книги из ГПНТБ / Попов, М. Т. Основы теории функций комплексного переменного учеб. пособие

личаются от соответствующих свойств рядов с действитель­ ными членами.

В дальнейшем нам придется пользоваться в основном аб­ солютно сходящимся рядом, а следовательно, исследовать сходимость ряда (131) с действительными и положительны­ ми членами. Для исследования таких рядов применимы все

§ 2. Функциональные ряды

Ряд, членами котор'ого являются функции комплексного переменного z, называется функциональным:

Здесь предполагается, что все функции, являющиеся члена­ ми ряда (132), определены в одной и той же области. Час­ тичная сумма ряда (132)

S n (z) = fi (z) ~f" hi.7-)+ ••• + fn (z)

также будет функцией переменного г.

Придавая различные значения аргументу z, будем полу­ чать различные числовые ряды. Некоторые из них могут ока­ заться сходящимися, другие — расходящимися.

Если во всех точках z области D образованные таким образом числовые ряды сходятся, то говорят, что функцио­ нальный ряд (132) сходится в области D.

Сумма S (z) = lim Sn(z) ряда (132) определится в этом

Поо

случае в области D как некоторая функция от г. Остатком ряда (132) называется разность между суммой S(z) ряда и его частичной суммой Sn(z):

Rn(z) = S(z) - Sn(z) = fn+1(z) + fn+2(z) + •••

110

В каждой точке сходимости ряда (132)

HmRn(z) = 0.

П-^оо

Последнее условие можно записать так: если ряд (132) в данной точке z сходится, то для любого в>0 можно подобрать такое число N, что при n>N модуль остатка ряда удовлет­ воряет неравенству:

вается сходимость ряда. Поэтому обычно пишут N=N(e, г). Но может оказаться, что для ряда (132) найдется такое чис­ ло N, зависящее только от е и не зависящее от точки z, что при N>N(e) будет выполняться неравенство (133). В этом случае ряд (132) называют равномерно сходящимся. Дадим следующее определение равномерно сходящемуся ряду.

О п р е д е л е н и е . Ряд (132), сходящийся в области D, называется равномерно сходящимся в этой области, если для

имеют непрерывную сумму S(z). Такие ряды можно почлен­

=І I U z ) d z ,

n = l /

где / — любой контур, принадлежащий области D; S(z) — сумма ряда (132).

Т е о р е м а 2 (теорема Вейерштрасса). Если чле'ны ряда (132) аналитичны в области D и ряд сходится в этой области

111

I

равномерно, то сумма S(z) ряда тоже аналитична в этой об­ ласти и

Причем полученный ряд также равномерно сходится в облас­

!области D модуль каждого члена ряда (132) не превосходит соответствующего члена какого-либо сходящегося числового ряда с положительными членами

Следовательно, таким же неравенствам удовлетворяют час­ тичные суммы рядов (132) и (134), а их остатки —

Так как ряд (134) сходится, то для любого е>0 можно подобрать такое N (е) (N зависит только от е, так как ряд (134) числовой), что для всех n>N будет иметь место нера­ венство гп<е. Но тогда |Rn(z) | ^ г п<е.

Из последнего неравенства и следует, что ряд (132) сходит­ ся равномерно.

называется степенным, если со, сь ..., cn — комплексные по­ стоянные числа. Основной теоремой, позволяющей опреде-

112

лять область сходимости -степенного ряда, является теорема Абеля.

у

X.

Рис. 31.

Преобразуем общий член ряда (136) так:

Отсюда можно записать:

М + Mq -f Mq' + ... + Щ п + •••

со знаменателем q, меньшим единицы, то ряд (136) сходится абсолютно. В силу признака Вейерштрасса ряд (1361 сходит­ ся и равномерно во всяком круге радиусом | z | < | z 0(.

Действительно, если предположить, что ряд сходится в ка­

1. Ряд (136) сходится во всех точках этого луча.

Из теоремы Абеля тогда следует, что ряд абсолютно и рав­

ся в нуль. В этом случае, на основании следствия из теоре­ мы Абеля, ряд расходится во всейплоскости z, кроме точки z= 0.

3. На луче имеются как точки сходимости ряда (136), от­ личные от z=0, так и точки расходимости ряда.

Из теоремы Абеля следует, что всякая точка сходимости ряда находится ближе к нулевой точке, чем всякая точка расходимости. Следовательно, на луче найдется точка z, от­ деляющая точки луча, в которых ряд сходится, от точек лу­ ча, в которых ряд расходится. В самой точке z (рис. 32) ряд может как сходиться, так и расходиться. Величина |z * |= r называется радиусом сходимости ряда (136), а круг I z I < г —■кругом сходимости ряда.

В первых двух случаях будем соответственно считать, что радиус сходимости равен бесконечности и нулю. Радиус,

114

Рис. 32.

сходимости степенного ряда можно определить, пользуясь признаками Даламбера или Коши. .

Пусть существует конечный или бесконечный предел

L = lim СП+1

П -*-оо

Тогда в силу признака Даламбера ряд (136) сходится, если

то есть при I z| > ~y~ . Следовательно, радиус сходимости ряда

(136) можно отыскать по формуле:

Используя признак Коши,, аналогично можно получить еще

\

одну формулу для определения радиуса сходимости ряда

(136):

где а — любое комплексное число. Подстановкой z—а = г' он

всяком замкнутом круге меньшего радиуса — и равномерно. Как и для ряда с действительными членами, сумма геомет­ рической прогрессии внутри круга сходимости ( | z ] < 1) рав-

1

§ 4. Ряд Тейлора

Рассмотрим степенной ряд

В силу теоремы Абеля данный ряд сходится равномерно в замкнутом круге п, так что \г—а |^ г і < г и имеет своей сум­ мой некоторую функцию f ( z ) :

f(z) = Со + ci(z - °) + с2 (7 - аУ + ••• + cn(z — ß)n + ...

(141)

116

На основании, теоремы Вейерштрасса (§2) этот ряд мож­ но почленно дифференцировать, так как члены ряда (141) аналитичны во всей плоскости г и функция f(z) аналитична внутри круга сходимости ряда | z—а] <г, причем ряд, полу^ ченный от начального дифференцирования ряда (141)

f'(z) = с, + 2 c2 ( z - а) -f ... + псп (z - а)"“ 1-f ..., (142)

также равномерно сходится в замкнутом круге |z —o j^ r -|< r,

Дифференцируя почленно ряд (142), получим новый ряд с тем же радиусом сходимости г. Таким образом, ряд (142)

можно почленно дифференцировать бесчисленное множество раз, и радиусы сходимости получающихся рядов будут те же самые, что и ряда (141):

117

Степенной ряд (144) называется рядом Тейлора для функ­ ции f(z) в окрестности точки z=<а.

Таким образом, мы получим ряд Тейлора для некоторой аналитической в круге сходимости функции f(z), являющей­ ся суммой степенного ряда, где коэффициенты ряда выраже­ ны через производные данной функции.

Выясним теперь, всякую ли аналитическую в некотором круге функцию f(z) можно разложить в ряд Тейлора и будет

jz—a t—Г). Так как функция f(z) аналитична в круге |z —о] sS^ri, то по формуле Коши (глава 7, § 8)

где / обходится в положительном направлении и точка t ле­ жит на контуре /. Преобразуем один из множителей подын-

118

и выражение (146) можно представить в виде суммы беско­ нечной геометрической прогрессии:

При фиксированном z ряд (147) равномерно сходится на ок­ ружности / относительно t (см. пример 1 § 3).

Подставив полученное выражение в равенство (145), по­ членно интегрируя и используя (12Q), будем иметь:

I

Мы получим разложение f(z) в ряд Тейлора для круга )z—о |< г . Это разложение является и единственным, так как мы выяснили при определении ряда Тейлора (144), что лю­

119