книги из ГПНТБ / Попов, М. Т. Основы теории функций комплексного переменного учеб. пособие

Если же точка z+Az приближается к точке z по прямой, па­ раллельной мнимой оси, то Д х=0 и Дг = іДу-й). Равенство (78) преобразуем так:

Последнее равенство эквивалентно двум действительным ра­ венствам

что и требовалось доказать.

2. Д о к а з а т е л ь с т в о д о с т а т о ч н о с т и

Пусть теперь условия (77) выполнимы. Так как функции u(x, у) и ѵ(х, у) дифференцируемы в точке z = x-fiy, то, как известно из дифференциального исчисления функций многих переменных, полные приращения этих функций записывают так:

Учитывая равенства (81), найдем отношение приращения функции Aw к приращению аргумента Az = Ax+iAy:

70

71

Для функций комплексного переменного сохраняются все из­ вестные из действительного анализа правила дифференциро­ вания:

функции. Правила дифференцирования мы не приводим, так как они аналогичны правилам дифференциального исчисле­ ния для функции действительного переменного у= f(х); и при выводе их используют правила предельного перехода, кото­ рые, как мы показали ранее, сохраняются в комплексной области.

По этой же причине мы не делаем вывода производных элементарных функций, а будем пользоваться табличными производными, известными из основного курса анализа. По­ нятие аналитической функции является одним из фундамен­

72

ской в некоторой окрестности этой точки.

Определения аналитичности и дифференцируемости функ­ ции в области D совпадают, но условие аналитичности в точке является более жестким, чем условие дифференцируе­ мости в точке, так как в первом условии требуется, чтобы функция была дифференцируема не только в этой точке, но^ и в некоторой ее окрестности. Точки плоскости z, в которых однозначная функция f(z) является аналитической, называ­

ются правильными точками этой функции, а точки, в которых функция §(.z) не является аналитической, называются особы­ ми точками.

П р и м ер ы :

1 . f (z) = z2 = (х2 — у2) - f 2 ixy ;

Полученный результат показывает, что мы могли продиффе­ ренцировать функцию f(z)= z2, воспользовавшись табличной производной для степенной функции аналогично тому, как это делается для действительного анализа.

2, I(z) = Z- • Rez = (z -f- ly) X = x2 -f ixy; u = x2; v = xy,

откуда

73

Условия Коши-Римана выполняются для этой функции толь­ ко при х= 0 и у = 0. Значит, функция дифференцируема толь­ ко в единственной точке z=Q и нигде не является аналитиче­ ской.

Условия Коши-Римана не выполняются нигде в данной пло­ скости, следовательно, функция i(z)=x не является диффе­

ренцируемой во всех точках комплексной области, а зна­ чит — не является и аналитической.

§ 3. Понятие дифференциала функции4

Aw == f'(z) • Az + a • Az.

Здесь Г (z) Az есть бесконечно малая величина того же по­ рядка, что и Az, если і ' ( г ) ф 0 ; второе слагаемое a - Az есть бесконечно малое более высокого порядка, чем Az. f'(z)Az составляет главную часть Aw и называется дифференциалом

так как при f(z)=z dz = z'Az = Az.

74

Используя понятие дифференциала функции, f'(z) можно представить как отношение дифференциала функции к диф­ ференциалу аргумента:

f( z )

df(z) dz

§ 4. Связь аналитических функций с гармоническими

Рассмотрим функцию f(z)=u-|-iv, аналитическую в неко­ торой области D. Тогда во всех точках области D функции ц(х, у) иѵ (х, у) удовлетворяют условиям Коши-Римана:

Таким образом, функции и(х, у) и ѵ(х, у) должны удовлет­ ворять одному и тому же уравнению второго порядка в част­ ных производных — уравнению Лапласа.

Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называ­ ются гармоническими, то есть функции и(х, у) и ѵ(х, у), удов­ летворяющие условиям Коши-Римана, являются гармониче­ скими — взаимно сопряженными. Можно сделать следующий вывод. Действительная и мнимая части аналитической функ­ ции являются сопряженными гармоническими функциями. Ос­ новываясь на этом выводе, можем всегда построить анали­ тическую функцию, для которой заданные гармонические функции являются мнимой или действительной частью.

75

пряженной функции ѵ(х, у) сводится- к известной нам из дей­ ствительного анализа задаче интегрирования полного диффе­ ренциала функции двух переменных.

П ри ме р . Построить аналитическую функцию, для кото­ рой данная функция и= 2 х2—2уг+ х является действительной частью. Непосредственной проверкой можно убедиться, что данная функция является гармонической:

Из условий Коши-Римана найдем производные:

Воспользовавшись первым из этих соотношений, найдем сле­ дующее выражение для ѵ:

V = J 4 ydx — 4 ху -f f (у),

где f(y) пока не определено. Для определения f(y) дифферен­ цируем последнее равенство по у и подставляем во второе из соотношений (*)

= 4 х + Г ( у) = 4 х + 1,

откуда

Г (у) = 1 и f(y) = у -f с (где с = const).

Итак, гармоническая функция, сопряженная с данной, бу­ дет иметь вид:

V — 4 ху + у + с.

76

Найдем теперь искомую аналитическую функцию

w = и + іѵ = 2 х2 — 2 у2 + X -f (4 ху + У + с) і =

§ 5. Аргумент и модуль производной. Конформные отображения

Пусть в плоскости z задана функция w = f(z), аналитиче­ ская в области D; zo — некоторая точка этой области, в кото­ рой f'(zo)=7^0. Функция w = f(z) отобразит точку z0 плоско­

сти Z В точку Wo=f(z0) плоскости w (см. рис. 20).

Через точку z0 проведем произвольную кривую /, имею­

точку Wo. На кривой I возьмем произвольную точку z = z0-f-Az, которая отобразится в точку w = w0+Aw линии Ъ. Комплекс­ ное число Az изобразится при этом вектором, идущим из точ­ ки z0 в точку zo+Az, а число Aw — с помощью вектора, иду­

стремления Az к нулю и равен f'(z0). Будем изменять Az так, чтобы точка zo-f-Az оставалась все время на линии /, и тогда Aw будет так стремиться, к нулю, что точка w0-j-Aw будет перемещаться по линии L. По определению производной,

77

Векторы Aw-=w—Wo и Az = z—z0 составляют с действитель­

вым / и L соответственно в точках zo и Wo с действительной осью. Тогда ф'-мр, Ф'-KD при Az-Я), а потому из ’ (86) полу­ чаем:

нуть касательную к кривой I в точке zo для того, чтобы по­

Ѵ(г0)фО поворачиваются на один и тот же угол Argf^zo). Таков геометрический смысл производной отображающей

функции. Отсюда следует, что в точке z0 функция w = f(z) отображает две произвольные линии, пересекающиеся в точ­ ке zo, и угол между заданными отображенными линиями бу­ дет один и тот же как по величине, так и по направлению от­ счета.

78

z0 и Wo, на рис. 20 не показаны.

Выясним теперь геометрический смысл модуля производ­

отношении в результате отображения изменяется расстояние между этими точками. По этой причине величину |f'(zo)| можно рассматривать геометрически как коэффициент растя­ жения в точке zo при отображении w = f(z). При этом, если |f'(zo)|>l, то в достаточно малой окрестности точки zo рас­ стояние между точками при отображении увеличивается и происходит растяжение; если |f'(zo)|<l, то отображение в окрестности точки z0 приводит к сжатию.

Мы установили, что всякое аналитическое отображение w=f(z) обладает в каждой точке z0, где і'(го)фО, постоян­ ством растяжений и консерватизмом углов. Тогдавсякая бесконечно малая фигура плоскости z, одна из вершин кото­

ной, с точностью до бесконечно малых. Отсюда можно сде­ лать такой вывод: в достаточно малой окрестности каждой точки, где f'(zo)=/=0, аналитическое отображение оказывает­ ся о т о б р а ж е н и е м п о д об и я . Отображения, обладаю­ щие свойством консерватизма углов и свойством постоянства растяжений, называют конформными отображениями первого рода или просто конформным отображением. Таким обра­ зом, на основании полученных результатов приходим к вы­ воду.

Аналитическое отображение w = f(z) конформно в каж­

Справедливо и обратное утверждение: если отображение w = f(z) конформно в области D, то функция w = f(z) являет­ ся аналитической в области D и Г ( г )^ 0 во всех точках этой области. Отображение, отличающееся от конформного тем, что углы сохраняются только по абсолютной величине, но

79