книги из ГПНТБ / Попов, М. Т. Основы теории функций комплексного переменного учеб. пособие

Построение точек, соответствующих найденным значениям

•корня, дано на рис. 5.

ГЛАВА ВТОРАЯ

ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

§ 1. Понятие функции комплексного переменного и ее геометрическая интерпретация

Определение функции действительного переменного мы давали, опираясь на понятие множества. В основе определе­ ния функции комплексного переменного также остается поня­ тие множества. Условимся считать множество Е комплексных чисел заданным, если указан способ, по которому можно ус­ тановить принадлежность его множеству Е. Например, соот­ ношение Jz J^ R определяет множество комплексных чисел, модуль которых меньше или равен данному положительному числу R.

Так как каждое комплексное число изображается точкой Плоскости, то, задавая множество комплексных чисел, счита­ ем заданным множество соответствующих им точек плоскости. Наоборот, задав некоторое множество Е точек плоскости,

считаем заданным множество комплексных чисел, соответст­ вующих этим точкам. В дальнейшем будем рассматривать множество Е как множество комплексных чисел и как множе­ ство соответствующих им точек плоскости. Вышезаписанное соотношение |z | ^ R определяет множество точек плоскости, лежащих в круге

X2 + у2 = R2,

включая в это множество и точки окружности.

Функцию комплексного переменного определяют так же, как и функцию действительного переменного: говорят, что на множестве Е комплексных чисел z задана комплексная функция w =f(z) комплексного переменного, если каждому числу z, принадлежащему множеству Е, поставлено в соот­ ветствие некоторое комплексное число w.

20

Множество значений аргумента z обозначают через Ez, а множество значений функции w — через EwЕсли каждо­ му комплексному числу z e E z поставлено в соответствие един­ ственное число weEw, то комплексная функция w =f(z) на­ зывается однозначной. Если каждому комплексному числу ze=Ez поставлено в соответствие несколько (более одного) комплексных чисел w = E w, то комплексная функция w = f(z) называется многозначной.

При изучении функций пользуются следующими записями

ский смысл. Каждой точке z e E Zl заданной в плоскости z, е по­

каждая точка z e E z плоскости z функции w =f(z) переводит­ ся (отображается) в определенную точку w e E w плоскости w. Например, точка Zi = 2—і плоскости z при помощи функции w~2z переводится (отображается) в точку Wi = 4—2і плоско сти w; точка z2 = —І + І 2 отображается в точку w2= —2+2 і; точка z=0 — в точку w =0 и т. д.

Множество Ez точек плоскости г при помощи функции

отображается во множество Ew точек плоскости w. Множе­ ство Ez точек плоскости г называют отображаемым множест­ вом, а множество Ew точек плоскости w — отображающим множеством или говорят, что множество Ew является образом множества Ez, а множество Ez — прообразом множества EwЧтобы было легче запомнить, какоё множество отображае­ мое-, а какое — отображающее, рекомендуют такую аналогию. Возьмем зеркало, которое считаем функцией, законом отобра­ жения. Тогда предмет, стоящий перед зеркалом, есть мно­ жество значений аргумента — отображаемое множество, а изображение предмета в зеркале есть множество значений

21

>

функций — отображающее множество; предмет — прообраз, а изображение его в зеркале — образ.

Таким образом, с геометрической точки зрения функция

w = f(z)

комплексного переменного понимается как «отображение» одной плоскости (плоскости z) на другую (плоскость w), то

есть как отображение плоскости, на плоскость.

• Для функций действительного переменного имеем такую же картину. Функция y = f(x) действительного переменного с геометрической точки зрения давала отображение прямой на прямую, отображение точек оси ох в точки оси оу.

§ 2. Выделение действительной и мнимой частей комплексной функции

Задать комплексное число г или точку z плоскости — зна­ чит указать два действительных числа х и у — действитель­ ную и мнимую части комплексного числа или прямоугольные координаты точки. Таким образом, задание одного комплекс­ ного числа z эквивалентно заданию двух действительных чи­ сел X и у. Точно так же, чтобы задать комплексное число w, нужно задать два действительных числа и и ѵ.

Возвращаясь к функции комплексного переменного, за­ мечаем, что поставить в соответствие комплексному числу z = x+iy комплексное число w можно тогда, когда найдем два действительных числа и и у, каждое из которых соответству­ ет двум действительным числам х и у.

Следовательно, задание одной функции комплексного пе­ ременного W—f(z) равносильно заданию двух функций от двух действительных переменных

(15)

Переменные х н у есть координаты точки на плоскости z, а и и V — координаты точки на плоскости w. Учитывая выраже­

Функции u (x, у) и V (x, у) называются действительной и мни­ мой частями функции комплексного переменного. Действи­ тельная и мнимая части функции комплексного переменного

22

используются при исследовании свойств функции комплекс­ ного переменного, так как дают возможность основываться на функциях действительного переменного, а также при пост­ роении отображения, даваемого комплексной функцией.

П р и м е р . Выделить действительную и мнимую части функции w = z2 и исследовать отображение, данное этой функ­ цией.

Для того чтобы выделить действительную и мнимую части функции w = z2, запишем число z в алгебраической форме, обозначив его действительную и мнимую части через х и у; найдем квадрат этого числа:

z2 = (х -J- іу)? = X2 -f- 2ixy -f i2y2 = (x2 — y2) + 2ixy .

Обозначив действительную и мнимую части числа w через

ии V, получим равенство

и+ іѵ = (х* — у2) -f 2іху,

которое равносильно равенствам в области действительных чисел:

ц(х, у) = X2 — у2

ѵ(х, у) = 2ху

Полученные выражения дают действительную и мнимую ча­ сти функции W—z2, каждая из которых является функцией от двух действительных переменных.

Чтобы найти отображение плоскости z на плоскость w, нужно каждой точке плоскости г найти соответствующую точ­ ку на плоскости \ѵ.

Но построение отображений отдельных точек не дает воз­ можности изучить свойства отображения, даваемого заданной функцией. Для того чтобы более полно выяснить свойства отображения, получаемого при помощи заданной функции, на плоскости z берут какое-либо определенное множество то­ чек и на плоскости w находят образ этого множества.

Рассмотрим, в какое-множество точек плоскости w отобра­ зятся при помощи функции w = z2 точки прямой х—а (аФ 0),

23

пзятой на плоскости г. Подставляя х= а в выражения (17), находим:

и = а2 — уг , V = 2 ау .

Исключая из полученной системы переменное у, после не­ больших преобразований получим уравнение

V2 = — 4а2 (и — а- ),

устанавливающее связь между координатами точек плоско­ сти w, множество которых является образом прямой х—а. Это есть парабола, вершина которой расположена вправо от начала координат на действительной оси, а ветви параболы направлены влево. Замечаем, что параметр а входит в полу­ ченное уравнение во второй, степени. Следовательно, прямые, проведенные в плоскости г параллельно мнимой оси на оди­ наковом расстоянии от нее, отображаются в одну и ту же па­ раболу на плоскости w. Рассмотрим случай, когда х=0, то есть на плоскости w найдем образ, прообразом которого яв­

точки действительной оси плоскости w, расположенные влево от начала координат. Теперь определим образы прямых, па­ раллельных действительной оси. Подставляя в выражения (17) у=Ь (Ь=#=0), исключая переменное х, получим:

V2 = 4Ь*(и + Ь*).

Эти прямые опять отображаются в параболы, вершины кото­ рых расположены на действительной оси влево от начала ко­ ординат, а ветви направлены вправо. Причем прямые, парал­

лельные действительной оси и отстоящие от нее на равных расстояниях, отображаются в одну и ту же параболу. Полагая у=0, получим: и= х2, ѵ=0, то есть действительная ось пло­ скости z отображается в точки действительной оси плоскости \ѵ, расположенные вправо от начала координат. Расположе­ ние образов и прообразов см. на рис. 6.

Выясним еще одно свойство отображения, даваемого функ­ цией \v=z2. Прообразы — прямые, параллельные осям коор­ динат плоскости z, пересекаются под прямым углом. Найдем уюл, под которым пересекаются их образы — параболы в

24

плоскости w. Сначала нужно определить точки пересечения парабол:

I V2 = — 4а2 (и — а2) )

II V2 = 4 Ь2 (и + Ь2) Г

Решая эту систему уравнений, найдем:

и = а 2—Ь2, v = ±2ab, то есть параболы пересекаются в точ­ ках

А (а2 —Ь2; 2аЬ) и В (а2 — Ь2; — 2аЬ).

Углом пересечения кривых называется угол, под которым пересекаются касательные к этим кривым, проходящие через точку их пересечения. Угловые коэффициенты касательных к рассматриваемым параболам определяются выражениями:

k, = V,'

2Ь2

V

Подставив в эти выражения координаты точки А, получим:

к, =

Ъ_

а

іеперь, воспользовавшись известной в аналитической геомет-

25

рии формулой, найдем угол между касательными. Обозначив этот угол через Ѳ (см. рис. 7), будем иметь

Значит, параболы пересекаются под прямым углом.

Проведенные исследования приводят к выводу, что при отоб­ ражении, даваемом функцией W = z2, прямые, параллельные осям координат, отображаются в параболы, пересекающиеся

под прямым углом. Отображение в данном случае не изме­ няет угла между линиями, то есть сохраняет величину углов.

В заключение следует отметить, что выделение действи­ тельной и мнимой частей функции комплексного переменного позволяет вычислить ее модуль и аргумент. Пусть дана функ­ ция

26

Arg w = Arg z2 = Are tg -j -X^

§ 3. Понятие области

Функцию комплексного переменного W = f(z) определяют на произвольном множестве Ег. При изучении свойств функ­ ции комплексного переменного целесообразно ее рассматри­ вать не на произвольном множестве точек, а на множестве, обладающем некоторыми, заранее установленными свойства­ ми. В качестве такого множества берут область. Определе­ ние области опирается на понятие внутренней точки множества.

Точка Pz называется внутренней точкой множества Ez, ес­ ли все точки достаточно малого круга с центром в точке P(Z, принадлежат множеству Ez.

Пр и ме р . Пусть Ez есть множество точек плоскости, ко­ ординаты которых удовлетворяют соотношение |z |^ R , то есть множество точек круга радиуса R с центром в начале, включая и точки окружности. Все точки этого множества, за исключением окружности x2+ y 2 = R2, будут внутренними. Точки окружности не являются внутренними в рассматривае­ мом множестве.

О п р е д е л е н и е . Областью называют множество D то­ чек плоскости, удовлетворяющее следующим двум свойствам:

1.Множество D состоит только из внутренних точек.

2.Любые две точки множества D можно соединить непре­ рывной линией, все точки которой принадлежат множеству D.

Границы области не принадлежат этому множеству. По­ этому область является открытым множеством.

П р и м е р ы о б л а с т е й : 1) множество точек, заключен­ ных между двумя концентрическими окружностями (рис. 8);

Пусть дана некоторая область D. Все точки плоскости по отношению к области D делят на два класса: точки, принад­ лежащие области D (первый класс), и точки, не принадлежа­ щие области D (второй класс). Возьмем точку Q второго класса по отношению к области D. Может оказаться, что все точки некоторого, хотя бы и очень небольшого, круга с цент­ ром в Q будут точками второго класса. Точка Q в этом слу­ чае называется внешней по отношению к области D. Если в

27

как угодно малом круге с центром в Q будут находиться точ­ ки области D, то Q называется граничной точкой области D. Совокупность всех граничных точек называется границей об­ ласти D. Множество, состоящее из области D и ее границы,

называется замкнутым и обозначается D.

Пусть на плоскости дана кривая линия, определяемая уравнениями:

X = (р (t) ,

У = Ф(t),

где

Если эта кривая не пересекает саму себя,‘то она называется простой кривой Жордана. И если, кроме того, начальная и конечная точки кривой совпадают, то есть

ф(а) = ф([3),

Ф(«) = Ф(Р),

28

то кривая Жордана называется замкнутой. Примером зам­ кнутой кривой Жордана может служить окружность

X= R c o st,

у= Rsint,

где

Область, ограниченная замкнутой кривой Жордана, может обладать следующим свойством: какую бы замкнутую непре­ рывную линию ни провели в этой области, внутренняя часть линии будет принадлежать этой области. Область, обладаю­ щую указанным свойством, называют односвязной, не обла­ дающую — многосвязной. Примеры односвязных и многосвязных областей показаны на рис. 11, 12, 13, 14.

Рис. 13.

Область называется ограниченной, если все ее точки ле­ жат внутри некоторого круга достаточно большого радиуса с центром в начале. В противном случае область называется не­ ограниченной. Примером ограниченной области может слу­

29