книги из ГПНТБ / Попов, М. Т. Основы теории функций комплексного переменного учеб. пособие

§ 3. Отображения с помощью элементарных функций

в точке z = <х>.

Действительно, если через любую конечную точку г\ про­ ведем две пересекающиеся прямые, то угол а между ними в точке і\ будет равен углу между ними в точке z - o o с проти­ воположным знаком. Точка Zi->-Wi, и угол между образами

прямых в точке \ѵі ввиду конформности отображения, не из­ менится, а значит, не изменится и угол в точке w = oo.

Итак, отображение w = az-\-b конформно на расширенной плоскости.

Перепишем

w == az -f- b — re'? • z -(- b .

Это отображение равносильно последовательности (суперпо­ зиции) трех отображений:

1 . w i=r-z.

Так как г>0, то arg z = argwi

и Iw,I = г I z I, поэтому Wj=r-z есть растяжение подобия (при г< 1 —сжатие) с центром подобия в точке z = 0.

2 . Wj = e'?Wi.

Если azgwi=cc, то по правилу умножения комплексных чисел arg w2=<p-f-a, но так как I еі<? ) =1, то w2= ei<pwi есть пово­ рот плоскости Wi на угол ф.

3. w =w 2+ b —

—перенос на вектор b (сдвиг плоскости \ѵ2 на Ь).

Значит, отображение w =az-fb любую фигуру преобразует в подобную. В частности, прямые преобразуются в прямые, окружности — в окружности и т. п.

160

Г1 р и м е р. • Найти общую форму линейного преобразова­ ния, переводящего правую полуплоскость на себя (рис. 40).

Поворот возможен на угол, кратный 2л; поэтому <р = 2лП, где п = 0; ±1; ±2; ..., но е 2міі=1. Перенос возможен на вектор,

параллельный оси ОУ, поэтому bj = 0. Итак, w = rz+ b 2i, где г> 0, Ь2 — действительное число.

\_

2 . Функция w — г

1

w = — однолистна на расширенной плоскости, если считать,

что.z= 0—>w = оо и z=oo-^w = 0. При Zi=7^ z2.

II, симметричных относительно действительной оси, если об­ разы изобразить на одной плоскости.

Рис. 41.

причем при изменении г от 0 до оо |'w| изменяется от с» до 0.

равен а и равен углу в точке z= 0->-w = oo. То есть отображе­ ние конформно и в точке z = 0, ибо свойство консервативно­ сти "углов выполняется. Аналогично доказывается конформ­

I w I > 1 , так как arg w= arg-^- = — argz , а нижняя — на верх­

162

Будем считать прямую частным случаем окружности ра­

диуса R= oo. Легко доказать, что функция w = —— окруж-

иость отображает в окружность, Это свойство называют кру­ говым свойством отображения.

Д о к а з а т е л ь с т в о к р у г о в о г о с в о й с т в а

u

U* -f- Vs

V

U“ -f- V2

Рассматривая данное отображение как суперпозицию трех вышеуказанных отображений, прикопим к выводу, что дан­

поворота около z = 0 подобного преобразования и переноса.

Те оре м г 'L Дробно-линейная функция определяется од­ нозначно, если задано соответствие трех различных точек z:, Z2, z3 плоскости z трем различным точкам wb w2, w3 плоско­ сти w.

Д о к а з а т е л ь с т в о . По условию теоремы

Отсюда составляем выражения:

Из этих равенств составим выражение, исключающее все па­ раметры:

Это неявное выражение искомой дробно-линейной функции. Решив его относительно w, мы получим явное выражение

этой функции и найдем ее параметры А, а, D.

Рассмотрим важные для дальнейшего изучения конформ­ ных отображений определения.

1. Две точки Zi и z2 называют симметричными относитель­ но окружности I zI =R, если они лежат на одном луче, выхо­ дящем из центра окружности, и произведение их расстояний до центра равно R2, то есть | zL| • |z2| =R 2. Центр окружности считается симметричным точке z = oo.

2. Симметрию точек относительно прямой понимают в обычном смысле.

3. Отображение, переводящее каждую точку г в симмет­ ричную ей точку относительно данной окружности, называют инверсией относительно этой окружности.

Напримец, отображение w = -=~ есть инверсия относитель- z

но окружности |z| = l.

166

Действительно, пусть точка z->w, тогда

T. e. эти точки лежат на одном луче, выходящем из центра

рез Zi и z2 OA = R, поэтому | z11|z2| =ОА2.

Но из геометрии известно, что произведение секущей к ок­ ружности на ее внешнюю часть равно квадрату касательной. Следовательно, ОА — касательная к окружности Q (рис. 44). Поэтому ОА_І_ОіА и окружности ортогональны.

Т е о р е м а 3. Две пересекающиеся окружности Сі И С2, ортогональные третьей С, пересекаются в точках А! и А2, симметричных относительно окружности С (рис. 45).

cz

Рис. 45.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Проведем луч ОАі и допустим, что он пересекает окружность Сі в точке Аз, а окружность С2 — в точ­ ке A4. Но ввиду ортогональности С и Сі, С и С2 имеем:

ОАі ОА3 = R2,

ОАі -0A4=R 2.

П о э т о му ОАз= ОА4. Но А3 и А4 лежат на одном луче, поэто­ му А3 и А4 совпадают и находятся в точке А2. Итак, OArOA2-=R2, что и доказывает теорему.

Т е о р е м а 4. При отображении дробно-линейной функци­ ей точек, симметричных относительно некоторой окружности, они переходят в точки, симметричные относительно образа

Пусть С-*-С\ С|-»-Сі'. С2-э-С2'. и тогда образы С / и С2' булут ортогональны к окружности С/. Точки пересечения zi и z2 окружностей С] и С2 перейдут в точки W) и \ѵ2 окружностей

168

Выясним, во что' преобразуется, верхняя полуплоскость. Возьмем на границе верхней полуплоскости точки —1 , 0,1.

По условию —1->1, 0-м, 1м— 1 . Ввиду кругового свойства дробно-линейной функции следует, что ось ÖX отображается в окружность, проходящую через точки 1, і, —1. Отображение конформное; при движении через —1 . 0, 1 область лежит слева, а поэтому при движении через 1 , і, — 1 образ области, на которую отобразилась верхняя полуплоскость, должна ле­ жать слева. Значит, верхняя полуплоскость отображается на

круг I w I < 1 (рис. 46).

При решении многих задач на конформное отображение приходится с помощью дробно-линейной функции отображать верхнюю полуплоскость на.единичный круг. Таким отображе­ нием является.

w - Z ■ (Э = а + Ы ; b > 0) . z — Р

Эту формулу приводим без доказательства.

169

■ V