книги из ГПНТБ / Попов, М. Т. Основы теории функций комплексного переменного учеб. пособие

Рис. 27.

Подынтегральная функция в области, заключенной между контурами L и С, аналитическая, так как единственной осо­ бой точкой является точка t = z, которая в эту область не входит; поэтому применим теорему Коши. Так как функция f(z) является аналитической, а следовательно, и непрерыв­ ной в области D, то для любого е>0 (как бы мало оно ни было) можно подобрать радиус окружности С настолько ма­ лым, что для любой точки t окружности С

(1 1 8 )

С

100

нием г (это следует из теоремы Коши и равенства (114), по­ этому знак предела в левой части (118) можно опустить. Тогда

Полученное выражение называется интегральной формулой Коши, а интеграл, стоящий в правой части (119), — интегра­ лом Коши. Интегральная формула Коши позволяет нахо­ дить значения аналитической функции в любой точке, лежа­ щей внутри области D, если известны значения этой функ­ ции на контуре, ограничивающем эту область. Если точка г лежит вне области D, то интеграл Коши равен нулю, что сле­ дует из теоремы Коши, так как в этом случае подынтеграль­ ная функция является аналитической в области D. Если об­ ласть D многосвязная, то, используя теорему Коши для мно­ госвязной области, интегральную формулу Коши легко можно обобщить для сложного контура L, ограничивающего эту область.

Рассмотрим случай, когда замкнутая область D ограни­ чена сложным контуром L=Li-HLa+L3 (рис. 28). Выберем внутри области D произвольную точку z и построим ее неко­ торую окружность С с центром в точке г. Функция t(zj вне

ЮІ-'

где оба контура L и С обходятся в положительном направле­ нии. ■

Интеграл; стоящий в правой части, вычислен по простому контуру, и к нему применима интегральная формула Коши

(119):

с

Следовательно, и для интеграла, взятого по сложному конту­ ру L, будем иметь:

102

Окончательно —

Интегральная формула Коши остается справедливой и для сложного контура. С помощью интегральной формулы Коши можно вычислить некоторые интегралы от. аналитических функций по замкнутому контуру.

L

радиус которой равен 2. Центр ее в точке Зі (рис. 29).

pZ

Функция f (z) = внутри круга, ограниченного окруж­

ностью L, аналитична. Поэтому, применяя формулу Коши, получим:

§ 9. Производные высших порядков от аналитической функции

Для изучения теории аналитических функций и различ­ ных приложений большое значение имеет следующая теоре­ ма.

103

вольное приращение z, но настолько малое по абсолютной величине, что точка z-j-Az тоже принадлежит D. Используя интегральную формулу Коши, будем иметь:

L

104

I t — z — Д z I !> I t — z I — 1A z I > 2 8 — 8 = 8,

Применяя теперь теорему об оценке интеграла, получаем:

где X — длина контура L. Из неравенства (122) следует: ог­ раниченность интеграла, стоящего в левой части неравенства (122), и второе слагаемое в правой части равенства (121) обращаются в нуль. Окончательно имеем:

Получили выражение для первой йроизводной функции f(z).

105

Проведя аналогичные выкладки для функции f'(z), полу­ чим:

Аналогично получим выражение для производной любого по­ рядка:

ной формулы Коши в результате последовательного диффе­ ренцирования под знаком интеграла по z п раз. Таким обра­

тый контур, однократно обходящий точку і. Применяя форму­

§10. Интегралы типа Коши

В§ 8 последней главы был рассмотрен интеграл Коши

вида:

106

ной этим контуром. Если считать, что L — произвольная ку­ сочно-гладкая дуга, а функция f(t) непрёрывна лишь вдоль контура L, то интеграл (124) называют интегралом типа Ко­ ши. Очевидно, интеграл Коши является частным случаем интеграла типа Коши.

Функция

L

определена всюду, кроме точек дуги L, так как в любой точ­ ке z, не принадлежащей L, интеграл типа Коши существует (точкой разрыва является только лишь точка t= z).

Можно было бы показать, что производные высших по­ рядков для функции (125) в любой точке z, не принадлежа­ щей дуге L, вычисляют так же, как и соответствующие про­ изводные для функции, определяемой интегралом Коши, то есть

Это значит, что все производные F (z) являются аналитиче­ скими функциями в любой точке, не лежащей на дуге L.

называется рядом с комплексными членами. Основные опре­ деления и признаки сходимости числовых рядов с действи-

107

членами можно свести к изучению сходимости рядов с дей­ ствительными членами, если рассмотреть два числовых ряда,

108

Sn = orn+icFn. Для того чтобы последовательность {Sn| схо­

дилась и имела конечный предел S=limSn, необходимо и до-

П-> ОО

статочно, чтобы каждая из последовательностей {оп} и {а'п} также сходилась и имела конечные пределы

откуда и следует справедливость теоремы, так как только в этом случае существует конечный предел S= o+io'.

Из этой же теоремы получаем необходимый признак схо­ димости рядов с комплексными членами, аналогичный соот­ ветствующему признаку для рядов с действительными члена­ ми.

Н е о б х о д и м ы й п р и з н а к

Если ряд (128) с комплексными членами сходится, то об­

то сходится и ряд "(128), называемый в этом случае абсолют­ но сходящимся.

в силу признака сравнения следует абсолютная сходимость рядов (129) и (130). Используя теорему 1, можем сделать заключение, что и ряд (128) сходится. Основные свойства аб­ солютно сходящихся рядов с комплексными членами не от­

109