8.6. Стоячие волны

Рассмотрим случай, когда две волны, одинаковые по своим характеристикам, идут навстречу друг другу. Движение волн в разных направлениях сказывается на знаке координаты в уравнении волны. Таким образом, результирующая картина смещения должна передаваться выражением:

(8.15)

Таким образом, сумма двух бегущих волн не дала волнового движения. В отличие от бегущей волны, все точки которой совершают колебании с одинаковой амплитудой, но с запаздыванием по фазе, все точки получившейся волны колеблются одновременно, но с разными амплитудами. Действительно, полученная формула указывает на наличие колебаний с амплитудой , зависящей от . Такое колебательное состояние среды, возникающее при движении в противоположные стороны двух одинаковых бегущих волн, носит название стоячей волны. В принципе стоячая волна волной не является и обладает отличными от бегущей волны свойствами. Так, например, бегущая волна переносит энергию, а стоячая – нет; бегущая волна может двигаться вправо и влево, а стоячая не имеет направления распространения в пространстве.

Области, находящиеся в покое называются узлами стоячей волны; области, колеблющиеся с максимальной амплитудой, называются пучностями.

Полагая можно найти координаты узлов.

Координаты пучностей можно найти из условия . Получим:

Таким образом, расстояние между двумя соседними узлами или соседними пучностями равно половине длины волны, а расстояние между соседним узлом и пучностью – четверти длины волны.

Можно доказать, что при отражении от среды с бόльшим волновым сопротивлением, сопровождающимся потерей полуволны, узлы и пучности поменяются местами.

Стоячая волна образуется только при некоторых определенных частотах.

Рассмотрим в качестве примера стержень, закрепленный на концах (можно рассматривать закрепленную на концах струну, столб воздуха в закрытой трубе, столб на опорах и т.п.)

Пусть длина стержня равна , а скорость волны в нем . При возбуждении колебаний в стержне установится стоячая волна, причем на концах обязательно получаться узлы, а между ними – пучности. Но расстояние между двумя узлами равно половине длины волны, следовательно, на длине стержня уложиться целое число полуволн:

,

А так как , получим .

Из полученных данных можно сделать очень важный вывод: в колебательной системе, имеющей определенные краевые условия, возможны лишь определенные, дискретные значения частот.

Задачи Прямолинейное движение

1. Две прямые дороги пересекаются под углом . От перекрестка по ним удаляются машины: одна со скоростью v₁=60 км/ч, другая со скоростью v₂=80 км/ч. Определить скорости v' и v", с которыми одна машина удаляется от другой. Перекресток машины прошли одновременно.

2. Точка двигалась в течение t₁=15 c со скоростью v₁=5 м/с, в течение t₂=10 с со скоростью v₂=8 м/с и в течение t₃=6 с со скоростью v₃=20 м/с. Определить среднюю путевую скорость <v> точки.

3. Три четверти своего пути автомобиль прошел со скоростью v₁=60 км/ч, остальную часть пути — со скоростью v₂=80 км/ч. Какова средняя скорость <v> автомобиля?

4. Уравнение прямолинейного движения имеет вид x=At+Bt², где A=3 м/с, B= -0,25 м/с2. Построить графики зависимости координаты и пути от времени для заданного движения.

5. Движение материальной точки задано уравнением x=At+Bt², где A =4 м/с, В= -0,05 м/с². Определить момент времени, в который скорость v точки равна нулю. Найти координату и ускорение в этот момент. Построить графики зависимости координаты, пути, скорости и ускорения этого движения от времени.

6. Рядом с поездом на одной линии с передними буферами паровоза стоит человек. В тот момент, когда поезд начал двигаться с ускорением а=0,1 м/с², человек начал идти в том же направлении со скоростью v=1,5 м/с. Через какое время t поезд догонит человека? Определить скорость v₁ поезда в этот момент и путь, пройденный за это время человеком.

7. Движения двух материальных точек выражаются уравнениями:

x₁=A₁+B₁t+C₁t², x₂=A₂+B₂t+C₂t²,

где A₁=20 м, A₂=2 м, B₁=B₂=2 м/с, C₁= — 4 м/с2, С₂=0,5 м/с2.

В какой момент времени t скорости этих точек будут одинаковыми? Определить скорости v₁ и v₂ и ускорения a₁ и а₂ точек в этот момент:

8. С какой высоты Н упало тело, если последний метр своего пути оно прошло за время t=0,1 с?

9. Камень падает с высоты h=1200 м. Какой путь S пройдет камень за последнюю секунду своего падения?

10. Камень брошен вертикально вверх с начальной скоростью v₀=20 м/с. По истечении какого времени камень будет находиться на высоте h=15м? Найти скорость v камня на этой высоте. Сопротивлением воздуха пренебречь. Принять g=10 м/с².

11. Вертикально вверх с начальной скоростью v₀=20 м/с брошен камень. Через t=1 с после этого брошен вертикально вверх другой камень с такой же скоростью. На какой высоте h встретятся камни?

12. С балкона бросили мячик вертикально вверх с начальной скоростью v₀=5 м/с. Через t=2 с мячик упал на землю. Определить высоту балкона над землей и скорость мячика в момент удара о землю.