7.8. Сложение гармонических колебаний

7.8.1. Сложение колебаний с одинаковыми частотами

Пусть материальная точка одновременно участвует в двух гармонических колебаниях с одинаковыми периодом и угловой частотой .

,

,

Тогда:

.

Составим векторную диаграмму:

Рис. 52

Так как векторов и не меняется, то .

,

.

. (7.58)

7.8.2. Сложение колебаний с близкими частотами

Рассмотрим сложение колебаний с близкими частотами. Пусть:

,

.

Тогда:

(7.59)

Первый множитель имеет частоту среднюю для двух слагаемых колебаний, то есть близкую к их частотам.

Второй множитель обладает малой частотой (т.к. и близки), то есть большим периодом. Это позволяет рассматривать результирующее движение, как почти гармоническое колебание со средней угловой частотой и медленно меняющейся амплитудой . Подобный вид колебаний носит название биений.

Рис. 53

7.8.3. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Рассмотрим два основных случая: когда и когда .

Пусть . Тогда:

,

.

а) Пусть , тогда:

Разделив первое уравнение на второе, получим:

. (7.60)

Траектория точки представляет собой прямую линию, являющуюся диагональю прямоугольника со сторонами А и В.

Рис. 54

б) Если , то

Разделив первое уравнение на второе можно вывести:

. (7.61)

Траектория точки будет напоминать рис.55, только с обратным наклоном прямой

в) Если , то

,

.

Возведя в квадрат оба уравнения, и сложив их почленно, получим:

. (7.62)

Таким образом, траектория точки представляет собой эллипс:

Рис. 55

г) Если , то траектория останется такой же как в случае, когда , но изменится направление циклических колебаний.

д) Если и принимают произвольные значения, траекторией движения точки будут эллипсы, подобные следующим:

Рис. 56

Если , можно рассмотреть следующие частные случаи:

а) .

Рис. 57

б) .

Рис. 58

в)

Рис. 59

Подобные фигуры (приведенные выше) носят название фигур Лиссажу, более сложные формы которых не приводятся. Фигуры

Лиссажу находят конкретное применение для определения неизвестных частот: задавая, например, колебания электронного луча в электронно-лучевой трубке вдоль оси Х с известной частотой и отклоняя его вдоль оси Y напряжением, частота которого неизвестна, с помощью получаемого изображения определяют неизвестную частоту.

Глава 8. Волны

8.1. Виды волн

Бегущими волнами называются волны, распространяющиеся в неограниченной среде без отражения. Подобную волну можно получить, если взять свободный конец длинной веревки, второй конец которой закреплен, и дернуть его вверх и вниз: вдоль веревки побегут горбы и впадины волн. Конечно, при этом для получения идеальной картины бегущей волны необходимо, чтобы веревка имела бесконечную длину. Однако, в силу затухания колебаний, достаточно взять веревку такой длины, чтобы колебания не дошли до ее конца из-за неизбежных потерь энергии.

Если размеры среды ограничены, например если веревку за­менить стальной струной с закрепленными обоими концами, то бегущие волны, распространяющиеся по струне, отражались бы от обоих концов. Тогда колебания струны представляли бы со­бой комбинацию таких волн, распространяющихся взад и вперед по струне, и образовались бы стоячие волны. Волны на струнах - это поперечные волны, т. е. смещения или колебания в среде происходят поперек направления распро­странения волны.

Когда колебания параллельны направлению распространения волны, волны называются продольными. К про­дольным волнам относятся звуковые волны.

В газе могут рас­пространяться только продольные волны, поскольку для сущест­вования поперечных волн необходима сила сдвига. В твердом же теле могут распространяться и продольные, и поперечные волны.

Сферическими волнами называются волны, поверхности оди­наковой фазы которых представляют собой сферы. Источник та­ких волн, например, взрыв, лежит в центральной точке. На практике сферические волны, прошедшие очень корот­кое расстояние, можно считать плоскими. Малый участок сфери­ческой поверхности очень близок к плоскости.