8.2. Уравнение волны

Пусть точка, находящаяся в начале отсчета, колеблется согласно уравнению . Запишем уравнение колебания точки, расположенной вдоль линии распространения волны на расстоянии от начальной. Эта точка пришла в колебание с запозданием на время (где - скорость распространения волны в среде). Поэтому колебание точки должно быть сдвинуто по фазе по отношению к начальной точке. Точка будет находиться в момент времени в той же фазе колебания, в какой находилась начальная точка в момент времени, на более ранний. Таким образом, уравнение колебания точки, сдвинутой на расстояние от начала координат имеет вид:

, (8.1)

где - сдвиг фазы.

Написанное уравнение называют уравнением волны, оно охватывает колебания всех точек, расположенных на любых расстояниях относительно начальной точки.

Величина называется волновым числом.

Расстоянии, через которое повторяется волнообразное распределение носит название длины волны :

. (8.2)

где - период колебаний; - частота колебаний.

Тогда . Таким образом число показывает, сколько длин волн укладывается на расстоянии, равном метров.

Учитывая уравнение волны можно переписать в виде:

, (8.3)

где

Получили закон смещения для некоторой точки в разные моменты времени.

Можно выявить характер распределения смещений всех точек в некоторый момент времени:

, (8.4)

где .

8.3. Интенсивность волны

Разделив обе части выражения (7.35) на объем упругой среды, в которой распространяются колебания, получим выражение для средней плотности энергии колебаний:

, (8.5)

где - плотность вещества среды.

Интенсивностью волны называется величина, равная энергии, которую в среднем переносит волна через единицу площади в единицу времени:

, (8.6)

где - мощность волны. Пусть много больше периода колебаний T. Тогда за время через поверхность пройдет энергия, содержащаяся в объеме , где - скорость волны; энергия . Получим выражение для интенсивности волны:

. (8.7)

Таким образом, интенсивность гармонических колебаний прямо пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.

8.4. Эффект Допплера

В случае, если источник волны движется, скорость распространении волны остается постоянной, длина волны и частота, измеряемы неподвижным приемником-наблюдателем, изменяются.

Пусть - скорость источника волны относительно среды, причем . Движение источника приведет к изменению длины волны: в направлении движения она сократится и станет равна . Если источник удаляется от приемника, то . Скорость распространения волны определяется лишь упругими свойствами среды и от движения источника не зависит.

Можно записать соотношение между длиной волны в направлении движения источника и длиной волны, которую излучает неподвижный источник :

. (8.8)

Для случая движения источника в противоположном от приемника направлении:

. (8.9)

Так как , , то подставив эти выражения в выше приведенные формулы можно получить выражения для циклической (круговой) частоты, которую приемник, неподвижный относительной среды, регистрирует в случае движения источника.

Если источник приближается:

. (8.10)

Если источник удаляется:

. (8.11)

Если источник покоится относительно среды, а приемник движется относительно среды со скоростью , то частота так же будет изменяться, но по другой причине. В данном случае длина волны остается величиной постоянной , т.к. источник неподвижен. Однако скорость волны относительно движущегося приемника равна алгебраической сумме скорости волны и скорости приемника относительно среды . Так, если приемник приближается: , если приемник удаляется . Тогда для частоты, регистрируемой приемником , учитывая, что , а получим:

- если приемник приближается; (8.12)

- если приемник удаляется. (8.13)