Пример1.

Наиспытаниебылопоставлено

1000 однотипных электрических ламп.За3000 часов отказало80ламп.

Заинтервалвремени3000–4000часов

отказалоеще50ламп.

Определитьвеличину(t)инаинтервале3000–4000час.

(t)

Расчет

(t)

0 3000 4000

Имеем

N_i=920,

N_i1=870,

^Ncp

_920870

2

=895.

(t) ⁵⁰ 5,610^51/час.

8951000

Расчет(t)

0 3000 4000

Имеем

N_оN_iN_i11000,

w(t) ⁵⁰ 5,010^51/час.

10001000

Пример2.

Определитькоэффициент

готовностиK_г

1. T_cp

=10000час

T_в=2час

K^100000,9998

^г 100002

2. T_cp

=100час

T_в=2час

K^1000,9803.

^г 1002

Очень часто при расчетах надежности удобно пользоваться приближенными формулами.Рассмотрим расчетные формулы для определения точных и приближенныхзначений основныхпоказателей надежностипри экспоненциальном законераспределения наработок между отказамиивремени восстановления, т.е.

F(t)1e^t

==const

S(t)1e^t

Данныезначенияприведенывтаблице1.

(6)

(19)

Таблица1

Показатель	Точноезначение	Приближенное значение*
P(t)	e-t	1-t
Q(t)	1-e-t	t
Tо=Тср	1/	-
Тв	1/	-
Kг	  T  1 о  TТ 1 о в	1-

Примечание:*-приусловииt<<0,1и^<<0,1.



Прииспользованииприближенныхформулоченьважнособлюдатьсоотношениеt<<0,1.

При несоблюдении этого правила слишком высока будет погрешность полученныхрезультатов.

Вкачествепримерарассмотримприближенную формулу

P(t)=e^-t1-t

Точнаяформулатакова:

P(t)e^t1t1/2(t)^21/6(t)^3...

Еслиt0.1 –тоошибкамала.

Еслиt>>0.1–тоошибкасущественна.

Пример1.

а)= 0.01 1/час,t= 80 часов,t= 0.8тогда точное значениеP(t) = 0.449;приблизительноезначениеP(t)=0.2.

б)= 0.001 1/час,t= 80 часов,t= 0.08тогда точное значениеP(t) = 0.933;приблизительноезначениеP(t)=0.920

Расчет надежности сложнойсистемы спомощью фал.

Постановказадачи:Представимэлектромагнитноерелеввидесложнойсистемысо-стоящейиз отдельныхэлементов (блоков).

Известно:

1. Системабезвосстановления.

2. Структурнаясхема,т.е.характерсвязеймеждуэлементамисточкизрениянадеж-ности.

3. Интенсивностьотказовотдельныхэлементов.

Определить:ВероятностьбезотказнойработырелеP(t).

Пример1.

Рассмотримэлектромагнитноерелекаксложнуюсистему.Дляупрощениязадачипредположим,что релесостоит изтрехэлементов:

^{1.Обмотки -}о^{=0.0110-61/час;}

^{2.Якоря-}я^{=0.0210-61/час;}

^{3.Одинконтакт-}к^{=0.110-61/час.}

Найтивероятность безотказнойработырелевтечениеt=110⁵часов.

Критерийработоспособности(словесно):Релеисправно(сохраняетработоспособ-ность) в течение времениt, если исправно работают все три элемента – обмотка, якорь, кон-такт.

Составим полную группу событий в течение времениt.Воспользуемсяследующими обозначениями:

^Ai^{–событие;}

^Ri^{–вероятностьнаступлениясобытияA}i^;

1 – элемент (система) исправен в течение времениt;0–элемент(система)отказалвтечениевремениt;

Всевозможныесостоянияиих вероятности занесенывтаблицу9.1.

Таблица1задаетфункциюалгебрылогики(ФАЛ)оттрехпеременных(конъюнкция).

Втаблице

1P,

0P.

Таблица1

Аi	Обмотка (Э1)	Якорь (Э2)	Контакт (Э3)	Реле (S)	Ri10-8
А0	0	0	0	0	R0=PоPяРк=2
А1	0	0	1	0	R1=PоPяРк=198
А2	0	1	0	0	R2= … =998
А3	0	1	1	0	R3= … =99802
А4	1	0	0	0	R4= … =1998
А5	1	0	1	0	R5= … =1979802
А6	1	1	0	0	R6= … =997002
А7	1	1	1	1	R7=РоРяРк=98703148

Надежностьрелеесть функцияотнадежностиэлементов:обмотка,якорь,контакт.

ВобщемслучаенадежностьсистемыестьФАЛотнадежностиэлементовеесостав-ляющих.

^{КаждоесобытиеA}i^{соответствует одномуиздвоичныхнаборов.}

Вероятностьбезотказнойработыобмотки,якоряиконтактавтечениевремениt=110^-5часовбудутсоответственноравны:

o

Pe^ote^0.01106^105e^0.00110.0010.999,

^Pя^{=0.998, Р}к^=0.99,

^Рреле^=R7^{=РоРяРк=0,987.}

Пример2.

^{Рассмотрим теперь системуSиз трех элементовЭ}1^,Э2иЭ3^{. СистемаSработоспособ-на, если исправны хотя бы два элемента из трех. Тогда надежность системы}Sзадается таб-лицей9.2. даннаятаблицазадаетФАЛ от3-хпеременных (функцию 2из 3).

Таблица2 (Функция 2V3)

Аi	Э1	Э2	Э3	Ri
А0	0	0	0	0
А1	0	0	1	0
А2	0	1	0	0
А3	0	1	1	1
А4	1	0	0	0
А5	1	0	1	1
А6	1	1	0	1
А7	1	1	1	1

В общем случае вероятность безотказной работы сложной системы равна сумме веро-^{ятностейсобытийA}i^{, встрокахкоторойвтаблицеуказана1.}

P_Ri,

1

(1)

Согласнотаблице2запишем:

^P2V3^=R3^+R5^+R6^+R7^.

Функция,отражающаязависимостьнадежностисложнойсистемыотнадежностиэлементовеесоставляющихназываетсяфункцией надежности.

Такдляреле(пример1)функциянадежностибудетзаписанаследующимобразом:

^Pреле^=R7^=Робм^Ряк^Рконт^{, (2)}

Такимобразом,задачарасчетанадежностисводитсякнахождениюфункциинадеж-ности и еевычислению.

Используя понятие функции надежностинайдем функциюнадежностидляпоследо-вательногои параллельного соединения элементов.

1. Системаспоследовательнымсоединениемэлементов:

Рис.1

Этосоединениеприменяется,еслисистемаSработоспособнаприисправноработаю-^{щихэлементахЭ}1^{иЭ2исоответствует логическойфункцииконъюнкции.}

Таблица3

Аi	Э1	Э2	S
А0	0	0	0
А1	0	1	0
А2	1	0	0
А3	1	1	1

Функциянадежностивсоответствиистаблицей9.3будетиметьследующийвид:

^PS^=R3^=Р1^Р2^,(9.3)

2. Системаспараллельнымсоединениемэлементов:

Рис.2

Этосоединениеприменяется,еслисистемаSработоспособнаприисправноработаю-^{щихэлементахЭ}1^{илиЭ2исоответствует логическойфункциидизъюнкции.}

Таблица4

Аi	Э1	Э2	S
А0	0	0	0
А1	1	0	1
А2	0	1	1
А3	1	1	1

Функциянадежностивсоответствиистаблицей4будетиметьследующийвид:

P_SR_1R_2R_3P_1P2P₁P_2P₁P_2



P₁P_2P_1P2P₁P_2P₁P_2P₁P_2



P₁₍P_2P₂₎P₂₍P_1P₁₎P₁P_2P_1P_2P₁P_2,

(4)

Пример3.

Найдем функцию надежности электромагнитного реле состоящего из магнитной си-стемы (якоря), двух обмоток включенных параллельно и трех контактов. Реле исправно, еслиисправенякорь, однаизобмоток и одинизконтактов.

Известны интенсивности отказов элементов (из примера 1)^{1.Обмотки -}о^{=0.0110-61/час;}

^{2.Якоря-}я^{=0.0210-61/час;}

3. ^{Одинконтакт-}к^{=0.110-61/час.}

Структурнаясхеманадежностибудетиметьвид:

^Ро

^Ря

^Э1^{(якорь)Э}2^{(обм-ка)}

^Ро

^Э3

(обм-ка)

^Э4

^Рк

Р_к Э₅(контакты)

^Э6

^Рк

Рис.3

Длянахожденияфункциинадежностипроизводитсяукрупнениеэлементовпофор-муле(4). Объединимэлементы 2 и3, 4и 5.

^Э1

Рис.4

Поформуле(4)находим:

о

^P23^=Ро^+Ро^–Ро^Ро^=2Ро^–Р2,

к

^P45^=Рк^+Рк^–Рк^Рк^=2Рк^–Р2.

^{ЗатемобъединимэлементыЭ}45^иЭ6^:

^P456^=Р45^+Рк^–Р45^Рк⁼

к

к

^=2Рк^–Р2+Рк^–(2Рк^–Р2)Рк⁼

=Р³– 3Р²+3Р.

к к к

Поформуле(3)найдемфункциюнадежностиреле:

^Рр^=Р1^P23^P456⁼

к

к

^=Pя^(2Pо^-Pо^{2)(Р3– 3Р2+3Р}к⁾

^ЕслиРо^=0.999,Ря^=0.998,Рк^{=0.99 (из примера1),тополучимР}реле^=0.99794.