4.5. Закон сохранения энергии

При движении материальной точки с массой (m) в силовом поле измениться и ее кинетическая и потенциальная энергия.

Величина, равная сумме кинетической и потенциальной энергий, называется полной энергией материальной точки.

(4.12)

Рассмотрим замкнутую систему тел. В ней действуют только внутренние силы. Из формулы (4.7) следует, что работа внутренних сил равна изменению потенциальной энергии, а из формулы (4.9) – эта работа равна изменению кинетической энергии:

, т.е.

Полная энергия замкнутой системы сохраняется.

4.6. Абсолютно упругий удар

Удар называется абсолютно упругим, если кроме закона сохранения импульса выполняется закон сохранения кинетической энергии.

Рассмотрим упругий центральный удар двух шаров, т.е. такой удар, когда векторы скоростей направлены по прямой, соединяющей центры этих шаров.

Пусть 1-й шар массы (m₁) движется с некоторой скоростью , а второй – массы (m₂) – покоится.

Тогда начальный импульс системы целиком складывается из импульса 1-го шара:

Начальная кинетическая энергия точки связана только с первым телом:

(4.13)

Пусть после удара оба шара двигаются в одну сторону: 1-й – с некоторой скоростью , а 2-ой с приобретаемой скоростью . Тогда импульс системы после удара:

(4.14)

Кинетическая энергия системы после удара

(4.15)

По закону сохранения импульса и кинетической энергии имеем:

(4.16)

т.е.

(4.17)

Получим систему двух управлений с двумя неизвестными: и , которые легко определяются. После решения получим:

(4.18)

Рассмотрим некоторые частные случаи:

а) Если m₁=m₂, то , т.е.

при упругом центральном ударе шара о покоящийся шар равной ему массы первый шар остановится, второй же приобретет скорость первого шара.

б) Если , то , а .

В предельном случае, когда , скорость массивного шара почти не изменится, и легкий шар, покоившийся до удара, полетит со скорость. .

в) Если , то , т.е. легкий шар, налетев на массивный, отразится в обратном направлении. Массивный же шар m₂ приобретет скорость .

4.7. Абсолютно неупругий удар

Удар называется абсолютно неупругим, если тела после соударения движутся с одинаковой скоростью, образуя как бы одно новое тело. При этом выполняется только закон сохранения импульса.

Зная направления векторов всех скоростей тел участвующих в неупругом соударении, легко найти скорость «нового» тела после соударения.

Разность кинетической энергии системы до и после соударения указывает на то, что энергии частично или полностью превращается в тепло.