Законыраспределенияслучайныхвеличин

Случайнаявеличина(СВ)–величина,котораяврезультатеопытаможетприниматьтоилидругоезначение.

СВможетбытьдискретной(например,числоотказовзавремяt)илинепрерывной(например,время междудвумя отказами)

Полноепредставлениеовероятностныхсвойствах СВдаетзаконраспределения.

Закон распределения СВ устанавливает соотношение между возможнымизначениямиСВи соответствующими имвероятностями.

Все законы распределения делятся на два вида:интегральныйи дифференциальный.

1. Интегральныйзакон-функцияраспределенияСВХ.

ФункцияраспределенияСВХ–называетсяфункцияF(x),выражающаявероятностьтого,чтослучайнаявеличинаХпримет значениеменьше, чемх

F(x)=P (Xx) (1)

Рассмотримвкачестве примераСВвремяt–заданнуюнаработкудоотказа.

Возникновениепервогоотказа–случайноесобытие,анаработкаотначальногомоментадовозникновения этогособытия–случайная величина.

Используя1,запишем

F(t)=P(t) (2)

т.е.вероятностьтого,чтоменьшезаданногозначенияtравнавероятностивозникновенияотказанаинтервалеот 0 доt.

ФункцияF(t)–обычнообозначаетсяQ(t),называетсяфункциейненадежности(отказа)иимеет вид

Q(t)

1

0 _t

Рис.1

Q(t) – функция ненадежности (вероятность отказа),сувеличениемtвероятностьотказавозрастает.

ФункцияQ(t)имеетследующиесвойства:

1. Q(0)0(это означает, чтовначальный момент времени вероятностьотказаравна0);

2. limQ(t)1(вероятностьотказа стечением времени стремитсяк1);

t

3)0Q(t)1;

4) функцияQ(t)является возрастающей и с течением времени ненадежность(вероятность отказа) объектавозрастает.

Вероятность того, что на интервале времени от 0 до t не возникнет отказа, равнаP(t) =P (t)=1 – Q(t) (3)

P(t)

1

0 _t

Рис.2

Р(t)–функциянадежности(вероятностьбезотказнойработы),сувеличениемtнадежностьуменьшается.

Функция

P(t)

имеетследующиесвойства:

1. P(0)1(этоозначает,чтовначальныймоментвремениобъект

считаетсяработоспособным);

2. limP(t)0(объектнеможетсохранятьработоспособность

t

неограниченнодолго);

3)0P(t)1;

4) функцияуменьшается.

P(t)

является убывающейистечениемвременинадежность

Исправнаяработаи отказ втечениевремениtявляются несовместнымисобытиями.Поэтому

P(t)

+Q(t)

= 1 .

Соответственно, вероятностьбезотказнойработыР(t) связана сфункциейраспределенияF(t)следующимобразом

F(t)= Q(t)=1–Р(t) (4)

ВероятностныепоказателиQ(t)иP(t)определяютсявпредположении,чтовначальныймоментвремени объект находилсявработоспособномсостоянии.

2. Дифференциальныйзакон–плотностьраспределениявероятностиf(х)случайнойвеличиныХ–это производнаяфункцияот функциираспределенияF(х).

_f(x)dF(x)

dx

(5)

Знаяплотностьвероятности f(х)функцияраспределенияF(х)находитсяспомощьюинтеграла.

x

F(x)

_f(x)dx



(6)

Примерызаконовраспределения

Законыраспределения,используемыевтеорииинапрактикеделятназаконыраспределениянепрерывных и дискретных случайных величин в зависимости от способазаданияпотокаотказов(ввидечислаотказов илинаработки наотказ).

КдискретнымотносятсязаконыПуассона,биноминальныйит.д.Кнепрерывным–экспоненциальный,нормальный,Вейбуллаит.д.

Закон распределения СВ определяется(задается)параметрамизакона распределения.Определитьзаконраспределения–значитнайтипараметрызакона,входящиеврасчетнуюформулу,определяющуюзаконраспределенияслучайнойвеличины.Например,

длямногих законовопределяющимпараметромявляется-интенсивностьсобытий.

Кроме того, квеличинам, характеризующим закон распределения случайнойвеличиныотносятся

• математическоеожиданиеМО(характеризуетсреднеезначениеСВ)

• дисперсияDx (характеризуетстепеньрассеиванияСВотносительноееМО).

• ^{среднеквадратическоеотклонение}x

Математическоеожиданиедлянепрерывнойслучайнойвеличины



m_x

_xf(x)dx.



Длядискретнойслучайнойвеличины

n

m_xxipi.

i1

Дисперсиядлянепрерывнойслучайнойвеличины



D_x

_(xm_x)^2f(x)dx;



Дисперсиядлядискретнойслучайнойвеличины

n

i

D_x

i1

(x_i

• m_x

)^2p

Среднееквадратическоеотклонение

_x .

Рассмотрим некоторые законы распределения, часто используемые на практике.Биноминальныйзаконраспределения

даетвозможностьрассчитатьвероятностьпоявленияmсобытийА приnнезависимыхиспытаниях

P^mC^mP^m(1P)^nm

( 7)

n

где

n

n

C^m

n!m!(nm)!

-числосочетанийизnпоm

P–вероятность событияАприодномиспытании.

Свойствазакона

1. Параметр-Р,n

2. МО=np

3)

( 8)

3. Приувеличениичислаиспытанийmбиноминальноераспределениеприближаетсякнормальномусо среднимзначениемМОm/n идисперсией

p(1-p)/n.

ЗаконПуассонадаетвозможностьопределитьвероятностьgjzdktybzчислаnотказовзавремя t

P_n(t)

(t)ⁿ

n!

_et

(9)

где- среднее число отказов в единицу времени (интенсивность появленияотказов).

Среднее число отказов за время t равно а=tСвойствазакона

1)параметромзаконаявляется

2)МО= (10)

3. Среднеквадратическоеотклонение

 (11)

3. Характерный признак распределения Пуассона – равенство математическогоожидания и дисперсии (используется для проверки степени соответствияисследуемогораспределения сраспределениемПуассона).

Дисперсия

DMO

(12)

ПримерОпределитьвероятностьтого,чтозавремяt=100ч произойдет0,1,2,3отказа,если=0,025

1. Среднеечислоотказовзавремяtравноа =t=2,5

2. Вероятность отсутствия отказов (0 отказов)^Р0^{(100)=е–2,5t=0,082}

Вероятностьодногоотказа

^Р1^{(100)=t е-t=0,205}

Вероятность двух отказов^Р2^{(100)=(t)2 е–2,5=0,256}

2!

Вероятность трех отказов^Р3^{(100)=(t)3 е–2,5= 0,131}

3!

Распределение Пуассона получается из биноминального распределения, если число отказовm неограниченно возрастает.

РассмотренныезаконыдаютвозможностьнайтираспределениедискретныхСВ.

КчислунаиболеераспространенныхзаконовраспределениянепрерывныхСВ,используемыхвтеорииипрактикерасчетовнадежности,относятсяэкспоненциальныйинормальныйзаконы.

F(x)

Экспоненциальныйзакон задаетсяфункциейраспределения

1

0 _x

Рис.3

F(x)1e^x

(13)

Плотностьвероятности

f(x)e^x

(14)

f(x)

0 _x

Рис.4Свойствазакона

1. Параметромзаконаявляется–интенсивностьотказов.

Из13и14получим

_ f(x)

1F(x)

(15)

2. –интенсивностьотказов(среднеечислособытийвединицувремени)являетсявеличинойпостоянной.

=const

(t)

t

Рис.5

3)

D(t)¹

_2

(t) ¹



(16)

(17)

Равенство=1 (18)



являетсяхарактернымпризнакомэкспоненциальногораспределения.

Прирассмотрениивкачествеслучайнойвеличиныхвремениt-временинаработкидоотказа, т.е. x=t,получим, что

вероятностьотказазавремяtрассчитываетсяследующимобразом

Q(t)1e^t

(19)

Вероятностьбезотказнойработызавремя t(вероятностьотсутствияотказа)

P(t)1Q(t)e^t

(20)

Широкоераспространениеэкспоненциальногозаконавтеориинадежностиобъясняетсямногими факторами.

Вчастности,втеориинадежностидоказано,чтоеслипотокотказовсистемы-простейший,то,согласнотеоремепромежуткивременимеждусоседнимиотказамираспределяютсяпоэкспоненциальномузакону,параметркоторогоравенпараметрупотока.

Эта теоремахарактеризуетвторой способ задания потока отказов,как последовательностинепрерывных случайныхвеличин tнаработокмеждуотказами.

Поскольку многие потоки при исследованиях надежности различных систем можно отнести кпростейшим,тоивремянаработкимеждуотказамибудетподчинятьсяэкспоненциальномузакону.

Можно отметить, что экспоненциальное распределение времени наработок междуотказамиболееприемлемо в качестве статистической модели для сложной системы,чем отдельных еекомпонентов.Считается,чтов пределе это распределение является статистической модельювремени безотказной работы длясистемысбольшимчислом последовательносоединенныхкомпонентов,каждыйизкоторыхвотдельностинеоказываеточеньбольшоговлияния навероятностьвыхода из строя всей системы,даже если распределение времени безотказнойработы отдельных компонентов не является экспоненциальным.Это утверждение справедливокакдля невосстанавливаемых,такидлявосстанавливаемыхсистем.

Экспоненциальныйзаконраспределенияобладаетследующимважнымсвойством:дляэкспоненциального закона вероятность безотказной работы на произвольном интервале временине зависит от временипредшествующей работы,а зависит только от длины интервала. Инымисловами,есливданныймоментэлементисправен,тобудущееегоповедениенезависитотпрошлого.Внекоторыхслучаях,знаяприродуотказовихарактерработыэлемента,можнонепосредственнопоказать,чтоуказанноесвойстводлянегоимеетместо,откудаужебудетследовать экспоненциальныйзакон.

Применимостьэкспоненциальногозаконазависитвосновномотхарактераотказов.Внезапныеотказы,носящиеслучайныйхарактер,обычнодовольнохорошоописываютсяэкспоненциальным законом; наоборот, отказы,возникающие в результате износа истаренияэлементауженеподчиняютсяэкспоненциальномузаконуивомногихслучаяххорошоописываютсянормальнымзаконом.

Широкоераспространениеэкспоненциальногозаконавтеориинадежностиобъясняетсятакже тем,что интенсивность отказов технических систем на этапе эксплуатации, как правило,постоянна.

Вобщемслучае,опытэксплуатациипоказывает,чтоизменениеинтенсивностисистемдлительного пользованияпроисходит по весьма характерному для большинства закону (Рис.6).Типичнаякриваяинтенсивностиотказовимееттриярковыраженныххарактерныхучастка.

I – период приработки системы (начальной работы). Характеризуется повышенным числомотказов за счет различных производственных недостатков и выхода из строя наиболее слабыхэлементовсо скрытымидефектами.

2. –периоднормальнойэксплуатации.Характеренпониженнымуровнемипримернымпостоянствоминтенсивностиотказов.Восновном, внезапныеотказы.

2. –периодизносасистемы. Характеренстарениемиизносоммассовыхэлементовизначительнымростом числаотказов.

(t)

0 _t

I II III

Рис.6

Из анализа процессов возникновения отказов можно предполагать, что для систем ЖАТпри оценке надежности и безопасности более приемлема модель мгновенных повреждений, иливнезапныхотказов,характернаядляпериоданормальнойэксплуатациисистемы.

Так как надежная и безопасная работа систем и аппаратуры ЖАТ необходима не толькодля бесперебойного обеспечения движения поездов, но и для сохранения жизни человека, тотакаяаппаратурадолжнабытьввысшейстепенинадежнаибезопасна.Вподобнойаппаратуреприработочныеотказыустраняютсянаэтапепредварительныхиспытаний,доказательствабезопасностиисертификациисистемыпутемдлительныхиспытаний,предшествующихвводувэксплуатацию.Износовыеотказыустраняютсяправильнымрежимом работы, своевременной профилактикой и заменой устаревших элементов. Еслипослеэтого в процессе работы аппаратуры все еще происходят отказы, то они почти навернякаимеют внезапный характер.И, видимо, незрявлитературевнезапные отказы,которыевозникаютнеиз-заизносовыхповрежденийаппаратуры, иногданазывают"катастрофическими".Вотношении безопасности СЖАТ,термин говорит сам за себя,т.е.отказ по своим последствиям является "катастрофическим" и может привести к крушению илиаварии.

Нормальныйзаконраспределения

даетвозможностьопределитьвероятностьтого,чтозавремяtвозникнетотказспомощьюследующей функции распределения

Q(t)

1 _e

t

0

_(tT)²

2²

dt

(21)

иформулыплотностивероятностиотказа

f(t) ¹ e

_(tT)²

2²

(22)

 2

где- среднеквадратическое отклонение tотносительно T.Т– среднеезначение t.

Графикифункциииплотностираспределенияимеетвид

F(t)

1

Рис.7

0 _t

f(t)

0

Свойствазакона

Рис.8

t

1. ПараметромзаконаявляетсяиT

2. Монотонноевозрастание(t)–характерныйпризнакраспределения.

(t)

Рис.9

0 _t

Нормальномузаконуподчиняется времяпоявления отказовприизносах.

Перечисленные законы относятся к наиболее распространенным в прикладной теориинадежности.

Инженерная практика встречается со значительно большим числом законов,отражающихреальныепроцессы.

Так промежуточным между двумя крайними законами экспоненциальным онормальнымдляописания опытныхданныхмогутбытьиспользованы

• -распределение

• 2–распределение

• распределениеВейбулла.

Напрактикефакторы,влияющиенавероятностныесвойстваСВ,определяютаприорныйвыборзаконараспределения.

В исследованияхнадежностипо характеру измененияплотности распределениявероятностиf(t)иинтенсивностиотказов(t)можнопредварительновыбратьодиниззаконовраспределения,наиболеечастовстречающихсявинженерныхрасчетах.