книги из ГПНТБ / Попов, М. Т. Основы теории функций комплексного переменного учеб. пособие

P(z) = A(z —а)а{z — b)13• ... ■(z —

>

(32)

где a,

b,

..., I — попарно неравные комплексные числа;

а,

ß,

..., Я — целые положительные числа, сумма которых

равна п ;

А — постоянное комплексное число.

Р (z)

степени

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть

дан многочлен

п. По основной теореме алгебры

этот многочлен имеет, по

а, а его кратность через а,

причем а ^ п . Из определения

ну­

ля многочлена следует тождество:

Р (z) = (z -

ay • Pn_« (z),

(33)

Pn_„(z) = (z -

b)Ppn^ _ P(z),

(34)

где Рп-<х-з (z) — многочлен,

степень которого п—а—ß. Заме­

тим,

что

Рп—а—ß (b) ф 0.

Если выполняется

равенство

Рп_а_3==0, то нуль b

имеет кратность

большую,

чем ß. Д а­

лее, Ь ^ а .

Если

Ь= а,

то Рп _а

(а) =0.

Это означает, что для

многочлена P(z)

число а является нулем, кратность которого

больше а.

а и

ß возможны соотношения: п—а—ß ^ l

Для

чисел п,

или п—а—ß = 0 .

Во

втором

случае

многочлен Pn_a_ß(z)

a « ( - ß + . . . - f X = n.

На этом этапе получим такое тождество:

Рп_а_р^.... _ * (z) = (z — I f • Pn_a_p_..._I_x (z).

(35)

Из тождеств (33), (34) и всех предыдущих до тождества

(35)

получим новое тождество:

P(z) = (z - a)’(z — b)ß •.... • (z — I f Pn—a—p—...—X(z).

(36)

Так как a + ß+ ...4-X=:n,то степень многочлена Р п _ „ _ р . . . _ , . , -

\ (z)

личное от него, разложение

P(z)

= A'(z

- a'f' (z -

b')^'

• ... • (z

- l f ,

(37)

где a', ß',

...,Я '— целые положительные числа и а'+Р'Д - •■■+

+Я, = п . Выражения (32) и (37)

являются разложениями од­

ного и того же многочлена P(z),

поэтому

они тождественно

равны, то есть

■'

ч ■••

A (z — а)а (г

— Ь)э ; ...

• (z — I f =

=

A '(z -

a 'Y

(г -

Ь')р'

•

... - (z -

l ' f .

(38)

Сравнивая коэффициенты при

их старших членах,

замечаем,

что А—А'. Поэтому тождество

(38) можем преобразовать:

(z — a)’(z — b)3 • ... • (z — If —(z — a'Y{z —b')3’•

• (z —l'f',

(39)

(а — а 'У '( а ~ Ъу.' • ... • (а - /')’■ = 0. .

(40)

4*

;■ 51

(z - іа)—«'(z - Ь)г’

• ...

• (z -

/)v==(z

-

b 'f • ... • (z - l y .

Полагая z = a, получим

(41)

{а _

ъ у

• ....

(а - r f

=

0 .

b = b'

р = ß', ..., X= X'.

дробь R(z)

может быть разложена единственным образом на

элементарные дроби, то есть справедливо тождество:

P(Z)

К

Ад-1

.

Q(z)

(z — а)а

(z—а)*—1

_ A l_ + _ ë l _ +

+ — Ёі_

+ ••• +

Z — a

(z — b)ß

z — b

'

(z -

l)K

1

...

+■

L,

(43)

'

z —-/

где Aa, Aa— ..., Ai, Bß, Bß—i, ..., Bi, ...,

Lx, Lx—j,

,

L, -

постоянные

комплексные числа.

Дроби вида

^■ А

называются элементарными.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Для сокращения последующих запи­

сей обозначим через

Q i(z)5ee(z -

b)ß ... (z

- /) \

(44)

Сопоставляя разложение многочлена,Q(z)

и выражение

(44), •

замечаем,

что

Q(z) =

(z -

а.)" Qi (z).

Подберем постоянное число Aa

и многочлен Pi(a) (z)

такими,

чтобы выполнилось тождество

P(z) _

P(Z)

__

Ал

P,H(z)

Q(z) -

( z - a)‘ Q, (z) -

(z -

a)° ^

(z -

o)—‘ Q, (z)

’

^

P(z) -

А. •

Q, (z) =

(z -

а) • P,W (z) .

(46)

Полагая в (46)

г —а, найдем:

Р (а) — А« •

Qi (а) =

0

или

Аа =

Р(а)

(47)

Qi (а)

Теперь определим P t <ct) (z)

так, чтобы выполнилось тождест­

во (46), а следовательно,

и

тождество (45). Из

тождест­

ва (46)

Р ,« М

=

- Р ( г ) -

А- -

° ' to .

(48)

Z

я

Так как Р ( а ) Ф 0,

ибо

данная

дробь несократима, и

лем многочлена P (z)—А а

-Qi(z) (см. выражение (47), то

этот многочлен делится на

разность z—а без остатка.

Число а может быть нулем

многочлена P i(a)(z), а может

им и не быть.

многочлена Pj ■(*>(z) меньше, чем п—1.

2.

Степень

Отме­

тим, что степень многочлена Р (z) равна

ш, притом m <n,

а

степень

многочлена Qi(z) равна

п—а. Степень

многочлена

РіИ (z)

можем

определить

из

выражения

(48) . Если

ш > п —а, то степень многочлена

P i(a)(z)

равна

ш—1, Так

смотрим дробь

Pi(a)(zV

------- w_i ■п , ■Эта дробь является пра*

(z fl) • \Qi(z)

пильной, потому что, степень ее числителя

меньше, чем п—1 .

а степень знаменателя

равна n—1 . Поступая аналогично

предыдущему, можем

подобрать такое

постоянное Число

P,,e) (z) =

Ап—1

Pp-*1(г)

(49)

(z — ß)1^ 1

(z — a y -'-Q iiz)

Попутно укажем

на следующее. Число А а-і

определится вы

ражением

p.(«)(z)

.

Так

как Qi (а)

ф 0,

а Рі(а)

(а) может

~ .

Ѵі (а)

быть равным и не равным нулю,

то число А*-і

может ока­

заться равным нулю.

Результатом преобразований будет:

Р.(1)(г)

_

А,

P2 (z)

(50)

(z — a)-Qi(z)

г

— a '

Q,(z)

Полученные

тождества

приводят

к следующему

виду

дан­

ную дробь:

P(z)

=

А,

,

А,-,

,

,

А|

P2 (z)

Q (z)

~ (z

— ау ”г

(z— а)а~1

'

~г z -

а '

Qi (z)

’

ФО,

(51)

где Ad

а среди чисел А в-і,

А0- 2,

А,

могут оказаться

числа, равные нулю.

Дробь

P2(z)

___________M z)_________

g,(z)

(z -b )’ (z — c)T ... (z

-

If-

P2(z)

=

Bg

Bg-,

,

(z- b)5Q 2(z) -

(z-bf

^ (z - bГ-'

r - ^

Bi

I

P3 (z)

(52)

z —b

'

;Q2(z) ’

где Bg Ф 0, а среди чисел Bg-i,

Bg_2 , ..., В! могут быть числа,

гт

*

P3(z)

будет также

правильной и

равные нулю. Дробь

г\'Т~Г'

В конце преобразований получим тождество

Рщ (z)

_

L'-

I

L.x—1

Lx_2

.

( z - t ) x

~

(z -

iy ^

(z - I f - '

( z - / ) x- 2 +

+ - + - Т Г Т -

<“ >

в котором Zx ФО,

а среди

чисел

Lx_,,

LA- 2 , .... Lj

могут

оказаться числа, равные нулю.

(53),

получим разложение

Собирая тождества (51),

(52),

A (Z)

__

Аа

,

Аа—I____ .

.

АI

(z - а)я ~

(г - а)а

(/. —о)« -1

'”.•••

'"г — а ’

B(z)

__

B^

I

Bß—I

I

•

В,

(z—b)13 ~

(z — b)3

(z — b)3“ 1

’

z — b '

L (z)

__

Lx

I

Lx_1

Li

(z — iy

~

(z — l)k

‘

(z — l f ~ 1

z— l

P(z)

A(z)

,

В (z)

I

L(z)

(54)

Q(z) ~

(z - а ) * ^

( z - b)3_t_ -

( z - /) x

P(z) _

Ai(z)

В ,{г)

L,(z)

(55)

Q (zl

(z — а)“

' (z — b)ß

" ‘

(z - 'У

как правые части выражений (54) и (55) различны,

то не

могут выполниться все тождества:

А (z) =

Ai (z) ; B(z)==B|(z);

... L(z) = L, (z).

(56)

Вычитая из (54) выражение (53), получим:

А (z) — Ai(z)

,

В (z) — Bj (z)

,

, L(z) — L, (z)

n

/KT4

{ г - c f

+

<z - b) >

+ - +

( z - O '

( У

В тождестве

(57), по крайней мере, один

из числителей не

равен тождественно нулю.

Будем считать,

что

A(z) Ф Ai (z).

Допустим, что z стремится к числу а. Тогда

Af z ) - A i ( z )

В (z') — Bj (z)

B( o ) - Bi f a )

------ — -------------------------

—> С О !

(z — b)5 ---------------------------------------------

(a

b)p

(z — а)*

'

L(z)

— Li(z)

L.(q) — Li (a)

(Z

- IT

(a -

/)•

•

Получили, что

левая

часть

тождества

(57)

неограниченно

растет при г->а. Но это невозможно, потому

что она во всех

точках равна

нулю.

Из полученного

противоречия следует,

что

А (z)

=

Aj (z).

В (z)

2= В, (z), ... , L(z) SE Lj (z).

Следовательно, для

дроби

P(7)

не существует разложения

Q(z)

ее на элементарные дроби,

отличного от разложения (32) , то

Рассмотрим показательную

функцию ez,

где z — любое

комплексное число.

(известными

из

Воспользовавшись формулами Эйлера

основного курса)

е’т == cos «р +

i sin ф

(58)

e~b = cos ф — i sin ф ,

показательную функцию ez определим так:

w = ez = ех+У‘ = ех • еУ* =

ех (cos у -f

i sin у ),

(59)

ezi • ez2 =

ez‘ + z2 ;

e z 2

= ez*- - z».

(60)

Покажем справедливость первого соотношения:

ezi . ez2 =

eXl •

ex2 [cos (yi +

y2) + i sin (y, +

y2)] =

= exi+ x2 [cos (yi + y2) +

i sin (у1

y2)}, = e<xi+x2) + (Уі + Уг)і =

_

gZj +

z2_

Второе соотношение (60) доказывают аналогично.

Показательная

функция

ez

является

- периодической

с

периодом 2яі. Для любого целого к можно записать:

gZ+skiti gZ . g2kiLi

_ gZ

.

так как по

формуле

(58) е -^ 1 =

cos 2k тг -j- i sin 2k it =

1.

Используя формулы

Эйлера

(58),

любое комплексное число

z можно записать в показательной

форме:

'

’

г

= r(cos<p -j- i sin <p) =

r

• e'f.

(61)

тельной функции при любых комплексных

значениях показа­

теля.

!

Например:

1 еі-2і _ е (cos 2 _ j sin 2).