Вероятностныепроцессы

Еслислучайнаявеличинаизменяетсявпроцессеопыта,товозникаетслучайнаяфункция–функция,котораяврезультатеоднойреализацииможетслучайнопринятьтотилиинойконкретныйвид.Предугадать егоможнолишьснекоторойвероятностью.

Еслиаргументомслучайнойфункцииявляетсявремя,тотакаяслучайнаяфункцияназываетсявероятностнымпроцессом.

Вероятностныйпроцессхарактеризуетсятипомпроцессаиегочисловымихарактеристиками.

^{Поаналогиис реализациейслучайнойвеличиныX=x}i^{частнуюкокретнуюопытнуюслучайнуюфункциюx}i^{(t)называютреализациейслучайнойфункцииX(t).}

Еслисослучайнойфункциейпроизвестинесколькоопытов,тополучим^{статистическоесемейство nреализацийx}i^{(t)случайнойфункцииX(t).}

^{Зададимся каким-либо постоянным параметром t = t}1^{и произведем сечение всехфункцийX(t)длявремениt=t}1^{.Тогдавсеченииt=t}1^{величиныt=t}1^{величиныx}1^(t),x2^(t),

^….xi^{(t)..будутпредставлятьсобойnслучайныхреализацийобычнойслучайнойвеличины. Произведем аналогичные действия для фиксированного времени t=t}2,^t=t3,….^t=tn^{.Врезультатеполучимнесколькосеченийслучайногопроцесса.}

Длякаждогосеченияможноопределитьматематическоеожиданиеидисперсию, являющиеся теперь обычными функциями параметра t.Если соединить награфикеполученныедлякаждогосечениязначенияматематическогоожиданияидисперсииплавнойкривой,мыполучимсоответственнофункцииматематическогоожиданияи дисперсиислучайной функцииX(t).

Таким образом, математическим ожиданием случайной функции Х(t) называетсянеслучайная функция m(t), которая при каждом фиксированном значении параметра tравнаматематическомуожиданиюсоответствующегосеченияслучайнойфункции.

Дисперсией случайной функции Х(t) называется неслучайная функция D[X(t)],значениекоторойдлякаждогоtравнодисперсиисоответствующегосеченияслучайнойфункции.

Случайныепроцессы,длякоторых математическоеожиданиеm(t)идисперсия

²(t)независятотвремени,называютсястационарнымипроцессами.

Следовательно, для стационарных процессов имеемm(t)=m=const,

D(t)=²(t)=²=const.

Эргодическийпроцесс–процесс,когдапооднойреализациислучайногопроцесса достаточной продолжительностиможно оценить числовые характеристикипроцесса,определяемыепо n реализациям.

Свойство эргодичности случайных процессов надежности позволяет заменитьдорогостоящие испытания большого числа однотипных систем испытанием одного илидвухтакихэкземпляроввтечениедостаточноговременииспытаний.

Понятие «процесс» и «поток отказов» взаимосвязаны. Процесс смены состоянийвызываетсяпотоками отказов и восстановлений.

Втеориинадежностинаиболееподходящимдляописанияпроцессов,происходящих вомногих областяхнаукиитехники,являетсямарковскийпроцесс.

Марковскимявляетсяпроцесс,укоторогодлякаждогомоментавременивероятность любого состояния объекта в будущем зависит только от состояния объектав настоящий момент времени и не зависит от того, каким образом объект пришел в этосостояние.

^{прошлое t}0 ^{будущее t}

Рис.1

Вероятностныйпроцессудобнопредставлятьввидеграфасуказаниемввершинах графа состояний, а на ребрах графа – интенсивности переходов из одногосостояниявдругое.

Вкачествепримерарассмотримобъект,которыйможетнаходитьсясточкизрениянадежностиводномиз четырехсостояний.

Обозначим в вершинах графа^S1^{–исправноесостояние,}

^S2^{-работоспособноесостояние,S}3^{–неработоспособноесостояние,}

^S4^{–предельноесостояние.}

Дугамиграфаобозначимвозможныепереходыобъектаизсостоянияiв^{состояние j под действием потоков отказов и поврежденийс интенсивностями}ij^иji^{.Из i-того в j-ое состояния объект переходит с постоянной интенсивностью}ij^{, обратно –спостояннойинтенсивностью}ji^.

Эксплуатациятакихобъектовможетбытьописанаследующимобразом:вначальныймоментвремениобъектначинаетработатьипродолжаетработатьдопервого отказа, после отказа происходит восстановление работоспособности, и объектвновьработаетдоотказаит.д.Наосивременимоментыотказовобразуютпотокотказов,амоментывосстановления–потоквосстановлений.Наосисуммарнойнаработки (когда время восстановления не учитывается) моменты отказов образуютпоток отказов.

Тогда,используясхемусостоянийисобытий,вкоторыхможетнаходитьсяобъект с точки зрения надежности и рассмотренную ранее, получим граф следующеговида

Исправное

Работоспособное

Неработоспособное

Предельное

Списание

^14

Рис.2

Вероятностныйпроцесс,представленныйспомощьюграфа,будетмарковскимпривыполнении следующихусловий:

1. ^{Потокотказов}ij^{ивосстановлений}ji^{являетсяпростейшим.}

2. Времяработыобъектадоотказаивремявосстановленияраспределяютсяпоэкспоненциальномузакону.

ЧисловойхарактеристикойвероятностногопроцессаявляетсявероятностьРiнахожденияобъекта вSi-омсостоянии.

Числовыехарактеристикимарковскогопроцессаопределяютсяспомощьюсистемы дифференциальных уравнений, предложенных ак. А.Н.Колмогоровым.Не рассматривая вывод уравнений, остаточно подробно изложенный влитературе по надежности, запишем правила получения системыдифференциальныхуравненийнаосноверазмеченногографасостояний.

1. ДлякаждогоизвозможныхсостоянийSiзаписываетсяуравнение.

2. ВлевойчастизаписываетсяпроизводнаяdPi/dt.

3. В правой частизаписывается столько слагаемых, сколько дуг графа выходитизвершины состоянияSi.

4. Слагаемое для дуги, направленной к вершине состояния Si, записывается сознакомплюс.

5. Слагаемое для дуги, направленной от вершины состояния Si, записывается сознакомминус.

6. Каждое слагаемое равно произведению интенсивности перехода из данногосостояния (либо в данное состояние) на вероятность состояния, из которогонаправленадуга(либо вкотороенаправлена).

На основании изложенных правил составим системудифференциальныхуравненийдля графаследующеговида.

^13

^21

Рис.3

^24

dP_1/dt₂₁P₂(₁₂₁₃)P₁

dP_2/dt₁₂P₁₃₂P₃(₂₄₂₁)P₂

dP₃

/dt₁₃P₁

₄₃P₄

₃₂P₂

(1)

dP_4/dt₂₄P₂₄₃P₄

Решение системы уравнений 1 выполняется по известным правилам решениясистемы дифференциальных уравнений. В этом случае будут найдены значенияPi(t),зависящиеот времени.

Система1можетбыть упрощена.

Поставим вопрос: что будет происходить с вероятностями состояний состоянийпри t?

БудутлистремитьсяP1(t),P2(t)…стремитьсяккаким-топределам?

Еслиэтипределысуществуютинезависятотначальногосостояния,ноониназываютсяфинальными вероятностями состояний.

Втеориислучайныхпроцессовдоказывается, чтоесли

• числоnсостоянийобъектаконечно,

• -изкаждогоизнихможно(законечноечислошагов)перейтивлюбоедругое,то финальныевероятности существуют.

Какпониматьфинальныевероятности?

При tустанавливается предельный стационарный режим в ходе которогообъектслучайнымобразомменяетсвоисостояния,новероятностиэтихсостоянийуженезависят от времени.

Финальную вероятность Si можно трактовать каксреднее относительное времяпребыванияобъекта вэтом состоянии.

Каквычислитьфинальныевероятности?

7. Есливероятностиp1,p2,…постоянны,тоихпроизводныеdPi/dt=0равнынулю.

8. Приняв данное допущение, преобразуем систему дифференциальныхуравнений1 всистемуалгебраическихуравнений.

(_12₁₃₎P_1_21P2

(_24₂₁₎P_2_12P1_32P3

^32^P3

₁₃

P₄₃P₄

(2)

^43^P4^24^P2

Системауравнений2можетбытьрешена,еслиодноиз4-хуравненийзаменитьнормировочным условием.

P_1P_2P_3P_41

(3)

Уравнение(3)полученоизусловия,чтовероятностисостоянийобъектаобразуют полную группу. При этом одно (любое) из уравнений можно отбросить (т.к.оновытекает как следствиеиз остальных)

Давайте зададимся численными значениямиии решим систему (2)Положим:

^12^{=1 21= 4}

^13^{=2 32= 4}

^24^{=3 43= 5}

Исключивиз(2),например,третьеуравнениеиподставивуравнение(3),получим

^3Р1^=4Р2

^{7Р2=Р1+4Р3} (4)

^5Р4^=3Р2

^Р1^+Р2^+Р3^{+ Р}4⁼¹

Решая(4),получим

^Р1^0,31,Р2^{0,24, Р}3^0,32,Р4^0,13

Такимобразом,впредельномстационарномрежимеобъектвсреднембудетнаходиться

всостоянииS1примерно 31%,S2– 24%,S3–32%,S4 –13%.

Знаниеэтихфинальныхвероятностейможетпомочьоценитьэффективностьработыобъекта.

Например,

Предположим,чтообъектвсостоянии

S1 приносит доход 8 усл. ед. в ед. времени,S2-4усл.ед.

S3 –ущерб (-2) усл. ед.S4–ущерб(-5)усл.ед

Тогда в стационарном режиме средний доход в единицу времени будетW=0,318 +0,244 -0,322 -0,135 =2,15

Меняя и ,т.е.вкладываясредства внадежность (уменьшая )и

производительностьобслуживанияможноменятьсреднийдоход.

Трудности, преодолеваемые исследователями при использовании моделиКолмогорова

1. Построение различного графа, включающее возможные состояния ипереходы(должно быть хорошеезнаниетехнологии)

2. Доказательствотого,чтопроцессявляетсямарковским(простейшиепотоки

и,экспоненциальныйзаконвременинаработкимеждуотказами)

3. Самоесложное!

Получениереальныхколичественныххарактеристик,т.е.значений,,идр.