3.5. Импульс

По второму закону динамики:

Отсюда:

(3.5)

Левая часть равенства (3.5) представляет собой вектор численно равный произведению вектора силы на промежуток времени , в течение которого она действовала.

- элементарный импульс силы.

будем обозначать его как .

Правая часть (3.5) представляет собой вектор равный произведению массы m элементарной точки на вектор скорости ее движения .

- вектор количества движения.

Таким образом

(3.6)

Импульсом называется вектор, равный произведению массы тела (материальной точки) на его скорость.

3.6. Закон сохранения импульса

Закон сохранения импульса является прямым следствием II-го и III- го закона Ньютона. Для изолированного тела этот закон – следствие второго закона Ньютона. Если на тело не действую никакие силы, то его скорость, а значит, и импульс остаются постоянными.

В случае же нескольких взаимодействующих тел закон сохранения импульса является следствием обоих законов Ньютона и оказывается справедливым в том случае, когда эти тела взаимодействуют между собой, но не подвергаются воздействию внешних сил.

Система, которая включает в себя все взаимодействующие тела (так, что ни на одно из тел системы не действуют другие тела, кроме включенных в систему), называется замкнутой системой. Силы, действующие между телами, образующими замкнутую систему, называются внутренними силами.

Рассмотрим замкнутую систему, состоящую из материальных точек Если скорость этих точек , а внутренние силы, действующие между ними

(где, например, это сила, действующая на точку 1 со стороны точки 2).

Тогда уравнения II-го закона Ньютона примут вид:

(3.7)

Складывая все эти уравнения, мы получим слева производную по времени от суммы импульсов всех точек системы, или от полного импульса системы, а справа сумму всех сил, действующих в системе. Но так как система замкнута, то сумма всех сил в ней равна нулю. Действительно в этой сумме встретятся попарно силы и , и и т.д., причем всякой силе будет соответствовать сила .

А по III-му закону Ньютона:

Поэтому полная сумма сил в замкнутой системе всегда равна нулю. Следовательно, во всякой замкнутой системе:

, т.е. (3.8)

Таким образом, полный импульс замкнутой системы есть величина постоянная.

3.7. Закон тяготения Ньютона

Результаты, полученные Ньютоном при анализе нормального ускорения, возникающего при движении Луны вокруг Земли, привели его к выводу, что все тела в природе притягиваются друг к другу с некоторой силой, называемой силой тяготения. Причем ускорение, вызванное этой силой, убывает обратно пропорционально квадрату расстояния между взаимодействующими телами.

, где

К – некоторая постоянная величина.

Пусть два тела массами m₁ и m₂ расположены на расстоянии r друг от друга. Они взаимодействуют с силами:

и

По III-му закону Ньютона

(3.9)

Это равенство будет справедливо, если положить:

и , (3.10)

где G – некоторая постоянная величина.

Тогда (3.11)

Таким образом (3.12)

Таким образом, сила тяготения между двумя телами пропорциональна массам этих тел и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними.

Коэффициент G получил название гравитационной постоянной.