Глава 6. Элементы гидро- и аэродинамики

6.1. Уравнение Бернулли

Рассмотрим движение жидкости в потоке. При этом будем исходить из того, что для жидкости выполняются три условия:

1). Жидкость несжимаема. Для жидкости это означает, что плотность отдельных движущихся элементов ее объема остается величиной постоянной. Это предположение вполне отвечает действительности. Так, например, чтобы сжать жидкость на 1 %, нужно применить внешнее давление не менее 200 атмосфер.

2). Жидкость идеальна. Под этим утверждением будем понимать следующее: если силы трения, действующие внутри жидкости, пренебрежимо малы по сравнению с другими силами, действующими в жидкости (силами тяжести, давления и т.п.), то потери энергии на трение и переход в тепло незначительны. В таком случае можно применять закон сохранения энергии в механической форме:

3). Движение жидкости установившееся.

Это означает, что жидкость движется в виде стационарного потока, когда распределение скоростей не изменяется со временем, в то время как скорости отдельных частиц со временем изменяются. Каждая частица, оказавшаяся в данный момент в некоторой точке потока, имеет в этой точке такую же скорость, какую имели в этой точке и все ранее попадавшие в нее частицы.

Траектории частиц жидкости и линий тока в стационарном потоке не изменяются со временем.

Рассмотрим жидкость, движущуюся по трубе переменного сечения (Рис. 33).

Рис. 33

Жидкость втекает слева через сечение , находящееся на высоте над землей. Скорость втекающих частиц жидкости перпендикулярна к сечению трубы и равна .

Жидкость вытекает через сечение , находящаяся на высоте со скоростью .

Жидкость течет через трубу под действием разности, прилагаемых извне давлении и разности высот

За бесконечно малый промежуток времени через сечение втекает масса жидкости :

(6.1)

Та же масса вытекает через сечение за тот же период:

(6.2)

Таким образом:

= (6.3)

или

(6.4)

Таким образом, объемы втекающей и вытекающей за единицу времени жидкости равны.

При перемещении жидкости по трубе силы внешнего давления совершают работу. Полная сила давления, действующая на левое сечение, равна . Эта сила переместила массу жидкости на расстояние .

За то же время в первом сечении такая же масса жидкости переместилась на расстояние и совершила работу против силы давления .

Полная работа сил давления:

(6.5)

Эта работа пошла на увеличение кинетической энергии и изменения потенциальной:

(6.6)

Разделим обе части равенства на объем

,

тогда, имея в виду, что и

получим:

(6.7)

Иначе:

(6.8)

То есть (6.9)

Уравнение (6.9) называется уравнением Бернулли и выражает закон сохранения энергии в стационарном потоке жидкости.

Здесь - удельная кинетическая энергия, т.е. кинетическая энергия единицы объема жидкости.

- удельная потенциальная энергия в поле тяжести.

- удельная потенциальная энергия давления.

Если посмотреть по размерности, получим

Можно заметить, что все 3 величины имеют размерность давления. Тогда уравнение (6.9) удобно сформулировать следующим образом:

Полное давление в движущейся жидкости складывается из статистического давления , гидравлического давления и гидродинамического давления .

Рассмотрим частный случай горизонтального потока

Уравнение (6.9) перепишется в виде

Согласно уравнению (6.9) чем меньше площадь сечения трубки, тем больше скорость потока.

Таким образом там где линии тока сгущаются и скорости возрастают, давление уменьшается.