книги из ГПНТБ / Попов, М. Т. Основы теории функций комплексного переменного учеб. пособие

функция f(z)

разлагается в ряд Тейлора, равен расстоянию

от точки z=ia

до ближайшей к ней особой точки функции

f(z).

ременного, то и разложения элементарных

функций в ряд

Тейлора имеют тот же вид. Запишем некоторые из них:

1.

ln (1 Н- z) =

Z —

-ту----- 1----- --------- ...

2.

arctgz

= z -

~

- f

-----...

3 cZ = 1 + ~ f r + - i r + -

.

.

Z

Z°

.

Z5

4

sln2 =

T T

' - r

+

-5t

к

,

ZJ

z4

5.

C0SZ= 1

Все разложения в ряд Тейлора получены при а = 0. Мож­

но показать,

что две первых функции ln(l-f-z) и arc tg z ана­

литичны в круге I z I < 1, остальные— на всей

плоскости z, а

потому два первых разложения справедливы

в круге | г | <1,

остальные — на всей z-плоскости.

§ 5.

Ряд Лорана

2

сп(г - «)" = 2 cn(z

«)п + 2

• О48)

П*= — он

П = 0

П — 1

а )

,

,

^

1

= г .

I z —

а I

>

—g—

К 1

Если r< R ,то общей областью

сходимости рядов (148)

f(z) —

2

cn ( z - ß ) n .

(149)

П=—чл

Сходимость ряда (149)

не нарушается

при почленном умно­

жении его на

(z — а)-<к+0

(к =

0; ± 1 ; ±

2; ... ) ,

f(z)

= 2 cn(z — a)n~k- 1

(150>

с*°ттг § (7г (| гл <к - 0; ±1; ± 2.

<151>

циенты

которого определяются по формуле

(151). Заменяя

к на п, последнюю перепишем:

с" -

2^ Г §

( И ^ г - .

<" = 0;

± 1 :

<152>

■Функция

f(z),

являющаяся

суммой

ряда

(149), аналитична

в кольце

г< I z—a |< R . Можно показать,

что всякую

анали­

тическую

в круговом кольце

функцию f(z)

можно

разло­

Внутри кольца

сходимости

г< |z—a | < R

(рис. 34) выбе­

рем произвольную точку z и

построим

концентрическое с

ним меньшее кольцо

Гі <

I z — а I < R,

(г <

г, < Ri <

R),

тоже содержащее точку г. Так

как функция

f(z) аналитич­

на в замкнутом кольце Г і ^ |г —a |'^ R i,

то по формуле Коши

(§ 8, глава 7)

т

J -

Г

f(t)dt

1

f

f (t)dt

’

(1 5 3 )

- - 2*1

J

t — z

2 * i

J

t

- z

h

h

гдеобе окружности

z—а

==Ri и

І2-

1\’

г—а

—г1

обходятся против часовой стрелки. Таким образом,

f(z) мы

представили в виде суммы двух

функций f(z) =fi ( z) +f2(z).

Опуская все промежуточные

выкладки

при

разложении в

ряд интегралов

(153),

укажем

только

лишь,

что

разложе­

ние в степенной ряд первого из интегралов

(153)

аналогично

соответствующему разложению в ряд интеграла

(§

4)

U ( Z ) =

J

dz

=

2

cn(z -

а ) "

,

(154)

и

где

с" = ~2ѴГ j* (t -

(П=° ’

'•

2'

ь

(155)

M z) =

- 2 it11

JГtf(t)— z

dt-

Г

f(t)dt

Л

dt____

... 1 .

1 f f

J

(z - a) -

(t — a)

2iri z — raj

1 -

t — а •

h

h

г —а

(156)

теоремы

(§ 4),

получим:

f2(z) =

2 тс і

(z

I

f (t)(t — a)n- ‘ dt

(z~«)n ’

где

(157)

C-n = 2^7

j f(t)(t -

a)n~‘ dt <n = 2>3- -)•

<158>

h

f(z) = fi (z) + f2(z)

= £ cn (z - в)" + £

=

=

£ c„ ( z - a ) n .

(159)

11= —oo

.

~ ~2~rc~j~

(t 1 (а)П~

dt .(П =

0; + .1;

±2; . . . ) .

(160)

I

Мы получили

разложение

f(z)

в ряд Лорана в

кольце

г< Iz—a | <R . Единственность

полученного

разложения мож­

но проверить следующим образом.

Предположим,

что

функция

f(z)

внутри

кольца

г< Iz—а \ <R

имеет два

различных

разложения в ряд Лора­

на:

f(z)=

2

cn(z -

й)"

И

П — — оо

f(z) =

2

cn'(z -

a)n .

П — ---- 99

Тогда

£

cn( z - a ) n =

£

сп' ( г - а ) п .

П — -— оо

П = — <»

£

сп f (г - a)n- k- ‘ dz =

£

cn' f (z - « y - ^ d z .

П = — оо

щ )

— оо

щ)

I

I

ции f(z)

в ряд Лорана. Ряд (154) называется

п р а в и л ь н о й

ч а с т ь ю

ряда Лорана, а ряд (157)— г л а в

н о й ч а с т ь ю

ной ряд, сходящийся в круге

|z—a |< R , а главная часть

его

сходится в области |z —а |> г .

Если r<R, то степенные

ря­

Предположим

теперь, что

функция і(z)

аналитична

не

только в кольце,

но и при z = a

(то есть f(z)

аналитична

в

круге |z—a| <R) .

Тогда при всех п подынтегральная функ­

ция в интеграле

(158) не имеет особых точек

внутри окруж­

Лорана (159) исчезает. Коэффициенты сп

правильной части

ряда Лорана (155) на основании формулы

для производной

п-го порядка аналитической функции имеют вид:

f(n)(a)

•

с" ~ ІП

(z — \)[z — 2)

—

z — 2

z — 1

Первое слагаемое можно представить как

I

1

1

г - 2 ~

'

2 '

z ’

2

а функция

1

является суммой геометрической про-

1

г

~2

грессии, модуль знаменателя которой

,

то есть

1

=

1 +

. + - 5 1

1

2 +

2 2 +

"

1

oll

Z

Z2

zn

22

23

2П+

=

-

2

2п+і

•

(*У

Аналогично

_

1

=

1

_ .

z .+

Z*

+

... + zn +

...= 2

Z"

Z —

1

1 — Z

П=U

(**>

Рассмотрим разложение в ряд Лорана во всех указанных

областях.

1.

В кольце

I z I <d 1 оба ряда

(*)

и

(**) сходятся, так как

знаменатели прогрессий

|

z [

и

меньше единицы.

Сло­

жив почленно ряды (*) и (**), имеем:

1

1

+

1

Z +

1

z2 +

(2 —

1)(Z — 2 )

22

23

+ 1 1

—

2п+1

zn + ...

и

( Н -

2п+і

2. Рассмотрим круговое кольцо l < | z | < 2 .

Ряд (*)

в этом

кольце сходится, но ряд

(**) расходится, так

как

| z | > l .

Поэтому разложение

(**)

запишем так:

1

1

1

1

1

1

1 +

~

+

+•

—Ь

z a

4-1

(***)

Ряд (***) в рассматриваемом кольце сходится, так как

| z | > 1

и,следовательно,

< 1.

Складывая

почленно ряды

(*) и

1

2

2 n+i

(z -

1 ) (z — 2)

получаем

разложение в ряд

Лорана

в

кольце

K f z |< 2 .

3. Рассмотрим

разложение

в

ряд

Лорана

в

области

J z I > 2 . Равенство

(***) сохраняется,

так

как

при

|z | > 2

— < - 4 - <

С но ряд в. правой части

(*)

расходится,

и по-

Z

Z

этому равенство (*)

заменяем следующим:

1

1

1

- -

и

,

+

А _

Z“

+ ...

z — 2

1

2

7

'

7.

z

іи-i

+ —

J - +

A

+

•••

=

2

^

zn

z

V

Последний ряд сходится,

так как

| z j >2

и, следовательно,

< 1.

Складывая почленно полученное разложение и раз­

ложение

(***), имеем:

1

2 "-

1

(z

-

1 )(z - 2)

Мы получили ряд Лорана, в котором отсутствует правиль­

ная часть.

Формулы для

вычисления

коэффициентов

ряда

Лорана

(159) обычно приводят к громоздким выкладкам.

В некото­

ln( 1 + г ), arctgz и др. Так, нзпримр,

чтобы найти

cos-

---- ^ в

окрестности

точки

z = l, можно воспользоваться:

cos z

1)"

+ . . . .

тогда

1

1

.. .

cos г

+

1

2! (z — I )2 +'

4!(z - I)4

1

+ . . .

+ ( — 1)П-Г7

l)fn

(2 п)! (z -

§ 6.

Нули аналитической функции

Нулем функции f(z), аналитической в области

D,

назы­

вается такая точка а, в которой f(a )= 0.

может иметь в

Аналитическая

в области D функция f(z)

нуль. Тогда разложение функции f(z)

в ряд Тейлора в окрест­

ности нуля а имеет вид:

f (z) = с, (z — а) + c2(z — я)2 + ...+

cn(z -

я)п + ..., (161)

ибо в этом случае f(a)= c 0= 0.

(161)

этой функции в

Так, как f(z )^ 0 , то в разложении

ряда.

отличный

от нуля.

Пусть Сщ есть первый коэффициент,

Тогда разложение (161) примет следующий вид:

f(z) = cm(z - я)т + cm + i(z - o)ra+I +

... +- cn(z -

я)'1 + ...

9 Заказ 243

129