнюю полуплоскость.
2 w=4(wi+4)>
Отобразит верхнюю полуплоскость на плоскость w с разре зами [—оо; —1 ], [ 1 , ooj.
З а м е ч а н и е , Обратные тригонометрические и обратные гиперболические функции являются многозначными, и их ри-
193
мановы поверхности составляются из бесконечного множества экземпляров плоскостей.
Например, для w=A r chz Риманова поверхность состоит из бесконечного множества плоскостей z, склеенных по раз резам [—ОО; —1] и [1, оо].
ЛИТЕРАТУРА
1. |
М а р к у ш е в и ч |
А. И. Краткий курс теории |
аналитических |
|
функций. М., Гостехиздат, 1957. |
|
|||
2. |
П р и в а л о в |
И. |
И. Введение в теорию функций комплексно |
|
го переменного. М., Гостехиздат, 1954. |
комплексного |
|||
3. |
Л у н ц Г. Л., |
Э л ь с г о л ь . ц Л. Э. Функции |
||
переменного. М., Физматгиз, 1958. |
|
|||
4. |
Ж е в е р з а е в В. |
Ф., К а л ь н и ц к и й Л. А., С а п о г о в |
||
Н. А. Специальный курс высшей математики для втузов. М., «Выс шая школа», 1970.
|
|
|
О Г Л А В Л Е Н И Е |
|
|
|
Введение |
|
|
|
|
|
3 |
Г л а в а |
п е р в а я . |
Комплексные числа и действия над ними |
4 |
|||
Г л а в а |
в т о р а я . |
|
Функции комплексного переменного |
20 |
||
Г л а в а |
т р е т ь я . |
Предел и непрерывность функций |
|
30 |
||
Г л а в а |
ч е т в е р т а я . Рациональные функции комплексно |
44 |
||||
го переменного |
|
|
|
|
||
Г л а в а |
п я т а я . |
Основные |
трансцендентные функции |
58 |
||
Г л а в а |
ш е с т а я . |
|
Производная и дифференциал |
. . . |
66 |
|
Г л а в а |
с е д ь м а я . |
Интегрирование функции комплексного |
81 |
|||
переменного |
|
|
|
|
||
Г л а в а |
в о с ь м а я . |
Ряды |
|
|
107 |
|
Литература |
|
|
|
|
195 |
|
|
Михаил Тарасович Попов, |
|
|
|||
|
Владимир Ильич Загибалов, |
|
|
|||
|
I Федор Ефимович Липнягов | |
|
|
|||
|
О С Н О В Ы Т Е О Р И И Ф У Н К Ц И Й |
|
|
|||
|
К О М П Л Е К С Н О Г О П Е Р Е М Е Н Н О Г О |
|
|
|||
|
|
|
(У чебн о е |
пособие) |
|
|
Ре д а к т о р Г. К. Гавриленко
Кор р екто р Л. А. Китаева
А Л 0 1 2 4 4 . |
С д а н о |
в набо р |
2. I X . |
73 |
г. |
П о д п и сан о |
в печать |
4/II-7 4 г. |
Ф о р м |
||
бум аги 6 |
0 X 84 /1 6 . |
О б ъ е м |
12,25 |
п. |
л. |
З а к а з |
243. |
Т и р а ж 600 |
экз. Ц е н а |
39 |
к |
Т и п о гр аф и я «К р асн о я р ски й |
рабочи й », |
г. К р а сн о я р ск , |
п р . М и р а , |
91. |
|
||||||
Цена 39 коп.