книги из ГПНТБ / Попов, М. Т. Основы теории функций комплексного переменного учеб. пособие

так. р а к д л я д ет к о й ф ун к ц и и

П р и м е р . Вычислить

теоремы 3, на действительной оси имеет когіечное число прос­ тых полюсов Xi, х2, ... , xm, то:,

і - 150

151

но ввиду четности подынтегральной функции

X (*■ + 1) dX = --- 25—

о

§ 3. Логарифмический вычет

Пусть функция f(z) аналитична в области D, за исключе нием конечного числа изолированных особых точек ак (к = 1 , 2, N), причем все ßk—полюсы, а на границе области нет ни

в ее особых точках ап (п—1 , 2, ... , г) —логарифмическими вычетами функции f(z).

Особыми точками функции <p(z) будут нули функции f(z) и полюсы ее. Можно показать, что вычет функции f(z) в каж­ дой из ее особых точек равен порядку інуля этой точки для функции f(z), т. е.

Выч ф (а/) = П|.

(п / —порядок нуля а / для функции f(z). Если ßk — по­ люс порядка Рк для функции f(z), то Выч ф(Пк)='—Рк. Можно доказать, что разность между полным числом нулей и полным числом полюсов функции f(z) в указанной облас­ ти D определяется равенством

\Нг)\ > jФ(z)I, то полное число нулей в области D функции F(z) = f (z) -f-ф(z) равно полному числу нулей функции f (z).

О с н о в н а я т е о р е м а в ы с ш е й а л г е б р ы

Многочлен п-ой степени имеет на комплексной плоскости ровно п нулей (с учетом их кратности).

152

153

ГЛАВА ДЕСЯТАЯ

КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

§1. Принципы конформного отображения

Вглаве 7 § 5 было показано, что отображение, осуществ­ ляемое однозначной и аналитической функцией f(z), обладает

свойствами сохранения углов и постоянства растяжений во всех точках, где f'(z)=?^Ö. Это означает, что угол между дву­ мя гладкими кривыми, пересекающимися в точке-го, равен по величине и по направлению углу между их образами на плоскости w в точке Wo=f(zp), и «бесконечно» малые линии, выходящие из z0, преобразуются в подобные. ^

Отображения, обладающие этими свойствами, называют конформнымиотображениями первого рода.

Итак, если w = f(z) однозначная и аналитическая функция,

154

На рис. 37 показан геометрический смысл к и argf'(z). Верно и такое предложение: если отображение w—f (z) кон­ формно в области D плоскости z, то f(z) аналитична во всех точках области D и Г (z) =^0 в этой области.

Пр и м е р . Найти угол поворота и коэффициент растяже­

w' = 2z + 3.

а) argw'(l) — arg5 = 0, k = I w'(l) I • ^ 5;.

двух отображений:

1 . w = f(z) — конформное отображение первого рода.

2 . wi = w — отображение, которое переводит любую точ­ ку w в симметричную ей точку wi относительно действитель­ ной оси, если плоскости w и W] совместить.

155

При этом любые два луча, угол между которыми а, перейдут в два луча, но угол между ними изменит знак — изменится ориентация (рис. 38).

W и W, соВмещены

Отображение, при котором сохраняются абсолютные вели­ чины углов между кривыми и их образами, но направление углов меняется на противоположное, и которое обладает свойством постоянства растяжений, называют конформным отображением второго рода.

В дальнейшем, говоря о конформном отображении, будем иметь в виду конформное отображение первого рода.

Определение. Отображение w—f(z) называют однолистным в области D плоскости z, если функция f(z) однозначна в этой области и любым двум различным точкам из D соответ­ ствуют различные точки (образы) плоскости w.

Без доказательства рассмотрим принципы отображения. П р и н ц и п с о х р а н е н и я о б л а с т и

Если функция w = f(z) однолистна и непрерывна в облас­ ти D, то множество G, на которое эта функция отображает об­ ласть D, тоже будет областью и обратная функция z = G(w) непрерывна в области G.

156

Т е о р е м а с у щ е с т в о в а н и я

Если D и G односвязные области, границы которых имеют более чем одну точку, то существует однолистное и конформ­ ное отображение w = f(z) области D в область G.

Можно доказать, что таких отображений бесконечное мно­ жество, а чтобы найти определенное отображение Hz), нужно задать дополнительные,.условия, которые называют норми­ ровкой. Такой нормировкой может быть

f(z0) = w0, arg f' (z0) = сро • П р и н ц и п с о о т в е т с т в и я г р а н и ц

Если в области D, ограниченной контуром I, задана одно­

листная и аналитическая функция w = f(z), непрерывная в D, и она отображает контур I на контур L и при этом сохраняет­ ся направление обхода контуров, то функция f(z) осуществля­ ет отображение области D на внутреннюю область, ограничен­

(і=¥=0, vj'—a -фО, а значит, конформное. По условиям норми­ ровки a -fb = 1 ,

° ( 1 + 0 + b = 2 + і .

157

Так как отображение конформное, то обходу контура Z]Z2Z3 против часовой стрелки будет соответствовать обход по кон­ туру \ѵі'ѵ2\ѵз, и область, в которую отобразится треугольник Z1Z2Z3, останется внутри контура WiW2w3.' Во что же отобра­ зится отрезок z1Z2? Здесь

w = (1 — 0 ( 1 + уі) + 1 = 1 + у + у і; w = и + ѵі = I -j- у -f- у і;

| u==y+l'

l V — у

u = v-f-l — это уравнение прямой WiW2. Итак.

ZjZ2 - > w tw 2 .

Аналогично доказывается, что отрезки z2z3 и z3zt отображают­ ся в отрезки w2W3 и w3w’i.

§ 2. Задача конфордіного отображения

Основная задача теории конформных отображений состоит

Найти функцию w = f(z), однолистно и конформно отобража­ ющую область D на область G.

При решении таких задач часто бывает удобным найти

.158

отображение каждой из этих областей D и G на некоторую «стандартную» область плоскости ѵ/ь например, на верхнюю' полуплоскость или единичный круг | wi | <l .

В самом деле, если функция Wi = <p(z) отображает область D на эту «стандартную» область, а Wi = ^(w) отображает об­ ласть G на ту же область, то из wi=i|)(w) находится обрат­ ное отображение w = g(wi), и тогда отображение w = g[cp(z)]

будет искомым.

При решении задач на конформное отображение в неко­ торых случаях приходится выяснять, является ли конформ­

w

Например, дано отображение w = a z - J - b (а Ф 0 ) . Выясним,, конформно ли отображение окрестности точки Zo = °o на ок­ рестность точки Wo = 0. Полагаем

Эта функция окрестность точки у = 0 конформно отображает на окрестность точку t = 0, так как

прямыми в точке z = oc называют угол между этими прямыми в конечной точке их пересечения, взятый с противоположным знаком. Если прямые параллельны, то угол между ними в точке z = oo принимается, равным нулю.

Это определение также используется для выяснения кон­ формности отображения в точке ‘Z = co.

159