книги из ГПНТБ / Попов, М. Т. Основы теории функций комплексного переменного учеб. пособие

f (z) = (z - a)m [cm + cra+1 (z - a) + ... + cn (z - a)n- m + ...].

Если m=l , то точка а называется простым нулем функции f(z). Если гп>1, то точка а называется ш-кратным нулем функции f(z).

§7. Особые точки аналитической функции

иих классификация

Оп р е д е л е н и е 1. Точка а, принадлежащая области D, называется особой точкой функции f(z), если функция f(z) в этой точке не является аналитической (в частности в особых точках f(z) может быть не определена).

О п р е д е л е н и е 2. Точка z = а называется изолированной особой точкой функции f(z), если существует такая ок­ рестность точки z = a, в которой она является единственной особой точкой. В основу классификации изолированных осо­ бых точек положено разложение функции f(z) в ряд Лорана по степеням (z—а), где а — изолированная особая точка функции f(z).

1. Если разложение аналитической функции f(z) в ряд Лорана не содержит отрицательных степеней г—а, то точка г = а называется устранимой особой точкой функции f(z).

2.Если разложение аналитической функции f(z) в ряд Лорана содержит конечное число членов с отрицательными степенями z—а, то точка а называется полюсом функции f(z).

3.Если разложение аналитической функции в ряд Лорана содержит бесконечное число членов с отрицательными степе­ нями разности z—а, то точка z—а называется существенно особой точкой функции f(z).

Следует иметь в виду, что нужно рассматривать те лорановские разложения, которые сходятся в некоторой окрест­ ности |z—a | < R исследуемой точки,

В качестве примера рассмотрим ряд Лорана

Он содержит бесконечное множество членов с отрицательны­

130

2~

Следовательно, область сходимости данного ряда есть коль­

функции, для которой начало координат является правильной точкой, и вёё ее особые точки сводятся к двум простым полю­

в ряд Лорана в каждой внутренней точке круга |z —a| <R,.TO, внутри этого круга нет особых точек. Особые точки могут быть только на его границе, то есть на окружности |z—ä\ = R,

Лорана по степеням разности z—а будет состоять только из правильной его' части:

г —а. Функция l(z) совпадает с суммой ряда во всех точках z круга его сходимости. Если положить f (а) = с0, то эта функ­ ция совпадает с суммой ряда и в точке г —а. Определив функ­

•во всей плоскости и представляется в каждой точке плоско­ сти ряда Тейлора:

sin z ----- z

3! + 5! 7! + "•

Считая Zt^O, разделим этот ряд на г:

нием единственной точки z = 0. Поэтому точка z=0 есть уст­ ранимая особая точка данной функции. Так как сумма ряда

Эта функция совпадает с суммой ряда и в точке z = 0.

Если точка а есть устранимая особая точка функции f(z),

то lim f (z) = со. Отсюда следует, что существуют такие числа

2-*а

«М>0 и б>0, что If(z) I <М при |z—a |< 6, то есть в доста­ точно малой окрестности устранимой особой точки данная функция ограничена по модулю. Справедливо и обратное ут­ верждение: если функция ограничена в окрестности изолиро­ ванной особой точки, то эта точка есть устранимая особая

точка.

2. П о в е д е н и е ф у н к ц и и в о к р е с т н о с т и п о л ю с а .

132

Mm(z — a)m f(z) = с_га или limf(z) = Hm(z — а)m

то есть в окрестности своего полюса аналитическая функция неограниченно растет.

Каждый пблюс функции f(z) будет нулем функции *

и наоборот, каждый нуль функции f(z) будет полюсом функ-

ции

1

f(.z)

Пр и м е р . Рассмотрим функцию ctg г = cos z • Полюсами

этой функции будут нули функции smz' то есть точки z = 2 kя, где к — любое целое число. Напишем разложение ctgz в ряд

Ряды (163) и (164), в силу их равномерной сходимости, до­ пускают почленное деление. Считая г = 2кя — любое целое число, разделим ряд (163) на ряд (164) по правилу деления многочленов. Выполнив операцию деления,1 получим

z=0. Это разложение свидетельствует, что точка z = 0 являет­ ся простым полюсом функции ctgz.

133

3- Проведение ф у н к ц и и .

в о к р е с т н о с т и с у щ е с т в е н н о о с о б о й т о ч к и

Поведение функции в окрестности существенно особой точки впервые было изучено Ю. В. Сохоцким. Им доказана следующая теорема, которую мы приводим без доказатель­ ства.

Т е о р е м а . Каково бы ни было комплексное число А (ко­ нечное или бесконечное), существует последовательность зна­ чений аргумента

' ,

сходящаяся к существенно особой точке а, для которой по­ следовательность значений функции, {f (zn)} сходится к А, го есть

Это разложение показывает, что точка z= 0 является сущест­ венно особой для данной функции.

Покажем, что для любого числа А можно подобрать та­ кую последовательность точек Zk->0, что соответствующая по­

134

Рассмотрим последовательность точек {zk} —

k

Л

Имеем zk-*-0 при k->-oo. В этом случае е Zk = — >-0при k-»oo.

в) А — любое комплексное число, причем А=/=оо и А #0 . Найдем такую последовательность {zk} точек, сходящую­

Пусть е z = А. Тогда по, определению комплексного лога-, рифма будем иметь

получим последовательность точек, сходящуюся к нулю, удов­ летворяющую условию:

1

f (zk) = е Zk = А.

Следовательно,

1

lim е Zk = А . Zk—0

Выводы

1.В окрестности устранимой особой точки ряд Лорана схо­

135

2. В окрестности полюса г = а функция f(z) неограничен­ но растет.

3. Для любого комплексного числа А в окрестности суще­ ственно особой точки z = а существует последовательность значений аргумента {zn}, сходящаяся к точке а, для которой последовательность значений функции (f(zn)} сходится к А.

§ 8. Теорема единственности и аналитическое продолжение

Мы доказали, что аналитическая в некоторой области D

му, докажем свойство единственности аналитической функции

EcrD, имеющем по крайней мере предельную точку й е D, то

в ряд Тейлора в окрестности точки а, внутри круга радиуса г. Тогда на основании указанной выше теоремы и внутри круга |z—а [^ Г |< г будут справедливы следующие равенства:

136

Из этого равенства аналогично предыдущему получаем а\ —Ь,.

Пусть теперь zo— любая внутренняя точка области D. Сое­ диним а е z0 непрерывной линией L, лежащей внутри облас­ ти D и рассмотрим круг |z —f [ < r 2, где te L , а г2 меньше, чем расстояние между L и границей Г области. Передвигая центр' круга |z —т| < г2 из точки а Вдоль L к точке Zo и повторяя все вышеприведенные рассуждения, приходим к заключению, что f(Zo)=(jP'(z0).

Так каК z0 — произвольная Точка области D, то тем самым теорема доказана полностью, из теоремы единственности, в частности, следует, что две функции, аналитические в некото­ рой области, тождественны на сколь угодно малой площадке, принадлежащей этой области, и даже на сколь угодно малой дуге. С теоремой единственности тесно связано очень важное понятие' аналитического продолжения.

Пусть в некоторой области D задана функция f(z), анали­ тическая в этой области. Задача аналитического продолжения фукции f(z) заключается В таком распространении определе­ ния этой функции на возможно более широкую область, чем область D, где бы эта функция была также аналитической, а в области D совпадала с f(z).

Если такая функция существует, то она называется анали­ тическим продолжением функции f(z). Отметим следующее

137

важное свойство аналитического продолжения. Пусть функ­ ция fi(z) аналитическая в области Di. Построим новую об­ ласть Ö2, имеющую с Di общую часть Dj,2 (рис. 36). В облас­ ти D2 зададим функцию f2(z), аналитическую и совпадающую

Пусть f2 (z) является аналитическим продолжением функ­

в области D i >2 (p(z)=0, так как в этой области f2 (z) = f 2*(z). Тогда в силу единственности аналитической функции следует,

может быть только единственным. • - Простейшим примером аналитического продолжения мо­

жет служить переход от функций действительного переменно­ го ех, sin X, cos X к функциям ez, sin z, cos z комплексного пе­ ременного.

138

Переход этот можно осуществить заменой в степенных ря­

действительного переменного х-комплексным переменным г. Эти функции являются аналитическим продолжением функ­ ций, определенных только для действительной оси на всю комплексную плоскость. При этом ряды эти остаются сходя­

щимися.

Ой

Рассмотрим еще пример степенного ряда Ezn, сходящегося П=0

в единичном круге J z | < 1. В этом круге его суммой является

Хотя вне единичного круга ряд расходится, функцию f(z) можно аналитически продолжить на более широкую область, представляющую всю плоскость, за исключением точки z=l ,

литическая во всей плоскости, кроме точки z= 1 , а внутри кру­

ГЛАВА ДЕВЯТАЯ

ВЫЧЕТЫ ФУНКЦИИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

§ 1. Определение и вычисление вычета функции

139